改進(jìn)的自適應(yīng)Canny邊緣檢測算法

段鎖林，殷聰聰，李大偉

(常州大學(xué) 機器人研究所，江蘇 常州 213164)

0 引 言

邊緣檢測是很多其它圖像處理技術(shù)的基礎(chǔ)[1]。傳統(tǒng)的邊緣檢測算法有Roberts、Sobel、Prewitt、Kirsch、Canny等。其中Canny算法相對于其它幾種算法具有較好的去噪能力和較高的檢測精度，應(yīng)用范圍較廣[2]。但是，傳統(tǒng)Canny算法存在需要設(shè)定參數(shù)、椒鹽噪聲環(huán)境下檢測效果不佳等問題。近年來，許多學(xué)者針對Canny算法存在的問題進(jìn)行了改進(jìn)。文獻(xiàn)[3]提出用窗口大小為3×3的改進(jìn)后中值濾波器替代高斯濾波器，減少了運算量，但是對不同程度的椒鹽噪音適應(yīng)性較差且對高斯噪聲的濾波效果不佳；文獻(xiàn)[4,5]提出用自適應(yīng)中值濾波器替代高斯濾波器，對椒鹽噪聲自適應(yīng)性較好，但是運算量較大，對高斯噪聲的去噪效果不佳；文獻(xiàn)[3,6]在計算梯度時將模板擴(kuò)大為3×3，增加計算45°和135°方向的梯度，增加了算法的抗噪性，但是沒有充分利用45°和135°方向的數(shù)據(jù)來計算梯度的方向；文獻(xiàn)[4,7]引入Otsu算法根據(jù)像素梯度值的分布情況計算高、低閾值，增加了算法的自適應(yīng)性，但是傳統(tǒng)Otsu算法需要遍歷每個像素梯度等級來確定最大類間方差值，效率較低。

針對上述問題，通過改進(jìn)自適應(yīng)中值濾波器、增加梯度計算模板和在Otsu算法中引入二分查找法等手段來改進(jìn)傳統(tǒng)Canny算法。實驗結(jié)果表明，該算法在椒鹽噪聲和高斯噪聲環(huán)境下都有較好的邊緣檢測效果，自適應(yīng)性強，在一定程度上減少了算法的計算機耗時。

1 傳統(tǒng)Canny算法存在的問題

(1)Canny算法采用二維零均值高斯濾波器對圖像進(jìn)行去噪處理，濾波器函數(shù)表達(dá)式如下

(1)

式中：σ——高斯濾波器分布參數(shù)，當(dāng)σ取值較小時，邊緣定位精度較高，但抑制噪聲能力差。在噪聲較大時，需要增大σ的值和增大模板，但會使邊緣位置偏離實際位置，邊緣定位精度降低[8]。因此，需要根據(jù)圖像含有噪聲的具體情況人為設(shè)置σ的取值大小，同時，高斯濾波器對椒鹽噪聲的濾波效果不佳。

(2)傳統(tǒng)Canny算法采用2×2大小的模板來計算平滑后灰度圖像的梯度幅值和梯度方向。其中，點(i,j)處的灰度值為I(i,j)，則水平和垂直兩個方向上的梯度值分別為

Gx(i,j)=[I(i,j+1)-I(i,j)+I(i+1,
j+1)-I(i+1,j)]/2

(2)

Gy(i,j)=[I(i,j)-I(i+1,j)+I(i,
j+1)-I(i+1,j+1)]/2

(3)

此時，點(i,j)處的梯度幅值G(i,j)和梯度方向θ(i,j)分別為

(4)

(5)

由于采用了2×2梯度計算模板，使得對噪聲比較敏感，容易檢測出很多偽邊緣和丟失真實邊緣，造成邊緣定位精度降低，并且所計算出來的其實是內(nèi)插點(i+1/2,j+1/2)處的梯度幅值和方向[6]。

(3)傳統(tǒng)Canny算法根據(jù)雙閾值從候選邊緣點中尋找最終的邊緣點。雙閾值的選擇需要根據(jù)圖像梯度分布的具體情況預(yù)先設(shè)定高閾值Th和低閾值Tl。對于邊緣強度不同的圖像，用同一組高、低閾值分割，效果相差很大[9]。因此，傳統(tǒng)Canny算法對邊緣強度分布不同的圖像，適應(yīng)性差。

2 改進(jìn)的自適應(yīng)Canny邊緣檢測算法

針對上文所分析的問題，在已有的改進(jìn)方法基礎(chǔ)之上，提出了進(jìn)一步的改進(jìn)方法，旨在提高邊緣檢測算法的自適應(yīng)性，降低運算量，提高算法的實時性。

2.1 改進(jìn)的自適應(yīng)中值濾波算法

傳統(tǒng)中值濾波是基于數(shù)據(jù)整體排序的方法找出最大值、最小值和中值，隨著濾波窗口的增大，運算量會急劇增加，并且對高斯噪聲的濾波效果不佳。利用分治法思想和相鄰窗口排序信息相關(guān)性的原理改進(jìn)傳統(tǒng)自適應(yīng)中值濾波器，可以大大減小排序時的比較次數(shù)，再結(jié)合IMF(improved median filter)算法可以使其對高斯噪聲也具有較好的濾波效果[10]。具體改進(jìn)方法如下：

設(shè)濾波窗口為Wn，窗口中像素點的灰度值為aij，則有

(6)

首先利用分治法思想對Wn中元素進(jìn)行排序[11]。將Wn中每一列分別進(jìn)行由小到大排列得到新的矩陣Xn，使得Xn的第1行為Wn中每一列的最小值，第2n-1行為Wn中每一列的最大值，第n行為Wn中每一列的中值。接著對Xn中的第1行、第n行和第2n-1行分別進(jìn)行由小到大排列得到矩陣Yn，則Yn中的a11和a(2n-1)(2n-1)分別是Wn中的最小值和最大值，ann是Wn中的近似中值。實驗結(jié)果表明，這樣得到的近似中值不影響濾波效果。若濾波窗口為N×N，則傳統(tǒng)中值濾波算法最壞需要N2(N2-1)/2次比較才能找到中值，通過上述改進(jìn)后最壞只需要N(N-1)(N+3)/2次比較計算。

為了進(jìn)一步降低運算量，提高算法實時性，根據(jù)相鄰濾波窗口排序信息相關(guān)性的原理，利用前一個濾波窗口已排列好的數(shù)據(jù)代入下一個濾波窗口，減少下一個濾波窗口的比較次數(shù)。設(shè)當(dāng)前濾波窗口為經(jīng)過上文重新排序后的Y(i,j)，下一個濾波窗口為沿水平方向往右移動一個像素點的Y(i,j+1)。如圖1所示，Y(i,j+1)為Y(i,j)移除其第1列數(shù)據(jù)，同時移入下一列新像素構(gòu)成的新的濾波窗口。

圖1 濾波窗口平移

由于新的濾波窗口Y(i,j+1)中除了最后一列是新移入的數(shù)據(jù)，其它每一列都是在Y(i,j)中已經(jīng)排序好的數(shù)據(jù)，所以只要將Y(i,j+1)中最后一列數(shù)據(jù)由小到大排序后，再把Y(i,j+1)第1行、第n行和第2n-1行分別進(jìn)行由小到大排列，即可得到最小值、最大值和近似中值。由于Y(i,j+1)中第1行、第n行和第2n-1行的前2n-2個數(shù)據(jù)在Y(i,j)中已經(jīng)排列好了，是一組有序的數(shù)據(jù)，所以最壞只需要2n-2次比較即可完成排序。結(jié)合上一步的改進(jìn)方法，對于大小為N×N的濾波窗口最壞只需要N(N-1)/2+3(N-1)次比較就可以找到最小值、最大值和近似中值。由此可知，改進(jìn)后算法第1步迭代計算的復(fù)雜度為O(N3)=N(N-1)(N+3)/2，第2至k步迭代計算的復(fù)雜度為O(N2)=N(N-1) /2+3(N-1)。當(dāng)?shù)螖?shù)k遠(yuǎn)大于1時，改進(jìn)后算法最差平均復(fù)雜度為O(N2)。而傳統(tǒng)中值濾波的復(fù)雜度為O(N4)=N2(N2-1)/2。可見，改進(jìn)后的算法復(fù)雜度由O(N4)降低到了O(N2)，大大降低了運算量。以大小為5×5的濾波窗口為例，Y(i,j+1)最壞只需要進(jìn)行3×(5-1)+5×(5-1)/2=22次比較即可得到最小值、最大值和近似中值。相對于傳統(tǒng)中值濾波的25(25-1)/2=300，改進(jìn)后的算法把比較次數(shù)減小到原來的1/13左右，且窗口越大越能體現(xiàn)出該改進(jìn)方法的優(yōu)勢。

通過上述改進(jìn)后，可以快速找到窗口內(nèi)的最小值、最大值和近似中值。接著，借用文獻(xiàn)[10]中提到的IMF算法思想對窗口的像素點的灰度值做加權(quán)平均，目的是使濾波器對高斯噪聲也有一定的濾波效果。假設(shè)濾波窗口大小為N×N，對像素點(m,n)進(jìn)行濾波。先用上文改進(jìn)后的方法找到窗口內(nèi)的最小值amin、最大值amax和近似中值amed，然后計算出窗口內(nèi)各像素灰度值a(i,j)與amed的方差D(i,j)，接著使用如下公式計算各像素點灰度的權(quán)重r(i,j)

(7)

最后的濾波輸出為

(8)

經(jīng)過上述改進(jìn)后的自適應(yīng)中值濾波結(jié)合了均值濾波的優(yōu)點，在加權(quán)求和時像素點的灰度值與中值相差越大，其權(quán)重越小，這樣不僅可以濾去椒鹽噪聲，還可以抑制高斯噪聲。

改進(jìn)后的自適應(yīng)中值濾波具體實施步驟如下：

步驟1 設(shè)濾波窗口大小為w=3；

步驟2 按改進(jìn)后的方法計算當(dāng)前窗口內(nèi)灰度值的最小值amin、最大值amax和近似中值amed；

步驟3 如果amin

步驟4 如果w小于或等于允許的最大窗口，則跳轉(zhuǎn)到步驟2，否則用當(dāng)前窗口內(nèi)的近似中值amed替換當(dāng)前像素點的灰度值，即a(i,j)=amed；

步驟5 如果amin

實驗驗證，與傳統(tǒng)Canny算法和文獻(xiàn)[3]中的方法相比，改進(jìn)后的自適應(yīng)中值濾波器對椒鹽噪聲和高斯噪聲都具有較好的去噪效果，自適應(yīng)性、抗噪性有較大的提高。

2.2 改進(jìn)的梯度幅值和梯度角度計算方法

本文在文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步改進(jìn)梯度的計算方法，借鑒Sobel算子的思想，增加45°和135°方向梯度計算模板，如圖2所示。

圖2 改進(jìn)后梯度模板

根據(jù)上述改進(jìn)后模板可計算得出4個方向的梯度幅值：Gx(i,j)、Gy(i,j)、G45(i,j)和G135(i,j)。具體計算方式如下

Gx(i,j)= {[I(i+1,j-1)+2I(i+1,j)+

I(i+1,j+1)]-[I(i-1,j-1)+

2I(i-1,j)+I(i-1,j+1)]}/4

(9)

Gy(i,j)= {[I(i-1,j+1)+2I(i,j+1)+

I(i+1,j+1)]-[I(i-1,j-1)+

2I(i,j-1)+I(i+1,j-1)]}/4

(10)

G45(i,j)= {[2I(i+1,j+1)+I(i+1,j)+

I(i,j+1)]-[2I(i-1,j-1)+

I(i-1,j)+I(i,j-1)]}/4

(11)

G135(i,j)= {[2I(i-1,j+1)+I(i-1,j)+

I(i,j+1)]-[2I(i+1,j-1)+

I(i+1,j)+I(i,j-1)]}/4

(12)

由上述得到的4個梯度可以合成當(dāng)前像素點灰度值在橫豎兩個方向上總的梯度，計算方式如下

(13)

(14)

所以，當(dāng)前像素點灰度值的梯度幅值G(i,j)和梯度角度θ(i,j)分別為

(15)

(16)

改進(jìn)后的梯度計算方法充分考慮了8鄰域內(nèi)的梯度情況，使得梯度的計算更為準(zhǔn)確。同時，所計算出來的是像素點(i,j)處梯度，而不是內(nèi)插點的梯度。

2.3 改進(jìn)Otsu算法求取閾值

Canny算法根據(jù)雙閾值從候選邊緣點中尋找最終的邊緣點，因此，高、低閾值的設(shè)定會直接影響邊緣檢測的效果。文獻(xiàn)[3]采用迭代法來求取高、低閾值，解決了傳統(tǒng)Canny算法需要人為設(shè)定高、低閾值的問題。但是用文獻(xiàn)[3]所提出的迭代法計算非極大值抑制后的梯度圖像高、低閾值時，會出現(xiàn)低閾值偏低、高閾值偏高的情況。具體如圖3、圖4所示中兩條垂直的虛線，分別是迭代法計算出來的對梯度分布曲線的分割線。為了直觀起見，本文將梯度分布曲線與類間方差分布曲線做在同一張圖中，且只統(tǒng)計非0梯度值。圖3、圖4中兩條垂直的點劃線，分別是Otsu法計算出來的對梯度分布曲線的分割線。在對lena圖像和rice圖像的梯度圖像進(jìn)行分割時可以發(fā)現(xiàn)Otsu算法計算出的高閾值可以較好地將梯度值較大的部分和梯度值較小的部分分割開來，其低閾值可以把絕大部分梯度值較小的部分分割開來。但是迭代法的分割效果明顯不佳，因為文獻(xiàn)[3]提出的迭代法本質(zhì)上是將梯度值較小的部分的梯度均值作為低閾值，把梯度值較大的部分的梯度均值作為高閾值。這樣迭代法計算出來的高閾值就偏高，使得部分真實邊緣丟失；低閾值就偏低，使得邊緣連接時會檢測出較多的偽邊緣。

圖3 lena梯度圖像類間方差分析

圖4 rice梯度圖像類間方差分析

Otsu算法是日本學(xué)者大津展之提出的一種對圖像進(jìn)行分割的算法。Otsu算法遍歷所有灰度等級對應(yīng)的類間方差值，取使類間方差最大的灰度值作為閾值[12]。因此，Otsu算法能夠根據(jù)圖像灰度的分布情況自適應(yīng)地計算出合適的分割閾值。將其應(yīng)用于Canny算法中，可以自適應(yīng)地計算出非極大值抑制后的梯度圖像的分割閾值。具體操作如下：

設(shè)大小為M×N的灰度圖像中某一點的灰度值為f(x,y)，其取值范為[0,L-1]，表示圖像中有L個灰度級數(shù)。灰度值為k的像素點出現(xiàn)的概率用p(k)表示，如式(17)所示

(17)

假設(shè)：選擇一個閾值t(0

前景占整個圖像的比例

(18)

背景占整個圖像的比例

(19)

前景灰度均值

(20)

背景灰度均值

(21)

整幅圖像灰度均值

μ=w0(t)μ0(t)+w1(t)μ1(t)

(22)

前景與背景間的類間方差為

g(t)=w0(t)(μ0(t)-μ)2+w1(t)(μ1(t)-μ)2=

(23)

在非極大值抑制(NMS)后的梯度圖像中，讓梯度值t在[0,L-1]范圍內(nèi)依次取值，使類間方差g(t)最大的t值即為最佳分割閾值。該閾值作為Canny算法中的高閾值Th，再利用Tl=0.5Th求出低閾值Tl[12]。

文獻(xiàn)[4,13]等均將Otsu算法運用于Canny算法中，來計算高、低閾值。但是，傳統(tǒng)Otsu算法需要遍歷整個灰度等級來計算類間方差值，運算量大，效率低。因此，提出利用二分法查找原理改進(jìn)傳統(tǒng)Otsu算法，減小運算量。利用二分法查找原理的前提是被查找表必須具備有序性[14]。因為Otsu算法中需要查找的是類間方差表，所以以邊緣信息豐富的lena圖像和邊緣信息簡單的rice圖像為例，分析非極大值抑制后的梯度圖像前景與背景間方差的有序性。由圖3、圖4分析可知，無論圖像的邊緣信息是否豐富，類間方差分布曲線都是單峰值曲線，且由類間方差的統(tǒng)計學(xué)意義可知，不存在局部極大值。在非極大值抑制后的梯度圖像中，所取梯度閾值離最佳分割閾值越近，前景與背景間的方差越大；反之，方差越小。只有當(dāng)所取梯度閾值為最佳閾值時，類間方差最大。因此，非極大值抑制后的梯度圖像中，每一個梯度等級的類間方差值都具備次序性，滿足二分法查找原理的使用條件。

基于上述分析結(jié)果，可以利用二分法查找原理改進(jìn)傳統(tǒng)Otsu算法。使用3個相鄰的梯度值作為查找窗口，每次查找后計算窗口內(nèi)的3個類間方差值，并比較大小以確定下一次的查找范圍。圖5為查找方式。

圖5 二分法查找

具體實施步驟如下：

(1)求整幅梯度圖像的梯度均值T，用T將梯度圖像分為兩個部分，計算出梯度值小于等于T部分的梯度均值T1和梯度值大于T部分的梯度均值T2。由類間方差的統(tǒng)計意義可知，最佳閾值不可能落在區(qū)間[T1,T2]之外，因此，將區(qū)間[T1,T2]作為搜索域。

(2)取T1和T2的平均值Tm，以及Tm兩個相鄰的梯度值Tm-1和Tm+1作為閾值，根據(jù)式(23)分別計算出對應(yīng)的類間方差值g(Tm-1)、g(Tm)和g(Tm+1)。

(3)如果g(Tm-1)g(Tm)，則認(rèn)為最佳閾值在區(qū)間[T1,Tm]中，將區(qū)間[T1,Tm]作為新的搜索域，重新定義T1、T2轉(zhuǎn)到步驟(2)繼續(xù)搜索；如果g(Tm+1)>g(Tm)，則認(rèn)為最佳閾值在區(qū)間[Tm,T2]中，將區(qū)間[Tm,T2]作為新的搜索域，重新定義T1、T2轉(zhuǎn)到步驟(2)繼續(xù)搜索。

(4)重復(fù)步驟(2)、(3)，直到搜索到最佳閾值。該閾值作為Canny算法中的高閾值Th，低閾值Tl=0.5Th。

實驗發(fā)現(xiàn)使用上述查找方式后，圖3、圖4的非極大值抑制后圖像分別只需21次和18次計算類間方差值，即可找到最佳閾值，比傳統(tǒng)方法的255次大大減少了計算量。

3 實驗及結(jié)果分析

本文的實驗平臺是處理器主頻2.53 GHz，內(nèi)存4 GB，顯存1 GB的個人計算機。算法采用MATLAB R2014b編程實現(xiàn)。選取lena圖像和rice圖像來做實驗，并統(tǒng)計傳統(tǒng)Canny算法、文獻(xiàn)[3]算法和本文算法各自所需要的時間，對應(yīng)的高、低閾值以及峰值信噪比(PSNR)，作為分析對比的依據(jù)。其中，傳統(tǒng)Canny算法的高斯濾波參數(shù)σ設(shè)為2，濾波窗口設(shè)為3×3，高閾值Th設(shè)為0.10，低閾值Tl設(shè)為0.05。為了驗證本文算法的抗噪性，在實驗一中分別加入密度為0.5%和3%的椒鹽噪聲，在實驗二中分別加入方差為10和30的零均值高斯噪聲。實驗結(jié)果如圖6、圖7所示。

在實驗一中，當(dāng)椒鹽噪聲密度為0.5%時，傳統(tǒng)Canny算法檢測結(jié)果中混入了較多的椒鹽噪聲點。文獻(xiàn)[3]算法雖然濾去了椒鹽噪聲點，但是由于其計算出來的高閾值偏高(見表1)，導(dǎo)致丟失了很多真實邊緣，檢測結(jié)果中丟失了大量的細(xì)節(jié)。本文算法不僅濾除了椒鹽噪聲點，還保留了較多的細(xì)節(jié)。當(dāng)椒鹽噪聲密度為3%時，傳統(tǒng)Canny算法已經(jīng)不能有效地檢測邊緣了。文獻(xiàn)[3]算法由于采用3×3固定窗口大小的中值濾波，所以對于高濃度的椒鹽噪聲濾波效果不佳，檢測結(jié)果中混入了部分椒鹽噪聲點。本文算法采用改進(jìn)后的自適應(yīng)中值濾波，在高濃度的椒鹽噪聲環(huán)境下依然有不錯的邊緣檢測效果。在峰值信噪比(peak signal to noise ratio，PSNR)統(tǒng)計圖中，如圖8所示，可見在不同密度椒鹽噪聲環(huán)境下，本文的算法的峰值信噪比最高。文獻(xiàn)[3]算法隨著噪聲密度的增加，峰值信噪比下降嚴(yán)重。

表1 高、低閾值統(tǒng)計

圖6 實驗一

圖7 實驗二

圖8 椒鹽噪聲環(huán)境下PSNR統(tǒng)計

在實驗二中，當(dāng)高斯噪聲方差為10時，傳統(tǒng)Canny算法和本文算法都有較好的檢測效果。文獻(xiàn)[3]算法由于采用中值濾波，對高斯噪聲去噪效果不佳，在檢測結(jié)果中混入了部分噪聲點。當(dāng)高斯噪聲方差為30時，本文算法依然有較好的檢測結(jié)果，傳統(tǒng)Canny算法的檢測結(jié)果中混入了少部分噪聲點，原因是其采用的是濾波參數(shù)固定的高斯濾波器，不能對不同強度的高斯噪聲做出自適應(yīng)調(diào)整。文獻(xiàn)[3]算法的檢測結(jié)果中混入了大量噪聲點，原因是其采用的3×3固定窗口的中值濾波器對高強度高斯噪聲幾乎沒有效果，并且其計算出來的低閾值偏低(見表1)，容易檢測出偽邊緣。高斯噪聲環(huán)境下峰值信噪比(PSNR)統(tǒng)計如圖9所示，從圖中可以看出文獻(xiàn)[3]算法的峰值信噪比最低。

圖9 高斯噪聲環(huán)境下PSNR統(tǒng)計

在上述實驗中由于本文算法和文獻(xiàn)[3]算法所采用的閾值計算方法不同，使得各自的分割效果也不一樣。高、低閾值統(tǒng)計見表1，可見迭代法計算出來的低閾值比Otsu算法計算出的低閾值要小，而高閾值比Otsu算法計算出的高閾值要大。結(jié)合圖3、圖4的分析結(jié)果可知，這就是在實驗中文獻(xiàn)[3]算法容易檢測出偽邊緣和丟失真實邊緣的原因。而改進(jìn)后的Otsu算法可以較好地分割梯度圖像，同時，與文獻(xiàn)[4,13]直接使用Otsu算法相比，在閾值計算環(huán)節(jié)計算量大為降低，提高了算法效率。

表2是各算法在不同種類和不同強度噪聲環(huán)境下所用時間的統(tǒng)計對比。從表2中可以發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)[3]耗時最少，但是其邊緣檢測效果不佳。本文算法耗時比傳統(tǒng)Canny算法增加13%左右，但是基本能滿足實時性的使用要求。雖然本文算法耗時稍有增加，但是對不同種類和不同強度的噪聲都具有較好的去噪效果，且能夠自適應(yīng)地計算出梯度圖像的高、低閾值，具有較強的自適應(yīng)性和抗噪性。

表2 各算法運行時間/ms

4 結(jié)束語

針對傳統(tǒng)Canny算法存在的問題和文獻(xiàn)[3]中改進(jìn)的中值濾波對高斯噪聲濾波效果不佳、迭代法計算閾值不準(zhǔn)確等問題，本文做出了如下改進(jìn)：

(1)利用分治法思想和相鄰窗口排序信息相關(guān)性的原理，并結(jié)合IMF算法改進(jìn)傳統(tǒng)自適應(yīng)中值濾波器，使其對椒鹽噪聲和高斯噪聲都具有較好的去噪效果，且相對于傳統(tǒng)自適應(yīng)中值濾波器，大大減少了排序次數(shù)。

(2)借鑒Sobel算子的思想，充分利用8鄰域范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)計算梯度幅值和方向，使得梯度的計算更為準(zhǔn)確。

(3)利用二分法查找原理改進(jìn)Otsu算法來計算梯度幅值的高、低閾值。相對于文獻(xiàn)[3]中的迭代法，改進(jìn)后Otsu算法閾值計算更為合理，且大大減少了運算量。

實驗結(jié)果表明，本文改進(jìn)后的算法具有較強的自適應(yīng)性及良好的抗噪性，在一定程度上減少了算法的計算機耗時，提高了Canny邊緣檢測方法的實時性。

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