一種基于直線檢測的圖像畸變校正方法

李威威 千博

摘要：文章介紹并利用具有圖像徑向和切向畸變的Brown模型及其像平面的直線不變性，分析了啟發式算法之一的模擬退火算法，對Brown模型的幾個參數變量進行求解最優解，選擇Canny算子進行邊緣檢測，之后經過噪聲抑制處理后進行霍夫變換得到直線檢測的結果，然后從檢測的直線中找出擬合最長的直線，以直線的長度作為模擬退火算法的能量函數，經過多次迭代后趨于穩定，輸出最優解。本方法的精度控制在2 pixels范圍內，通過對實際畸變圖像的校正，驗證了該直線檢測幾何校正方法的準確性。

關鍵詞：畸變校正；直線檢測；模擬退火算法；Brown模型

圖像的畸變是由于光學鏡頭在設計、裝配等的過程中產生的，存在光學系統的環境中，都會存在一定的畸變，畸變是由于鏡頭隨著鏡頭徑向的曲率不同，產生像差，使得原始圖像中的直線彎曲，可能會凹陷或者凸顯，根據畸變距離與理想的距離偏大或偏小，稱為桶形畸變和枕形畸變[1]。

攝像機的標定是圖像畸變校正的關鍵問題，標定主要是利用高精度的具有標記的模板作為空間參考，通過建立標定板與攝像機的三維坐標轉換關系來確定攝像機的內外參數。由此可見參數的估計至關重要，而參數好壞的評定標準的選擇則是重中之重。傳統的標定方法有Tsai[2]的兩步法相機標定，2hang[3]的棋盤標定法，他們都是經過測量進行的，而目前的一些非測量方法也得到了廣泛的研究，主要是根據直線特征[4]的不變性進行的。本文也是根據非測量、直線特征來進行完成標定的。首先選用Brown模型[5]作為畸變模型是考慮了不同方向上的畸變參數，經過分解將畸變因素分解成徑向和切向兩個方向，更能準確地表示實際的畸變情況。本文主要利用Brown模型的根本思想：實際物理空間在理想成像系統中的直線不變性[6]，來進行作為參數優劣的標準。

1 圖像畸變模型

由上可知，Brown模型具有較好的匹配性，該模型的數學表達式是：

（xc，yc）為徑向畸變中心點，（xd，yd）為畸變圖像像素點坐標，（xu，yu）為原圖像像素點坐標，Knn為徑向畸變n階系數，Pn。為切向畸變n階系數：r為畸變像素點到中心點的距離，在本文中，只考慮最高2階的畸變模型情況，故需要使用的參數是xc，yc，K2，P1，P2。

2 畸變校正原理及流程

首先利用如圖l所示的標定板，包含若干圈回字格，關于中心對稱，內圈的使用相機拍攝圖片得到的畸變圖像如圖2所示。利用電腦屏幕作為基板，因為電腦屏幕具有很高的像素精度，這樣避免了打印標定板造成的誤差。本文主要通過根據上述，Brown模型的基本思想：實際物理空間在理想成像系統中的直線不變性。由于標定板的特性是內圈直線短，外圈直線長，當存在畸變時，會使直線變彎曲，并且越是往外畸變的情況越是大，所以對于畸變的參數來說，檢測到的直線越長，說明參數越是最優。至于如何檢測圖像中的直線以及直線的長度，本文首先進行邊緣檢測，之后采用霍夫變換進行處理，得到直線的信息和最長直線的位置與長度，以此作為衡量的標準，進行數據參數的優化。

2.1利用邊緣提取獲得圖像曲線

邊緣檢測的方法有許多種，區別是算子的不同，主要分為一階微分算子和二階微分算子，一階微分算子有：Sobel算子對灰度漸變和噪聲較多的圖像處理效果較好，對邊緣定位不是很準確，圖像的邊緣不止一個像素。Roberts算子的邊緣提取較寬，故精度不夠。Prewitt算子對噪聲不敏感，能夠很好地過濾噪聲，缺點是檢測的邊緣較寬，精度也不夠。Canny算子也具有對噪聲不敏感的特性，對邊緣的強弱能夠進行區分，對弱邊緣的取舍具有較好的處理，能夠檢測出更準確的真正的邊緣[7]。二階微分算子有：Laplacian算子對圖像的要求較高，如果存在噪聲監測的結果會大受影響，故很少使用該算子進行邊緣檢測。

本文進行邊緣檢測的圖像對像是邊界分明的回字格，噪聲不多，但是對精度的要求較高，綜合考慮本文采用Canny算子進行邊緣信息的提取。

Canny算子首先用高斯濾波器進行平滑圖像，盡量減少圖像中的噪聲，避免對檢測精度造成的影響。其次進行邊緣的強化，采用一階偏導的有限差分來計算梯度幅值和方向，在這一階段，得到的梯度值并不能作為邊緣的判斷標準，因為進行了圖像的增強，所以還要進行非極大值抑制，去除大量的非邊緣的干擾點。最后利用兩個閡值來連接邊緣，這兩個閡值的設置直接影響著檢測的精度。

2.2利用霍夫變換獲得直線的長度

理想圖像中的直線在畸變圖像中是曲線，利用己知的Brown系數進行畸變校正處理后，進行檢測校正后圖像中直線的長度，通過比較長度可以作為畸變校正系數選定優劣的標準。本文檢測直線長度的方法是霍夫變換。

霍夫變換本質是坐標變換，在直角坐標系x-y中，直線方程y=kx+b，當變換到k-b坐標系中，直線方程是b=-xk+y，其中斜率是-x，截距是y，由此可以看出k6坐標上的一條直線，可以表示為x-y坐標上經過特定點的一系列直線。在實際操作過程中，當斜率很大時直線坐標無法表示，故使用極坐標來表示：

ρ=xcosθ+vsinθ率為：

（3）

另外模擬退火算法在計算過程中以一定的概率引入一個擾動量，該擾動量的引入概率隨時間的增加而降低。在熱力學系統中，當前溫度為T，存在能量差為Δt的概率是：

上面的式（4）是在每次迭代畸變校正系數的變化概率，把得到的改變的系數作為新的理想值，再進行驗證和比較。畸變校正處理的流程如圖3所示。

3 實驗結果與分析

在變換過程中，精度和角度檢測間隔的設置是比較重要的，為了能夠有較好的結果，需要多次試驗，找到合適的設置。另外在直線擬合過程中會導致線段的斷裂，會影響計算的速度，在計算時舍去小于50個像素的直線。

2.3畸變校正系數的最優化

我們首先給定一個初始的系數，讓系數在一定范圍內變化，使得最優的結果能夠快速地收斂經過若干次迭代后輸出最優解，本文采用模擬退火算法[8]作為每次迭代的原理依據。

該算法將目標函數作為熱量函數，當熱量函數趨于穩定時，就可以認為得到了當前最優解。用數學語言描述為：設熱力學系統s中有有限個且離散的n個狀態，狀態；的能量為Ei，在溫度E「下，經過一段時間達到熱平衡，這時處于狀態i的概

我們利用霍夫變換進行直線檢測，首先需要進行邊緣檢測以得到圖片的邊緣信息。為了減小霍夫變換的時間，我們對霍夫變換的不同參數進行設置，其中極值檢測的檢測間隔設置為2，即具有兩個像素的間隔偏差，角度檢測范圍設置為-20：0.5：20，間隔是0.5，這樣能夠快速地實現檢測，我們的回形圖（見圖4）只進行了豎列直線的檢測，因為豎向方向的檢測最優就可以表示為整體最優，并且能夠使每一次進行模擬退火算法的迭代時間減小，加快計算速度。適應度的變化曲線如圖5所示。

根據仿真結果可以看到，在30次迭代后最長直線的長度一直不變，保持在449，此時輸出參數得到Ki=9E-10，K2=9E-10，P1=1E-8，P2=4E-8。由圖4可知，最優結果已經能夠檢測到該回字形的最長邊長，大約450個像素滿足所求取得最優參數。

4 結語

本文根據光學鏡頭產生的畸變作出了的分析和研究，利用模擬退火算法進行迭代尋找最優的徑向和切向畸變校正參數，其中我們根據物理平面的像平面的直線線性不變性，通過霍夫變換來檢測矯正后圖像直線的最大長度，利用直線長度作為模擬退火算法的能量函數，每次迭代選擇最優的作為當前輸出解，多次迭代后趨于穩定，輸出的結果即使最優的畸變校正參數設置。該方法的精度與霍夫變換的精確度有關，由于霍夫變換的精度設置在2 pixels，該方法在進行直線檢測過程中會忽略大約2 pixels的范圍。最后通過實際的畸變校正圖像結果驗證了該直線檢測幾何校正方法的準確性。