一種運(yùn)動(dòng)分岔并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)約束與運(yùn)動(dòng)模式分析

王冰,方躍法

(北京交通大學(xué)機(jī)械工程系,100044,北京)

并聯(lián)機(jī)構(gòu)因閉鏈結(jié)構(gòu)具有高承載能力、高伺服剛度、高精度及優(yōu)良的動(dòng)態(tài)性能等優(yōu)點(diǎn),使其在重載操作、微納操作、工業(yè)機(jī)器人、康復(fù)機(jī)器人及并聯(lián)機(jī)床等領(lǐng)域得到了重要應(yīng)用。可重構(gòu)并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有傳統(tǒng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的全部?jī)?yōu)點(diǎn),同時(shí)又具有可變結(jié)構(gòu)和自由度特性,使其具有更好的柔性和適應(yīng)性,吸引了機(jī)構(gòu)學(xué)與機(jī)器人研究者的極大興趣,成為新的研究熱點(diǎn)之一。可重構(gòu)并聯(lián)機(jī)構(gòu)按可重構(gòu)機(jī)理不同,分為變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)分岔并聯(lián)機(jī)構(gòu)兩類(lèi)。

變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)特征在于機(jī)構(gòu)在連續(xù)運(yùn)動(dòng)中有效桿件數(shù)目發(fā)生變化,從而導(dǎo)致機(jī)構(gòu)自由度的變化;主要是采用變胞運(yùn)動(dòng)副[1-3]、桿件重合與合并[4-6]及可鎖死關(guān)節(jié)[7-8]等方法來(lái)實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)的可重構(gòu)。運(yùn)動(dòng)分岔并聯(lián)機(jī)構(gòu)[9-12]與變胞并聯(lián)機(jī)構(gòu)不同,在連續(xù)運(yùn)動(dòng)中桿件數(shù)目并無(wú)變化,機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)也沒(méi)有改變,而是利用機(jī)構(gòu)的約束奇異特性來(lái)實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)的可重構(gòu)。運(yùn)動(dòng)分岔并聯(lián)機(jī)構(gòu)在連續(xù)運(yùn)動(dòng)模式下的自由度數(shù)小于約束奇異位形下的瞬時(shí)自由度數(shù)。約束奇異位形為運(yùn)動(dòng)分岔并聯(lián)機(jī)構(gòu)不同運(yùn)動(dòng)模式進(jìn)行切換的初始位形,為保證機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的可控,伺服電機(jī)數(shù)應(yīng)為機(jī)構(gòu)的瞬時(shí)自由度數(shù)。

雖然學(xué)者們提出了一些特色鮮明的可重構(gòu)并聯(lián)機(jī)構(gòu),但目前已知的具有連續(xù)變自由度特性的運(yùn)動(dòng)分岔并聯(lián)機(jī)構(gòu)仍然較少,這類(lèi)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)綜合、結(jié)構(gòu)約束、自由度及運(yùn)動(dòng)模式分析等問(wèn)題都是值得深入研究的機(jī)構(gòu)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題。本文提出一種具有運(yùn)動(dòng)分岔特性的新型并聯(lián)機(jī)構(gòu),運(yùn)用螺旋理論對(duì)其結(jié)構(gòu)約束和運(yùn)動(dòng)模式進(jìn)行分析,并分析了其輸入選取。

1 運(yùn)動(dòng)分岔單環(huán)閉鏈

1.1 初始位形

初始位形下的具有運(yùn)動(dòng)分岔特性的單環(huán)閉鏈如圖1所示。與葉偉等在可重構(gòu)并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)中所應(yīng)用的平行四邊形機(jī)構(gòu)不同[11-12],這里以單環(huán)閉鏈機(jī)構(gòu)的連架桿AB為輸出構(gòu)件,所有桿的桿長(zhǎng)為任意,但連架桿AB和CD在初始位形時(shí)應(yīng)相平行且與機(jī)架AD正交。連架桿與機(jī)架間通過(guò)虎克鉸相連,連桿與連架桿間通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副相連。圖1中＄i(i=1-6)為各關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)螺旋,建立參考坐標(biāo)系o-xyz于A點(diǎn)虎克鉸的幾何中心。在初始位形時(shí),x軸和y軸分別與＄1和＄2同向,＄1、＄3、＄4和＄5同向,＄2和＄6同軸。輸出構(gòu)件AB通過(guò)兩條支鏈與機(jī)架AD相連,＄1和＄2為支鏈一,＄3、＄4、＄5和＄6為支鏈二,選取機(jī)架副為輸入副。支鏈一和支鏈二的運(yùn)動(dòng)螺旋系分別為

(1)

(2)

式中:e3、e4及f4、f5均為常數(shù)。根據(jù)螺旋理論,輸出構(gòu)件AB的運(yùn)動(dòng)螺旋系應(yīng)為兩支鏈運(yùn)動(dòng)螺旋系的交集,因此式(1)即為桿AB的當(dāng)前位形下的運(yùn)動(dòng)螺旋系。由式(1)可見(jiàn),桿AB的瞬時(shí)自由度為2,具有繞x軸和y軸的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)。

圖1 初始位形下的運(yùn)動(dòng)分岔單環(huán)閉鏈

1.2 運(yùn)動(dòng)模式A

如圖2所示,當(dāng)單環(huán)閉鏈繞x軸旋轉(zhuǎn)α角,支鏈一的運(yùn)動(dòng)螺旋系變?yōu)?/p>

(3)

對(duì)式(3)取反螺旋,可得支鏈一的約束螺旋系為

(4)

在當(dāng)前位形下,支鏈二的運(yùn)動(dòng)螺旋系為

(5)

對(duì)式(5)取反螺旋,可得當(dāng)前位形下支鏈二的約束螺旋系為

(6)

式(4)和式(6)相并即為桿AB的約束螺旋系,對(duì)并集取二次反螺旋,可得桿AB的運(yùn)動(dòng)螺旋為

＄AB=(1,0,0;0,0,0)

(7)

式(7)表明,在此位形下,單環(huán)閉鏈的連續(xù)自由度為1,桿AB繞x軸作連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng),桿AB不能再作繞y軸的轉(zhuǎn)動(dòng),稱(chēng)此位形為運(yùn)動(dòng)模式A。

圖2 運(yùn)動(dòng)模式A下的運(yùn)動(dòng)分岔單環(huán)閉鏈

1.3 運(yùn)動(dòng)模式B

如圖3所示,單環(huán)閉鏈繞y軸旋轉(zhuǎn)β角,支鏈一在此位形下的運(yùn)動(dòng)螺旋系與式(1)相同,對(duì)其取反螺旋,得約束螺旋系為

(8)

支鏈二在此位形下的運(yùn)動(dòng)螺旋系為

(9)

式中:d4=d5=-y4sinβ;f4=f5=-y4cosβ,y4為當(dāng)前位形下C點(diǎn)和D點(diǎn)的y向坐標(biāo)。由式(9)可得支鏈二的約束螺旋系為

圖3 運(yùn)動(dòng)模式B下的運(yùn)動(dòng)分岔單環(huán)閉鏈

(10)

式(8)和式(10)的并集即為當(dāng)前位形下桿AB的約束螺旋系,對(duì)其取二次反螺旋,得桿AB在當(dāng)前位形下的運(yùn)動(dòng)螺旋為

＄AB=(0,1,0;0,0,0)

(11)

由式(11)可見(jiàn),在此位形下桿AB的瞬時(shí)自由度為1,作繞y軸的連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng),此時(shí)桿AB不能再繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng),稱(chēng)此位形為運(yùn)動(dòng)模式B。

綜上可見(jiàn),所述單環(huán)閉鏈具有兩種互斥的單自由度轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)模式,初始位形為兩種運(yùn)動(dòng)模式進(jìn)行切換的運(yùn)動(dòng)分岔點(diǎn),初始位形即為單環(huán)閉鏈的約束奇異位形。

2 運(yùn)動(dòng)分岔混聯(lián)支鏈

2.1 無(wú)約束模式

考慮到單環(huán)閉鏈的運(yùn)動(dòng)分岔特性,可將其引入到運(yùn)動(dòng)分岔混聯(lián)支鏈的設(shè)計(jì),構(gòu)建具有不同結(jié)構(gòu)約束的混聯(lián)支鏈。如圖4所示為初始位形下的混聯(lián)支鏈,單環(huán)閉鏈的輸出構(gòu)件桿AB與串聯(lián)支鏈的桿EF為移動(dòng)副連接,桿EF與桿FG也為移動(dòng)副連接,桿FG與桿GH在G點(diǎn)通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副連接,混聯(lián)支鏈末端H點(diǎn)為連接動(dòng)平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)副,H點(diǎn)和G點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線(xiàn)相交于點(diǎn)N。

圖4 無(wú)約束模式下的運(yùn)動(dòng)分岔混聯(lián)支鏈

圖4中運(yùn)動(dòng)螺旋＄rx和＄ry代表單環(huán)閉鏈在初始位形下分別繞x軸和y軸的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)螺旋＄p1和＄p2、＄r1和＄r2分別代表串聯(lián)支鏈兩個(gè)移動(dòng)副和兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副,＄p1和＄p2分別與桿AB正交和平行,＄p1和＄p2正交,＄r1與B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)副同向且與＄r2相交于點(diǎn)N。混聯(lián)支鏈在初始位形下的運(yùn)動(dòng)螺旋系為

(12)

式(12)表明,初始位形下,混聯(lián)支鏈運(yùn)動(dòng)螺旋系秩為6,混聯(lián)支鏈無(wú)約束,稱(chēng)其為無(wú)約束模式。

2.2 約束力偶模式

當(dāng)單環(huán)閉鏈由初始位形切換為運(yùn)動(dòng)模式A,混聯(lián)支鏈也相應(yīng)切換為如圖5所示的約束力偶模式。此時(shí)單環(huán)閉鏈等效為運(yùn)動(dòng)螺旋＄rx,混聯(lián)支鏈的運(yùn)動(dòng)螺旋系也相應(yīng)變?yōu)?系螺旋,當(dāng)前位形下的運(yùn)動(dòng)螺旋系為

(13)

此時(shí),運(yùn)動(dòng)螺旋系的反螺旋為

＄r=(0;sr)=(0,0,0;0,-cH,bH)

(14)

由式(13)和(14)可知

srx·sr=sr1·sr=sr2·sr=0

(15)

式(14)表明,在此模式下,混聯(lián)支鏈存在一個(gè)約束力偶。式(15)表明,srx與sr1組成一組軸線(xiàn)平行的線(xiàn)矢量,sr2為另一組線(xiàn)矢量,兩組線(xiàn)矢量的公法線(xiàn)方向即為約束力偶方向,因此稱(chēng)其為約束力偶模式。

圖5 約束力耦模式下的運(yùn)動(dòng)分岔混聯(lián)支鏈

2.3 約束力矢模式

當(dāng)單環(huán)閉鏈由初始位形切換為運(yùn)動(dòng)模式B,混聯(lián)支鏈將相應(yīng)的切換為如圖6所示的約束力矢模式。此時(shí)單環(huán)閉鏈等效為運(yùn)動(dòng)螺旋＄ry,混聯(lián)支鏈運(yùn)動(dòng)螺旋系為5系螺旋,此時(shí)運(yùn)動(dòng)螺旋系為

(16)

用xN和zN表示N點(diǎn)x和z向坐標(biāo),則有eG=xNsinβ+zNcosβ,eH=zNaH-xNcH。對(duì)式(16)取反螺旋得結(jié)構(gòu)約束為

＄r=(0,1,0;-zN,0,xN)

(17)

式(17)表明,在當(dāng)前位形下,混聯(lián)支鏈存在一個(gè)與y軸同向,且過(guò)N點(diǎn)的約束力矢,因此稱(chēng)其為約束力矢模式。

圖6 約束力矢模式下的運(yùn)動(dòng)分岔混聯(lián)支鏈

3 運(yùn)動(dòng)分岔并聯(lián)機(jī)構(gòu)

利用3條對(duì)稱(chēng)布置的混聯(lián)支鏈連接定平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái),可得到如圖7所示的運(yùn)動(dòng)分岔并聯(lián)機(jī)構(gòu)。每條混聯(lián)支鏈末端兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的交點(diǎn)都匯交于動(dòng)平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)中心N點(diǎn)。建立全局坐標(biāo)系o0-x0y0z0于定平臺(tái)的幾何中心,建立局部坐標(biāo)系oi-xiyizi于各混聯(lián)支鏈的Ai點(diǎn),i=1～3。x0與x1同向,o0與oi共面,設(shè)o0到oi的半徑為rb。為保證3條支鏈的約束力矢和約束力偶為不共面的不同結(jié)構(gòu)約束,z0與zi間存在一個(gè)夾角γ。

圖7 3T3R運(yùn)動(dòng)模式

3.1 3T3R運(yùn)動(dòng)模式

當(dāng)3條混聯(lián)支鏈均為無(wú)約束模式,則3條混聯(lián)支鏈無(wú)結(jié)構(gòu)約束作用于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái),并聯(lián)機(jī)構(gòu)當(dāng)前位形下的瞬時(shí)自由度為6,其具有3T3R(T表示移動(dòng),R表示轉(zhuǎn)動(dòng))運(yùn)動(dòng)模式。瞬時(shí)的3T3R運(yùn)動(dòng)模式為運(yùn)動(dòng)分岔并聯(lián)機(jī)構(gòu)不同運(yùn)動(dòng)模式進(jìn)行切換的初始位形。

3.2 3T運(yùn)動(dòng)模式

(18)

(19)

如用rot(k,θ)表示繞k軸旋轉(zhuǎn)θ角,則

Ri=rot(z0,φi)rot(x0,γ)

(20)

式中:φi=2(i-1)π/3。由式(14)和式(18),可得動(dòng)平臺(tái)的約束螺旋系為

(21)

式中:δ1=cHcosγ+bHsinγ;δ2=-cHsinγ+bHcosγ。

式(21)表明,在當(dāng)前模式下并聯(lián)機(jī)構(gòu)存在3個(gè)不共面的約束力偶,它們約束了動(dòng)平臺(tái)的三維轉(zhuǎn)動(dòng),此時(shí)動(dòng)平臺(tái)作如圖8所示的3T運(yùn)動(dòng)。

3.3 3R運(yùn)動(dòng)模式

當(dāng)全部混聯(lián)支鏈均切換為約束力矢模式,則將存在3個(gè)約束力矢作用于動(dòng)平臺(tái)。由式(17)和式(18),可得全局坐標(biāo)系下的約束螺旋系為

(22)

式中:δ3=zN+rbsinγ;δ4=xNsinγ;δ5=xNcosγ。

式(22)表明,此時(shí)存在3個(gè)相交于N點(diǎn)且不共面的約束力矢,它們約束了動(dòng)平臺(tái)的三維移動(dòng),動(dòng)平臺(tái)作如圖9所示的3R運(yùn)動(dòng),轉(zhuǎn)動(dòng)中心為N點(diǎn)。

圖8 3T運(yùn)動(dòng)模式

圖9 3R運(yùn)動(dòng)模式

3.4 2T1R運(yùn)動(dòng)模式

如設(shè)混聯(lián)支鏈一切換為約束力矢模式,混聯(lián)支鏈二和三切換為約束力偶模式,由式(14)、式(17)和式(18),可得全局坐標(biāo)系下的約束螺旋系為

(23)

式(23)表明,此時(shí)存在一個(gè)約束力矢和兩個(gè)約束力偶,它們約束了動(dòng)平臺(tái)的一維移動(dòng)和二維轉(zhuǎn)動(dòng),動(dòng)平臺(tái)作如圖10所示的2T1R運(yùn)動(dòng)。

圖10 2T1R運(yùn)動(dòng)模式

3.5 1T2R運(yùn)動(dòng)模式

如混聯(lián)支鏈一切換為約束力偶模式,混聯(lián)支鏈二和三切換為約束力矢模式,由式(14)、式(17)和式(18),可得全局坐標(biāo)系下的約束螺旋系為

(24)

式(24)表明,此時(shí)存在一個(gè)約束力偶和兩個(gè)相交于N點(diǎn)的約束力矢,它們約束了動(dòng)平臺(tái)的一維轉(zhuǎn)動(dòng)和二維移動(dòng),動(dòng)平臺(tái)作如圖11所示的1T2R運(yùn)動(dòng)。

圖11 1T2R運(yùn)動(dòng)模式

4 輸入選取分析

根據(jù)輸入選取原理[15],如剛化并聯(lián)機(jī)構(gòu)的全部輸入副,動(dòng)平臺(tái)的約束螺旋系秩為6,則輸入選取合理;如秩小于6,則輸入選取不合理。

如同時(shí)鎖死混聯(lián)支鏈的兩個(gè)輸入副,則有＄rx和＄ry同時(shí)為0,此時(shí)混聯(lián)支鏈的運(yùn)動(dòng)螺旋系變?yōu)?/p>

(25)

(26)

由式(26)和式(18),可得并聯(lián)機(jī)構(gòu)在全局坐標(biāo)系下的約束螺旋系為

(27)

式(27)表明,如剛化輸入副,動(dòng)平臺(tái)的約束螺旋系秩為6,因此輸入選取是合理的,且全部輸入副為機(jī)架副,有利于改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

5 結(jié) 論

(1)基于螺旋理論分析了一種單環(huán)閉鏈的運(yùn)動(dòng)分岔特性,其具有兩種互斥的不同轉(zhuǎn)動(dòng)模式;將運(yùn)動(dòng)分岔單環(huán)閉鏈與四自由度PPRR串聯(lián)支鏈相結(jié)合,得到一種具有無(wú)約束、存在一個(gè)約束力偶、存在一個(gè)約束力矢3種不同結(jié)構(gòu)約束的混聯(lián)支鏈。

(2)利用3條對(duì)稱(chēng)布置的混聯(lián)支鏈連接定平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái),得到一種具有運(yùn)動(dòng)分岔特性的并聯(lián)機(jī)構(gòu);運(yùn)動(dòng)分岔并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有3T3R、3T、3R、2T1R和1T2R共5種不同運(yùn)動(dòng)模式。

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