隨機共振微弱周期信號檢測方法

西安石油大學 賈睿哲 陳 英 孫魯喆 賀 翔 尚 棟 張振南

0 概述

隨機共振微弱周期信號檢測理論的提出，顛覆了噪聲都是有害于待測信號的這一傳統理念，并在近幾年的微弱信號檢測學中逐漸變得重要。它與傳統的時域處理法、頻域分析法等抑制噪聲的方法是不同的[1]。隨機共振微弱周期信號檢測理論是利用和信號耦合在一起的噪聲來增強信號傳輸能力，甚至是通過添加噪聲來提高信號的可檢測性能。隨機共振系統一般結構框圖如圖1所示。

圖1 隨機共振系統的一般結構框圖

噪聲ξ(t)、微弱特征信號s(t)以及信號處理單元的非線性系統，是三個組成隨機共振系統的要素。其中微弱特征信號s(t)可以是任意類型的信號；和待測信號耦合在一起的噪聲信號ξ(t)實際上是一種滿足一定統計要求的隨機信號[2]，既可以是系統本身存在的，也可以是外加的；信號處理單元常采用非線性雙穩態系統。被測信號和噪聲作為混合輸入，經過非線性雙穩態系統的處理，產生隨機共振效應，把噪聲能量轉化為信號能量，從而提高系統的輸出信噪比。隨機共振系統中一個重要的測度就是信噪比，信噪比的強弱，是能否成功檢測出微弱周期信號的重要依據。而系統的結構參數、頻率、輸入信號幅值、噪聲強度等都對該隨機共振系統有著影響，通過科學的測量和調節這些變量可產生隨機共振效應。

1 隨機共振系統基本原理

1.1 非線性朗之萬（Langevin）方程

非線性朗之萬方程描述的雙穩態系統就是隨機共振系統最簡潔明了的定義：

其中，V(t)為非線性對稱勢函數，即：V(t)=V(-t)。

最簡單的勢函數是具有兩個極小值點一個極大值點的雙穩態勢函數：

參數a=b=1，噪聲強度D=0時的雙穩態勢函數曲線圖如圖2所示。其中的極大值點稱其為勢壘（閾值），其勢壘高度為，兩個極小值點，稱其為勢阱，此時的兩個勢阱深度是相同的。而系統的輸出狀態處于哪一個勢阱是由系統的初始條件決定。

當被測信號幅值A≠0時，非線性雙穩態系統的平衡將被打破，也就是說兩個勢阱的深度將不再相同，勢阱按輸入信號頻率ω發生周期性的傾斜[3]，并且當A的值滿足靜態觸發閾值條件時，系統會躍遷到另一個勢阱，這樣系統的輸出也會出現跳變。

當噪聲強度D≠0時，且增大到某一值時，由于噪聲和信號的協同作用，勢阱傾斜程度不斷增大，直到系統輸出越過勢壘完成兩勢阱間的躍遷。

圖2 a=b=1, A=0, ξ(t)=0時的雙穩態勢函數

盡管隨機共振系統中信號和噪聲觸發系統躍遷的特性不同，但它們使系統越過勢壘（觸發閾值）在兩勢阱間進行切換而引起的效應是相同的。當系統在兩勢阱之間進行躍遷時，相比于輸入信號的幅值，雙穩態之間的電壓差要大得多，這時輸出信號幅值也就大于輸入信號幅值，并且系統在兩勢阱間有規律的切換使得輸出的變化量有規律的進行，從而有效地降低了輸出狀態中的噪聲能量，也就提高了系統輸出的信噪比，我們稱這種現象為隨機共振。這也就是說，隨機共振的實質是在信號和噪聲的協同作用下，使得非線性系統輸出得到周期性增強的現象[4]。

系統參數a，b的大小決定了勢壘的高度，所以當雙穩態系統輸入的信號和噪聲能量不足以使系統在勢阱間躍遷時，可以調節系統的參數a，b來改變勢壘高度[5]，以達到系統輸入的信號和噪聲的能量足以支持粒子越過勢壘的目的，這時系統也能產生隨機共振效應。

1.2 福克·普朗克（Fokker-Planck）方程

在這里我們對于郎之萬方程的研究，并不是簡單的想知道輸出變量的軌跡，而是想要探究軌跡的統計性質，也就是系統在兩個勢阱處的概率分布。

福克普朗克（Fokker-Planck）方程[6]是描述雙穩態系統的輸出變量x(t)的概率分布函數ρ(x, t )所遵循的演化規律，即：

上式的初始條件為。對上式進行數值分析，可以知道：從概率上看，系統輸出處在淺勢阱的時間遠小于處在深勢阱的時間。

系統在兩個勢阱間來回的切換速度影響了隨機共振現象的產生[7]，然而系統中的噪聲能量影響了該切換速度,當信號幅值為零時，其表達式為：

當信號幅值不為零時，噪聲和信號的協同作用使系統完成勢阱間的躍遷。這時，系統勢阱根據信號的頻率進行周期性的切換，并與噪聲引起的切換產生協同作用，進而增強了系統輸出的周期分量，且提高了輸出信噪比。

1.3 信噪比

信噪比（signal-to-noise ratio）是描述信號中有效成分與噪聲成分的比例關系參數。不同的應用領域有不同的具體定義。

同時信噪比(SNR)也是隨機共振理論中的一個重要測度，它在這里被定義為：輸出信號功率譜中信號頻率處的幅值與同頻背景噪聲之比,表達式為：

其中，S(ω)為信號功率譜密度；SN(ω)為噪聲在信號頻率附近的強度大小。經過仿真實驗可以得到，在一定范圍內，信噪比先隨著噪聲強度D的增大而增大，到達最大值時再以指數形式快速衰減[7]。

圖3 噪聲強度與輸出信噪比的函數曲線

2 數值算法及仿真模型

在這里我們可以用四階龍格-庫塔法描述非線性雙穩態系統的朗之萬方程（式（1））進行求解，其表達式為：

式中表達式為：

本文通過搭建隨機共振微弱周期信號檢測系統的Simulink模型，如圖4所示，繪制非線性系統輸入端和輸出端的時域圖及頻譜圖并對其進行分析，從而驗證了隨機共振效應在微弱特征信號檢測中的有效性。其中的Random Number模塊為均值為零的高斯白噪聲，Sine Wave模塊為被測信號，Gain,Gain1為勢函數的參數，Scope為輸出時域圖的示波器，把Scope模塊換成Spectrum Scope時，輸出頻譜圖。

圖4 隨機共振系統的simulink仿真結構圖

3 數值仿真結果及分析

采用四階龍格-庫塔算法得到是郎之萬方程的近似解，本文通過對信號輸入和輸出進行頻譜分析來研究隨機共振系統的一些特性。

3.1 時域仿真結果分析

設輸入正弦信號，信號幅值A=0.5，信號頻率f=0.025Hz，系統參數a=b=1，采樣頻率fs=5Hz,加入強度D=5的高斯白噪聲。用圖4的仿真方法得到系統輸入端和輸出端的時域波形，如圖5所示。

加入噪聲后，被測信號已被噪聲信號完全覆蓋淹沒，如圖5(a)所示，原始信號的特性都已看不出來，而經隨機共振系統處理后，原始信號的時域特性又再次顯現，如圖5(b)所示，并且相比于未經隨機共振系統處理的信號幅度還有所增強，此時信噪比提高到了-15dB。

圖5 系統輸入端和輸出端的時域波形

3.2 頻域仿真結果分析

設輸入正弦信號，信號幅值A=0.1V，信號頻率f=100Hz，系統參數a=b=1，添加噪聲強度D=0.5V的高斯白噪聲。經過仿真得到隨機共振系統輸入端和輸出端的頻譜圖,如圖6所示。

從輸入頻譜圖可以看到，在強噪聲背景下，信號的頻率已無法分辨出來，而經過隨機共振系統處理后，噪聲得到了有效的抑制，輸出頻譜圖中我們就可以看出，被測信號的頻率也已經顯示出來了。

圖6 隨機共振系統輸入端和輸出端的頻譜圖

4 結論

通過分析原始信號的時頻特性以及信號和噪聲的混合信號經非線性雙穩態系統處理后的時頻特性，我們可以看到，完全被噪聲淹沒的被測信號，在經過隨機共振系統處理后，原始特性能較好的展現出來，甚至在幅值等方面還有所加強。這就說明隨機共振效應在微弱特征信號的檢測中有實際應用價值，尤其是在強噪聲背景下，我們可以利用噪聲能量提高信噪比，進而檢測出原始信號。

[1]胡蔦慶.隨機共振微弱特征信號檢測理論與方法[M].北京:國防工業出版社(第1版),2012.

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