壓氣機(jī)特性曲線多項式回歸擬合方法

代 星，趙元松，岳永威，吳 垚

（1. 91054部隊，上海 200235；2. 中國航空綜合技術(shù)研究所，北京 100028；3. 92602部隊，上海 201900）

0 引言

艦用燃?xì)廨啓C(jī)作為艦船動力系統(tǒng)的核心裝置，其起動、調(diào)節(jié)、變速的特性在很大程度上影響著艦船的運(yùn)行。壓氣機(jī)是燃?xì)廨啓C(jī)的主要部件，其特性對于仿真結(jié)果有顯著影響。在實際使用過程中，壓氣機(jī)不可能固定在額定工況下工作，艦船運(yùn)行時復(fù)雜的變化（如負(fù)荷降低、溫度或壓力變化、葉片結(jié)垢或磨損導(dǎo)致的零部件性能變化等）都會造成壓氣機(jī)偏離原穩(wěn)定工況，因此了解壓氣機(jī)關(guān)鍵參數(shù)的變化規(guī)律對于把握壓氣機(jī)的性能十分重要。但是，通過試驗獲取壓氣機(jī)特性的方法不僅費用較高，而且難以全面反映所有轉(zhuǎn)速特性；實際中僅能夠獲得部分工況的數(shù)據(jù)，且這些數(shù)據(jù)多以離散點或者曲線圖的形式存在。如何由有限的數(shù)據(jù)和圖表模擬及預(yù)測壓氣機(jī)未知運(yùn)行狀態(tài)成為了一個難點。

由于壓氣機(jī)特性表現(xiàn)出較強(qiáng)的非線性，采用常規(guī)的線性插值方法模擬往往導(dǎo)致模擬結(jié)果精度較差，因此，國內(nèi)外學(xué)者提出了一些模擬壓氣機(jī)特性的方法，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法[1-3]、模糊辨識法[4]、滑動最小二乘法[5]和偏最小二乘法[6]等。這些算法能夠較好地逼近壓氣機(jī)特性曲線，但仍存在一些不足。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法能夠在理論上與實測值高效逼近，但在插值效果上始終存在問題；模糊辨識法相較神經(jīng)網(wǎng)格法擬合精度較差，對于未知數(shù)據(jù)的插值能力仍需進(jìn)一步研究驗證；滑動最小二乘法和偏最小二乘法能夠控制壓氣機(jī)特性曲線的精度，但計算量較大、算法復(fù)雜度高。

本文首先對壓氣機(jī)特性進(jìn)行理論分析，對同一轉(zhuǎn)速下的試驗數(shù)據(jù)分別進(jìn)行線性插值擬合，通過分析擬合效果，再對不同轉(zhuǎn)速下的擬合系數(shù)進(jìn)行線性插值擬合，結(jié)合兩部分?jǐn)M合函數(shù)，最終獲得壓氣機(jī)特性曲線函數(shù)。

1 壓氣機(jī)的插值計算

壓氣機(jī)特性曲線包括轉(zhuǎn)速（n）、效率（η）、流量（G）和壓比（π）四個參數(shù)量。壓比和效率用流量和轉(zhuǎn)速可以表示為

壓氣機(jī)出廠前通常會對其進(jìn)行測試，記錄某些轉(zhuǎn)速下的壓比、流量和效率的數(shù)據(jù)點，如圖1所示。若僅有壓氣機(jī)曲線圖，則需要作輔助線來獲取數(shù)據(jù)，如圖2所示。記錄壓氣機(jī)的各轉(zhuǎn)速曲線（如圖2中的n1～n4），做若干條輔助線（如圖2中L1～L4）與轉(zhuǎn)速曲線相交，記錄各輔助線與轉(zhuǎn)速曲線相交點的增壓比、流量和效率。

圖1 壓氣機(jī)特性曲線離散數(shù)據(jù)點

圖2 通過輔助線獲取特征數(shù)據(jù)

由于這些數(shù)據(jù)不可能涉及所有運(yùn)行中的轉(zhuǎn)速，因此需要在工作中根據(jù)已有數(shù)據(jù)推算其他未知轉(zhuǎn)速下的壓氣機(jī)特性。基于已有試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行壓氣機(jī)特性曲線擬合就是結(jié)合已有的數(shù)據(jù)條件推測未知的數(shù)據(jù)條件，而目標(biāo)轉(zhuǎn)速值在已知數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)。由公式（1）和公式（2）可知：壓氣機(jī)的壓比和效率都需要雙變量參數(shù)表達(dá)，因此需要通過進(jìn)行兩次插值計算才能確定，本文選用π/η-G，G-n的插值方式。

2 壓氣機(jī)特性曲線逼近方式

對于相同轉(zhuǎn)速的曲線點，可以直接用高次冪的多項式進(jìn)行擬合。由于不同轉(zhuǎn)速曲線形狀相似，且各個曲線隨轉(zhuǎn)速漸進(jìn)變化的規(guī)律也是近似的，所以可以用同一多項式逼近。以壓比作為因變量，轉(zhuǎn)速和流量作為自變量，先做某一轉(zhuǎn)速下關(guān)于流量的多項式曲線擬合，用最小二乘法進(jìn)行精度逼近[7]，擬合多項式為

式中：iπ為轉(zhuǎn)速ni(i=1,2,3,…,p)下的壓比因變量；aji(j=0,1,2,3,…,q)為轉(zhuǎn)速ni下的多項式系數(shù)。通過比較不同多項式的擬合殘差獲得最佳的多項式，從而固定q值。之后做多項式系數(shù)aji(j=1,2,3,…,q)關(guān)于轉(zhuǎn)速ni(i=1,2,3, …,p)的多項式擬合，擬合代數(shù)多項式為

式中：bji(j=1,2,3,…,k)為多項式系數(shù)。結(jié)合公式（3）和公式（4），即可得到壓比關(guān)于轉(zhuǎn)速和流量的表達(dá)式。

3 壓氣機(jī)特性曲線擬合過程分析

本文選取文獻(xiàn)[8]附錄中壓氣特性數(shù)據(jù)做壓氣機(jī)曲線擬合，其中轉(zhuǎn)速、增壓比、流量均為相對轉(zhuǎn)換值（為保證相同轉(zhuǎn)速下壓比、效率取值的唯一性，刪除表格中部分同轉(zhuǎn)速下不同流量值對應(yīng)的數(shù)值相同的壓比、效率列，以保證合理性），具體數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 壓氣機(jī)相對速度、相對壓比、相對流量和效率數(shù)據(jù)值表

首先應(yīng)用R函數(shù)工具箱和公式（1）對固定轉(zhuǎn)速下的壓比和流量進(jìn)行第一步曲線擬合，通過重復(fù)對比不同次數(shù)下的多項式擬合精度，發(fā)現(xiàn)q=3時，擬合精度足夠，擬合誤差小，得到的結(jié)果與原數(shù)據(jù)最接近、殘差最小，因此根據(jù)公式（3）固定第一步壓比-流量多項式的次數(shù)為3。然后將第一步擬合的多項式不同轉(zhuǎn)速下的系數(shù)取出，以轉(zhuǎn)速ni(i=1,2,3,…,p)為自變量參照公式（4）進(jìn)行第二步擬合，在擬合的過程中，通過R函數(shù)工具箱對系數(shù)的擬合殘差進(jìn)行檢驗，與第一步擬合需要固定多項式次數(shù)不同，第二步擬合各系數(shù)的多項式次數(shù)可以不同，以擬合的精度最低為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行選取。參照公式（4），系數(shù)與轉(zhuǎn)速的多項式形式與精度的檢驗結(jié)果如表2所示。

表2 系數(shù)多項式擬合評估表

由表 2可以看出：系數(shù)多項式擬合的殘差絕對值基本都在0.1以內(nèi)，說明系數(shù)多項式擬合效果較好。參照表2，通過兩步多項式擬合，壓比與流量、轉(zhuǎn)速的多項式擬合的最終結(jié)果為

在表1中同轉(zhuǎn)速列上取三個點，經(jīng)擬合公式（5）計算得到壓比，與表 1中同轉(zhuǎn)速下相同流量對應(yīng)的壓比進(jìn)行比較，結(jié)果如表3所示。

表3 壓比擬合對照表

由表 3可以看出：壓比擬合相對誤差最多不超過3%。圖3為壓比擬合對照圖，原壓比-流量曲線與擬合出的壓比-流量曲線基本貼合，曲率誤差較小、精度較高。同理，效率與流量、轉(zhuǎn)速的多項式擬合的最終結(jié)果為

在表1等轉(zhuǎn)速列上取三個點，經(jīng)擬合公式（6）擬合得到效率，與原表1在相同流量下對應(yīng)效率進(jìn)行比較，結(jié)果如表4所示。由表4可以看出：效率擬合誤差最多不超過5%。圖4為效率擬合對照圖，原流量-效率曲線與擬合流量-效率曲線基本貼合，曲率基本保持一致，貼合精度較高，能夠反映不同速度下流量與效率的變化狀況。

圖3 壓比擬合對照圖

表4 效率擬合對照表

圖4 效率擬合對照圖

4 結(jié)論

本文研究的壓氣機(jī)特性曲線擬合方法原理簡單、易于編程，擬合后的多項式可直接用于仿真程序，計算速度快、誤差小，且符合精度要求。驗證結(jié)果表明：該方法在擬合效果上是合理可行的，可為燃?xì)廨啓C(jī)整機(jī)的仿真模擬提供堅實的基礎(chǔ)。

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