如何在高中數學課程中開展空間向量教學

吳飛鵬

【內容摘要】向量在以往的高中數學中是沒有的，它是在近幾年才引入的。向量分為空間向量和平面向量。顧名思義，平面向量用于平面幾何的問題解決中，而空間向量可用來解決例題幾何中的問題，對于一些相對難度較大的立體幾何問題，空間向量的使用往往能起到很大的幫助。很多的學生都對空間幾何有抵觸情緒，在此情況下，引入空間向量，不失為一種好的教學方法。

【關鍵詞】高中數學 空間向量

一、注重空間向量性質及運用時的數形結合

1.空間向量的代數性質

空間向量具有代數的性質，它的這種性質的基礎就是運算[1]。由于運算是數學學習中的基礎，觀察與學生數學學習的始終，就這個方向來講，指導學生對空間向量的代數性質進行把握，并不是一件困難事。在進行空間向量代數性質的教學中，教師需要注意教學的重點在于運算意義的理解和運算性質。學生必須理解運算意義的主要原因是，為之后在集合解題過程的應用奠定基礎，向量正如它的名稱所示，它是一段有向線段，同時兼具長度以及方向兩個因素，不論是兩個向量相加，還是給向量乘上一個數，這時它們所代表的含義并非與通常含義上的加減乘除運算一樣。舉例來說，我們給一個既定的向量乘上一個常數n，此時它所代表的含義并不僅僅是把這個數擴大n倍，它實際的含義更為復雜，它此時指的是另一條線段，而這條新的線段比原來有向線段長n-1倍。據此，我們可以指導，向量的運算意義并不是和代數的運算意義一致，它顯得更為復雜。如果學生不能很好的把握向量運算的這一性質，就會存在理解的偏差，在以后進行數行學習的過程中必然會導致思維的混亂，影響向量對于立體幾何問題解決積極性的發揮[2]。

有上述可知，空間向量和代數運算的意義是不一致的，與此相對應，空間向量的運算律也具有獨特的含義。空間向量的運算律是簡化解題過程的關鍵點，教師應將其作為空間向量教學的重點。另外，需要注意的是，空間向量的使用范圍十分廣，因此運算律以及運算性質的數量十分可觀，教師在進行運算律和運算性質的教學過程中，不能急于求成，注意循序漸進的教學原則[3]。向量滿足的運算律和運算性質十分多，距離來說，其數量積滿足交換律、分配率、結合律，任意的一個向量a，加上0向量后沒有任何的變化，還等于它本身；任意一個向量和乘以0向量都等于0向量，等等。向量的性質十分多，而且十分雜，但是這些性質對于解決立體或者平面幾何中的問題都十分重要，教師在進行空間向量教學時，可以適當的將其引入在立體幾何中，加深學生對空間向量認識的同時，為今后的立體幾何的空間向量教學埋下伏筆。

2.空間向量的幾何性質

空間向量除了具有代數性質之外，還具有幾何性質，它的幾何性質對于后續的學習應用十分重要。例如兩個不共線的向量，進行線性組合后就可以確定一個平面可，使得幾何的平面和向量之間可以很好的連接在一起。存在十分多這種例子，例如如果向量a和向量b相乘，其結果為0的話，a向量和b向量一定是垂直關系。在進行空間幾何的有關問題解決時，皆可以說會用空間向量的這個性質，進而十分輕易的證明垂直位置關系。如果想要將三角函數和向量聯系在一起，借助向量的幾何性質就可以十分輕松的實現。在進行空間向量的教學中，使學生更加全面的理解和掌握空間向量，不僅能夠幫助學生更好的學習立體幾何，也可以減輕教師進行立體幾何教學時的壓力。

二、面對具體問題時應注重靈活選擇

在進行空間向量的學習中，最主要的目的就是讓學生在解決實際問題時靈活的使用[4]。但是，由于空間向量的運算律和運算性質十分多，因此在進行立體幾何的解題時，難免會產生選擇問題，另外，空間向量的主要應用范圍就是立體幾何解題中，而在立體幾何中，它本身也有很多的解題方法，這更是將學生的選擇范圍擴大，增加學生選擇的難度。如何選擇最為適當的方式進行解題是教學的關鍵。

舉例來說：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=8，AD=AB=6，BC的中點是E。求異面直線AD1與B1E所成的角。

在這道幾何題中，很多學生都會使用立體幾何的性質進行解題，具體來說，可以將AD1平移到BCB1C1平面，然后在使用角度關系來求出AD1與B1E所成的角。但是這道題中有一個特點，具有一些十分具體的數據，因此也可以使用空間向量的有關性質進行求解。

這就是解題的靈活性，以往解決立體幾何的有關問題時，一般都是用立體幾何的有關性質解題，但是空間向量的應用可以為學生解題提供更多的思路。但是也面臨著選擇的困難，尤其是在考試中，有時間的限制，如果將大把的時間糾結于解題方法上，將會得不償失。因此，學生在利用空間向量的過程中，一定要靈活，選擇最為恰當的解題方法。為此，教師在日常的教學中，要盡可能多的為學生展示不同題型的適用方式。

但是，一些十分困難和復雜的立體幾何中，可以需要同時運用空間向量和幾何解析法，這是要注意兩種方法的結合和轉化[5]。針對這種情況，學生的思維轉化能力要比較高，但是大部分學生的思維轉化能力一般，在這樣的學情基礎上，教師需要教導學生先使用幾何分析法，尋找題目中的已知條件和幾何關系，然后根據空間向量的有關性質，將所有的關系式列出，找到下一步的條件，然后在進行有關的計算。這樣可以將問題化繁為簡，即使學生的思維轉化一般，這種方式也十分有利。在進行問題的求解時，使用空間向量法來解題，使用不同的公式或者方法，會使提的難易程度不一樣。

教師講授空間向量課程是時，學生的思維習慣的培養十分重要，空間向量所涉及的問題主要就是幾個主要方面。基于此，教師可以根據這些方面進行題型種類的劃分，根據不同的題型種類使學生進行定量練習，使其形成習慣性的解題思路，在進行考試時，能夠在有限的時間中，根據自己的解題習慣，對相應的題目產生條件反射，進而快速的解題，節省時間。

（作者單位：江蘇省淮北中學）