函數(shù)圖象中蘊(yùn)含的幾個(gè)辯證觀點(diǎn)

楊淑榮

摘要：為培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義世界觀，結(jié)合教材中相關(guān)知識(shí)，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平，適當(dāng)組織教學(xué)內(nèi)容，進(jìn)行概括和抽象，將數(shù)學(xué)知識(shí)與哲學(xué)思想相結(jié)合，使學(xué)生的思維方式得以拓展，培養(yǎng)既有深度又有廣度的分析綜合能力。在函數(shù)及圖象中，蘊(yùn)含的辯證觀點(diǎn)極為豐富，正如恩格斯所說(shuō)的“教學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了。”

關(guān)鍵詞：函數(shù)圖像；概括和抽象；理性認(rèn)識(shí)；哲學(xué)思想

一、常量與變量

辯證法認(rèn)為，世界上的萬(wàn)事萬(wàn)物，都是相互聯(lián)系運(yùn)動(dòng)、變化和發(fā)展的。常量，是相對(duì)于某個(gè)過(guò)程或另一個(gè)變量而言的，絕對(duì)的常量是沒有的，因?yàn)槲镔|(zhì)的運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的，靜止是相對(duì)的，故物動(dòng)則變；既然如此，相對(duì)的常量是有的，絕對(duì)的常量是不存在的，因此，在教學(xué)過(guò)程中，為幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)常量與變量這一辯證關(guān)系不妨取如下實(shí)例：勻速直線運(yùn)動(dòng)中，速度是常量，時(shí)間與路程均為變量，且人在實(shí)際運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，絕對(duì)的勻速運(yùn)動(dòng)是沒有的；例如在一個(gè)學(xué)生騎車回家這一日常易見的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，也免不了加速、減速、剎車等情況，教學(xué)實(shí)踐表明，要使學(xué)生認(rèn)識(shí)常量與變量這一辯證關(guān)系，就必須多形式、多角度、多層次地予闡釋。

二、運(yùn)動(dòng)與靜止

根據(jù)人類認(rèn)識(shí)事物的客觀規(guī)律及實(shí)踐和知識(shí)的發(fā)展水平，我們可結(jié)合教材中的具體教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)事物的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)與相對(duì)靜止這一辯證關(guān)系。例如，畫出的y=2x2+x+4的圖象去思考：這個(gè)圖象表面上是靜上的，但從列表、描點(diǎn)到連線的過(guò)程去看卻是運(yùn)動(dòng)的、變化的。再進(jìn)--步挖掘，可以發(fā)現(xiàn)：畫成的圖象表面上是完整的，其實(shí)是不完整的，因?yàn)樗€可以向兩方無(wú)限延伸，即不斷運(yùn)動(dòng)、發(fā)展和變化，畫出的函數(shù)圖象永遠(yuǎn)只能是局部的，它只能是某個(gè)函數(shù)圖象的一個(gè)象征物，體現(xiàn)了部分與整體的辯證統(tǒng)一。

三、特殊與一般

辯證法認(rèn)為，一般性寓于特殊性之中。例如教材分析了：（1 ）y=ax2與y=ax2+k；（2）y=ax2與y=a（x-h）2（3）y=ax2與y=a（x-h）2 +k，它們之間的關(guān)系，均是典型的特殊與一般之間的關(guān)系，而這一關(guān)系又是辯證統(tǒng)一的；為利于學(xué)生認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)屬性，教材中總是先介紹簡(jiǎn)單的、特殊的內(nèi)容，然后再逐步推廣、加深到較復(fù)雜的、更一般的內(nèi)容，從而引導(dǎo)學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)屬性，掌握對(duì)事物的認(rèn)識(shí)規(guī)律。

四、現(xiàn)象與本質(zhì)

在物質(zhì)世界中，沒有一定的現(xiàn)象，就不能表現(xiàn)出事物的本質(zhì)，而且其本質(zhì)常常寓于現(xiàn)象之中。當(dāng)然，個(gè)別現(xiàn)象不一定能暴露出事物的本質(zhì)，因?yàn)楸举|(zhì)是若干同類現(xiàn)象的寓歸。例如，學(xué)生可以順利地判定方程組的解集為空集，而相對(duì)于認(rèn)識(shí)“y=4表示一條平行與x軸的直線與二次曲線y=x2+2x+3自然沒有交點(diǎn)”，屬于對(duì)事物表象的認(rèn)識(shí)，只有達(dá)到透徹理解二次函數(shù)的概念與性質(zhì)以后，才算是認(rèn)識(shí)了事物的本質(zhì)。一元二次方程x2+2x+3=0為什么沒有實(shí)數(shù)解？函數(shù)y=x2+2x+3的圖象與x軸為什么沒有交點(diǎn)？函數(shù)y=x2+2x+3的最小值是多少？學(xué)生從 “列表一描點(diǎn)一連線”，直觀地看到拋物線y=x2+2x+3的頂點(diǎn)的位置，以及得到了最小值，實(shí)現(xiàn)了由淺入深，由現(xiàn)象到本質(zhì)的認(rèn)識(shí)過(guò)程。這類問題中，方程沒有實(shí)數(shù)根或圖象與x軸沒有交點(diǎn)，或頂點(diǎn)在x軸上方，均是現(xiàn)象，而問題的本質(zhì)，恰恰是“一元二次方程根的判別式”的值的狀況對(duì)于這類問題的制約。

五、量變與質(zhì)變

本章體現(xiàn)量變與質(zhì)變觀點(diǎn)的內(nèi)容，例子很多，要使學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)這些內(nèi)容卻是很困難的因而我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)宜逐步引導(dǎo)，點(diǎn)滴滲透，而后去系統(tǒng)推進(jìn)對(duì)這些內(nèi)容的理論。（1）對(duì)于一次函數(shù)y=kx+b.若從k≠0變?yōu)閗=0，情況如何？（2）二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，規(guī)定a≠0；若令a=0情況何？（3）反比例函數(shù)y=1/x中，自變量x的取值范圍是x≠0；如果x=0.或y=0，又將如何？（4）對(duì)于y=kx+b，從k>0變?yōu)閗<0，則其變化特征如何相應(yīng)變化？（5）對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c，若△>0變?yōu)椤?0或△<0，相應(yīng)的函數(shù)圖象及性質(zhì)將如何改變？（6）對(duì)于周長(zhǎng)確定的矩形，當(dāng)相鄰邊長(zhǎng)均為等長(zhǎng)時(shí)，面積的大小有何特征？（7）對(duì)于一般的二次函數(shù)y=ax2+bxtc，從x<0，變?yōu)閤=0再變?yōu)閤>0，其増減趨勢(shì)如何相應(yīng)地改變？

六、有限與無(wú)限

事物的數(shù)量中，有限總是表現(xiàn)為具體的，而無(wú)限則是抽象的，它是一種運(yùn)動(dòng)無(wú)限延長(zhǎng)的過(guò)程，是事物的一種變化發(fā)展趨勢(shì)，是一種抽象的理念，需反復(fù)滲透方可形成一定程度的認(rèn)識(shí)。（1）學(xué)生準(zhǔn)確地“畫出函數(shù)y=2x-1的圖象”，其實(shí)只是畫出了這個(gè)函數(shù)圖象的有限部分，即用有限的部分去“表示”“無(wú)限”的趨勢(shì)。（2）列表、描點(diǎn)、連線，畫出拋物線，顯然也只是畫出了函數(shù)圖象的一“部分”，用“有限”的一些點(diǎn)“確定”其“大致”位置、形狀大小。

參考文獻(xiàn)：

[1]房愛東，張雪.二次函數(shù)的研究.〔J〕數(shù)學(xué)教學(xué)通訊.2001.

[2]李繼武.二次函數(shù)的正負(fù)值區(qū)間.〔J〕數(shù)學(xué)教學(xué)通訊.1998.

[3]林躍峰.二次函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)及其應(yīng)用.〔J〕中學(xué)數(shù)學(xué)研究.1996.

[4]郁蘭屏.二次函數(shù)圖像與方程，不等式的內(nèi)在聯(lián)系.〔J〕數(shù)學(xué)教學(xué)通訊.2001.