含少量氣泡流體飽和孔隙介質中的彈性波?

王婷 崔志文 劉金霞 王克協

1 引 言

自然界中很多物質都存在孔隙,如泥土、巖石等,人們稱這些物質為多孔介質.多孔介質聲學[1]就是研究聲波在多孔介質中的傳播規律,通過對孔隙介質彈性波速度頻散和衰減的測量來獲得孔隙介質聲學參數的科學.Biot[2]建立了流體飽和孔隙介質聲學理論,該理論得出在流體飽和多孔介質中存在三種體波:快縱波、慢縱波和橫波.隨后又有許多研究者對多孔介質進行了研究[3?6].

但上述模型孔隙內只包含一種液體,而實際的孔隙內往往含有氣體和液體或兩種液體.所以也有許多研究者致力于研究聲波在三相介質中的傳播規律[7].Santos等[8]考慮毛細管壓力作用,利用補償虛功原理和拉格朗日變分原理建立了兩種不相溶流體飽和孔隙介質波動理論,該理論指出孔隙介質中存在著三種縱波和一類橫波.蔡袁強等[9]考慮了各相物質間的慣性耦合,利用孔隙介質多相滲流力學原理和連續介質理論推導了兩種不相混溶流體飽和多孔介質的波動方程.李偉華[10]研究了非飽和土孔隙流體中含有氣體的情況,把孔隙水的體積模量與孔隙氣體的體積模量等效為一種模量,得出少量氣體的存在對孔隙內物質的總體積模量影響很大,但他并沒有考慮氣泡的振動.White等[11]建立了一種內部包含氣泡、外部為水的球形部分飽和孔隙模型,也稱斑塊飽和模型;Johnson[12]發展了White等的理論,提出了一個滿足更廣泛孔隙斑塊形態的模型,這種模型當氣體含量很少時,氣體的存在對聲波的傳播影響并不大.但由Keller和Miksis[13]提出的氣泡振動理論可知,少量的氣泡會對流體中的聲速產生很大的影響.因而本文建立了孔隙介質中含有流體和少量氣泡且氣泡在聲波作用下線性振動的孔隙介質模型.目前國內外對聲波在含氣泡液體中的傳播有很多研究[14?20],對聲波在含氣流體孔隙介質中的研究相對較少.Anderson和Hampton[21]總結了流體飽和沉積巖、含氣沉積巖和含氣水中的聲波性質的知識,并預測了含氣泡沉積巖中聲波的傳播特性;Yang和Church[22]研究了單個氣泡在黏彈組織中的振動規律;Mantouka等[23]采用了Yang和Church的理論,研究了聲波在含氣沉積巖中的傳播,但在求其速度和衰減時采用的是Commander和Prosperetti[15]含氣泡流體中計算復聲速的方法,并沒有涉及到孔隙理論.鄭廣贏和黃益旺[24]考慮氣泡位于孔隙流體中,研究只含有少量氣體時聲波在沉積物中的傳播,但因采用等效密度流體模型只能得到一種快縱波的傳播規律,不能同時考察第二類縱波——慢縱波及橫波的傳播特性.本文結合流體質量守恒方程[25]重新推導了含少量氣泡情況的滲流連續性方程,在處理氣體體積分數與流體壓力的關系時不采用等效密度流體模型進行處理,而是直接代入,因而可以得到兩類縱波及橫波的速度頻散和衰減等聲學特性,進而可以考察含少量氣泡流體飽和孔隙介質中聲波傳播特性的一般規律.

2 含氣泡孔隙流體滲流連續性方程

在Biot理論的滲流連續性方程中,孔隙中的流體考慮的是純流體.而本節中要推導的滲流連續性方程是考慮孔隙流體中含有少量氣泡的情況.

流體質量守恒方程[25]表示為

其中?表示孔隙度;ρf為流氣總密度;u表示固體骨架的位移,ut= ?u/?t;q為滲流速度,q=??U/?t,U表示孔隙流體的位移.

將(1)式線性化有

其中 w表示流體相對于骨架的位移,wt=?(Ut?ut).

孔隙度的微分與骨架應變微分、流體壓力微分的關系為[26]

其中P表示孔隙流體壓力;e為骨架應變;d e=?·u;α=1?Kb/Ks,Kb,Ks分別為骨架和顆粒的體積模量,

用?g表示氣體的體積分數,ρw,ρg分別表示流體和氣體的密度,當?g很小時,

流體體積模量Kw與流體密度、壓強的關系:

將(3)—(5)式代入(2)式可以得到含有氣泡形式的孔隙流體滲流連續性方程:

其中C,M為彈性模量,上面的點表示對時間的導數.

3 氣泡體積分數與液體壓強的關系

對于孔隙流體中的氣泡,假設:1)氣泡大小相同且在流體中均勻分布;2)氣泡中氣體為理想氣體,忽略泡內蒸汽的影響;3)氣體液體兩相互不相溶.氣體體積分數?g可以表示為

其中Vg表示單位孔隙中氣體的含量,Vg=4πR3N/3,R為氣泡的瞬時半徑,N為單位體積內的氣泡個數,Vk=4πa3/3表示單位孔隙的體積,a為孔隙半徑.

由(7)式可知氣體體積分數?g與氣泡瞬時半徑R的關系為

Keller和Miksis[13]氣泡徑向運動的振動方程:

式中c表示流體中的聲速,c=PB表示氣泡液體邊界液體一側的壓強,p定義為氣泡所在位置當氣泡不存在時的壓強,p=P∞+Pt,其中P∞表示液體靜態壓強,Pt表示氣泡的散射聲場和驅動聲場的和,并假定其為孔隙中的流體壓強.

考慮氣泡線性振動,在ωR0/c? 1時,將(9)式線性化,Commander和Prosperetti[15]給出

其中,

R0為氣泡的初始半徑;Pin0表示穩定狀態下氣泡內部的壓強,由氣泡的邊界條件知Pin0=P∞+2σ/R0,σ表示氣液界面的表面張力系數;η是孔隙流體黏滯系數,D為氣體的熱擴散系數,γ為氣體的比熱.

因此由(8)式和(10)式可求得:

通常的數量級數小于1,略去二階以上的項,有

最后可得到氣泡體積分數時間導數與壓強時間導數的關系為

得到了氣泡體積分數時間導數與壓強時間導數的關系后,便可結合(6)式得到類似Biot形式的滲流連續方程,有

其中,C′= αM′,1/M′=1/M+ ξ,ξ=

4 含氣泡情況的Biot位移場方程

Biot[2]建立了流體飽和孔隙介質彈性波動力學理論,后人稱之為Biot理論.Biot理論成功地描述了彈性波在牛頓黏性流體飽和孔隙介質中傳播的基本規律,已得到越來越廣泛的應用.Biot理論的兩個運動方程和孔隙介質的應力應變關系為:

式中τ為多孔介質的應力;ρ為多孔介質的混合密度;α∞為彎曲度;κ為滲透率;λb,Gb為骨架拉梅系數.

聯立(13)—(16)式,即可得到含氣泡形式的Biot位移場方程:

其中H′=Kb+4Gb/3+α2M′.將(17),(18)式與Biot位移場方程對比,發現形式上完全一致,只有H′,C′,M′與Biot的不同,它們表示修正后的含氣泡振動形式的模量.

設位移矢量按eiωt隨時間變化,得頻域方程:

其中?ρ=α∞ρf/??iη/(ωκ).

對位移矢量u,w進行亥姆霍茲(Helmholtz)分解,引入勢函數并代入(19),(20)式可得到縱波、橫波滿足的波動方程[3,5],此處從略.其中,縱波慢度s滿足的方程為

可得快、慢縱波的相速度與衰減系數為:

快、慢縱波的滲流位移振幅與固相位移振幅的比值為

本文所要考察的快、慢縱波的流體位移與固體位移振幅的比值為βj=1+αj/?,其中j=p1,p2分別代表快、慢縱波.

橫波慢度ss滿足的方程為

可得橫波的相速度與衰減系數為:

橫波的滲流位移振幅與固相位移振幅的比值為

橫波的流體位移與固體位移振幅的比值為βs=1+αs/?.

由(25)—(28)式可知,橫波的聲學特性與密度和剪切模量有關,當只有少量氣泡存在時,ρf,ρ變化都較小,且剪切模量不變化,因而橫波的聲學特性變化較小.所以本文沒有對橫波進行計算研究.

5 計算結果與分析

下面對彈性波進行研究. 計算參數如下:? =0.3;κ =9×10?10m2;η =1.0× 10?3Pa·s;α∞=2.15;ρw=1000 kg/m3;ρs=2690 kg/m3;ρg=1.3 kg/m3;P∞=1×105Pa;σ =72.75×10?3N/m;γ =1.4;Gb=2.61× 107Pa;Kb=4.36×107Pa;Ks=3.6×1010Pa;Kw=2.0×109Pa;R0=2.0×10?6m;D=2.4×10?5m2/s.計算結果見圖1—圖4,其中圖1為快縱波相速度和衰減的全頻率曲線,圖2為慢縱波相速度和衰減曲線,圖3、圖4分別為流體位移與固相位移的振幅比值的大小和相位.

氣泡共振頻率與聲場驅動頻率、氣泡半徑大小等參數有關[24].本文選取的參數下,當氣泡體積分數為0—0.001范圍內,氣泡的共振頻率分布在400—10000 kHz.由圖1可以看出:在氣泡共振頻率處,介質的相速度、衰減等參數出現高幅度變化,這與文獻[24]的結果一致,此不再敷述.而人們更關心的海底勘探、油氣儲層地下勘探等,其頻率范圍從幾赫茲至幾十千赫茲,所以下文重點考察這一頻率范圍含少量氣流體飽和沉積巖中彈性波的傳播特性.從圖1可以發現,當氣泡體積分數為0時,該曲線與Biot模型結果一致,這從理論公式中也可以看出:當?g=0時,氣泡個數N=0,ξ=0,則(17),(18)式退化為Biot位移場方程.隨著氣體體積分數的增加,快縱波的相速度變化幅度很大.當頻率很低時,快縱波的低頻近似公式為

當?g分別為0,0.00001,0.0001,0.001時,由(22)式計算得到的速度(f=10 Hz)分別為1663.3,1573.9,1133.7,497.53 m/s,而由低頻近似(29)式求得的速度分別為1653.3,1564.5,1127.3,495.9 m/s.近似公式給出了很好的近似值,并直觀反映了快縱波速度與介質參數特別是與氣體體積分數及氣泡半徑的關系.由圖1(b)可知,在低頻區域,快縱波的衰減值隨著氣體體積分數的增加而逐漸減小,但變化幅度很小,且可以看到其低頻處的弛豫峰值對應的頻率不隨著氣體體積分數的變化而變化.

圖1 快縱波的相速度和衰減Fig.1.Phase velocity and attenuation of the fast compressional waves.

慢縱波的結果見圖2,隨著氣體體積分數的增加,慢縱波的相速度在低頻變化較小,在高頻范圍變化較大,由慢縱波低頻近似公式 Vp2=可以看出在低頻范圍,慢縱波的速度與氣體體積分數無關.慢縱波的衰減值遠遠大于快縱波的衰減值,這也再次表明慢縱波具有強衰減的特性;對于含少量氣體的情況,慢縱波的衰減值隨著氣體體積分數的增加也逐漸減小,但變化幅度較小.

圖2 慢縱波的相速度和衰減Fig.2.Phase velocity and attenuation of the slow compressional waves.

圖3 快、慢縱波引起的孔隙流體位移與固相位移的振幅比值的大小 (a)快縱波;(b)慢縱波Fig.3.Amplitude ratio of pore fl uid displacement and solid displacement caused by fast and slow compressional waves:(a)Fast compressional waves;(b)slow compressional waves.

由圖3可以看出,在同一氣體體積分數下,隨著頻率的增加,快縱波的孔隙流體位移與固相位移的振幅比值的大小逐漸升高,慢縱波的逐漸減小.隨著氣體體積分數的增加,快縱波引起的孔隙流體位移與固相位移的振幅比值的大小逐漸減小,慢縱波的逐漸增加,且增加幅度相對較大.此外,也可以看出氣體體積分數的變化對慢縱波的所有頻率都有影響,對快縱波低頻影響小而對高頻區域影響較大,這與相速度曲線隨氣體體積分數變化規律相反.結果表明,氣體體積分數對快、慢縱波引起的孔隙流體位移與固相位移的振幅比值影響較大.慢縱波可誘導較大的滲流[3],若考慮聲電效應[27],這種含少量氣流體飽和介質將會誘導更強的震電信號.

由圖4可以看出,快縱波的孔隙流體的脹縮比固體的脹縮略有超前,慢縱波孔隙流體的脹縮與固體的脹縮反相.此外,隨著氣體體積分數的增加,快縱波和慢縱波孔隙流體位移與固相位移振幅比值的相位都逐漸減小,但慢縱波變化的幅度較小,與Biot理論的結果相差很小.

6 結 論

考慮孔隙流體中含有少量氣泡,且氣泡在聲波作用下線性振動,研究聲波在這種孔隙介質中的傳播特性.在氣液不相溶條件下基于Biot理論,結合Commander給出的小振幅聲波在含氣泡液體中的氣泡線性振動模型,在處理氣體體積分數與液體壓強關系時沒有用到等效密流體度模型,而是采用了直接代入的方法,因而得到了更一般的聲學理論模型.給出了修正的模量M′,得到了和Biot位移場方程形式對應的含少量氣泡情況的位移場方程,可以考查快、慢縱波及橫波的傳播特性.同時,本文給出了快縱波的速度低頻近似公式,近似公式直觀反映了快縱波速度與介質參數,特別是與氣體體積分數及氣泡半徑的關系.計算考查了聲波在此孔隙介質模型中的傳播特性.結果表明,少量氣泡的存在對孔隙介質的快、慢縱波的聲速、衰減、兩類波引起的流體位移與固體位移關系都有影響,其中對快縱波的聲速影響較大.關于快縱波的研究結果與鄭廣贏和黃益旺[24]的結論一致.從修正的動態模量M′來看,氣泡的振動改變了孔隙介質的動態彈性模量,所以導致聲速的變化很大,快縱波的速度低頻近似公式解析也給出了直觀的表達.同時,不同頻率下的氣泡振動效應也是波衰減的另一個需要考慮的因素.本文給出的聲學模型可以用于考察含少量氣體的流體飽和孔隙介質如海洋沉積巖中聲波傳播特性.本文的結果有待于實驗的驗證,因此,相關實驗也是值得進一步開展的研究工作.氣泡振動在海洋學中有著重大的意義,本文研究的孔隙介質流體中含有少量氣泡的聲學理論對地探開采、聲波測井等領域也有著重要的參考意義.

[1]Qiao W X,Wu W Q,Wang Y J 1996 Prog.Phys.16 386(in Chinese)[喬文孝,吳文虬,王耀俊 1996物理學進展16 386]

[2]Biot M A 1956 J.Acoust.Soc.Am.28 168

[3]Cui Z W,Wang K X,Cao Z L,Hu H S 2004 Acta Phys.Sin.53 3083(in Chinese)[崔志文,王克協,曹正良,胡恒山2004物理學報53 3083]

[4]Plona T J 1980 Appl.Phys.Lett.36 259

[5]Cui Z W,Wang K X 2003 Int.J.Eng.Sci.41 2179

[6]Pride S R,Berryman J G 2003 Phys.Rev.E 68 036604

[7]Wang X M 2009 Appl.Acoust.28 1(in Chinese)[王秀明2009應用聲學28 1]

[8]Santos J E,CorberóJ M,Douglas J 1990 J.Acoust.Soc.Am.87 1428

[9]Cai Y Q,Li B Z,Xu C J 2006 Chin.J.Rock Mech.Eng.25 2009(in Chinese)[蔡袁強,李寶忠,徐長節 2006巖石力學與工程學報25 2009]

[10]Li W H 2002 Northwest.Seismological J.24 303(in Chinese)[李偉華2002西北地震學報24 303]

[11]White J E,Mikhaylova N G,Lyakhovitskiy F M 1975 J.Acoust.Soc.Am.57 S30

[12]Johnson D L 2001 J.Acoust.Soc.Am.110 682

[13]Keller J B,Miksis M 1980 J.Acoust.Soc.Am.68 628

[14]Prosperetti A,Crum L A,Commander K W 1988 J.Acoust.Soc.Am.83 502

[15]Commander K W,Prosperetti A 1989 J.Acoust.Soc.Am.85 732

[16]Wang Y,Lin S Y,Zhang X L 2013 Acta Phys.Sin.62 064304(in Chinese)[王勇,林書玉,張小麗2013物理學報62 064304]

[17]Wang Y,Lin S Y,Mo R Y,Zhang X L 2013 Acta Phys.Sin.62 134304(in Chinese)[王勇,林書玉,莫潤陽,張小麗2013物理學報62 134304]

[18]Wang Y,Lin S Y,Zhang X L 2014 Acta Phys.Sin.63 034301(in Chinese)[王勇,林書玉,張小麗2014物理學報63 034301]

[19]Zhu L G 2009 Ship Sci.Tech.10 64(in Chinese)[祝令國2009艦船科學技術31 64]

[20]Wang H B,Wang Z Q,Zhang H Y,Zhang W P 2005 Shipbuild.China 46 44(in Chinese)[王虹斌,王芝秋,張洪雨,張文平2005中國造船46 44]

[21]Anderson A L,Hampton L D 1980 J.Acoust.Soc.Am.67 1890

[22]Yang X M,Church C C 2005 J.Acoust.Soc.Am.118 3595

[23]Mantouka A,Dogan H,White P R,Leighton T G 2016 J.Acoust.Soc.Am.140 274

[24]Zheng G Y,Huang Y W 2016 Acta Phys.Sin.65 234301(in Chinese)[鄭廣贏,黃益旺 2016物理學報 65 234301]

[25]Dvorkin J,Nur A 1993 Geophysics 58 523

[26]Biot M A 1941 J.Appl.Phys.12 155

[27]Hu H S 2003 Acta Phys.Sin.52 1954(in Chinese)[胡恒山2003物理學報52 1954]