引入懸架K&C特性參數的汽車操縱穩定性數學模型

李 廣 劉 芳 檀潤華 李雪鵬 王天禹

1.河北工業大學機械學院，天津，300130 2.國家技術創新方法與實施工具工程技術研究中心，天津，300130 3.中國汽車技術研究中心，天津，300300

0 引言

汽車操縱穩定性是指汽車按照駕駛員意圖行駛的能力，對其進行研究的目的是保持汽車行駛軌跡，控制車輛橫擺運動［1］。目前，對汽車操縱穩定性的理論研究主要為數學模型的建立。

對于汽車整車數學模型的理論研究，MICHAEL［2］分別建立了 15自由度、18 自由度模型，郭孔輝［3］建立了12自由度以及29自由度數學模型，衣豐艷等［4］建立了包括座椅和人體振動的8自由度數學模型并進行了平順性研究。數學模型自由度數的逐漸增加提高了求解精度，描述方程也從線性方程到非線性方程，求解越來越精確。操縱穩定性數學模型主要應用于控制領域，多以數學模型為載體研究控制策略及方法對操縱穩定性的影響。趙樹恩等［5］通過建立14自由度整車數學模型研究了多子系統協調控制的車輛穩定性；MOKHIAMAR等［6］基于控制理論，分析了輪胎橫向及縱向力的分配對轉向操縱穩定性的影響；劉麗［7］提出了包括縱向加速度的汽車操縱穩定性3自由度（縱向、側向和橫擺運動）非線性模型，以此研究車輛的穩定性及控制策略；王國林等［8］基于逆動力學原理，使用神經網絡理論方法建立了考慮載荷轉移的二自由度數學模型，以此研究前后輪胎側偏剛度組合對操縱穩定性的影響；王鑫等［9］基于線性二自由度數學模型，分析了汽車橫擺角速度和質心側偏角對汽車操縱穩定性的影響。數學模型表達相關性并不是越復雜越好，要考慮關鍵因素的作用機理，經典二自由度汽車模型的框架及方法仍是研究汽車操縱穩定性的重要方法。

不足轉向是汽車操縱穩定性重要評價指標之一，經典二自由度數學模型是分析汽車不足轉向度的常用模型，但是經典二自由度數學模型忽略了懸架的作用，使計算結果誤差較大。目前，NAGAL［10］、宗長富等［11］將懸架 K&C 特性作為輪胎側偏剛度的修正系數引入二自由度數學模型，該數學模型為懸架對操縱穩定性的影響建立了數學基礎，但該數學模型只考慮了懸架性能對輪胎側偏特性的影響，忽略了對回正力矩等其他參數的影響，并且輪胎的力學特性受載荷轉移的影響很大，需要研究車身側傾時輪胎載荷的變化。

本文在經典二自由度數學模型基礎上引入懸架K&C特性參數，建立包含懸架K&C特性參數的數學模型，將經典操縱穩定性二自由度數學模型和引入懸架K&C特性參數的操縱穩定性數學模型對整車不足轉向度及橫擺角速度的影響進行對比，研究懸架K&C特性參數與操縱穩定性的關系。

1 整車操縱穩定性二自由度數學模型

1.1 經典操縱穩定性二自由度數學模型

經典二自由度數學模型如圖1所示，α1、α2分別為前后輪胎側偏角。數學模型忽略轉向系統和懸架的影響，認為汽車車廂只做平行于地面的平面運動，忽略空氣阻力、因載荷變化引起左右輪胎特性的變化以及回正力矩變化［12］。

圖1中，坐標系原點與汽車質心C重合，將汽車的（絕對）加速度與（絕對）角加速度及外力矩沿車輛坐標系的軸線分解，并根據牛頓動力學方程描述其橫擺及側向運動，建立微分方程［12］：

圖1 經典二自由度數學模型Fig.1 The classical two-degree of freedom mathematical model

式中，IZ為橫擺轉動慣量；a、b分別為質心到前后軸距離；FY1、FY2分別為前后輪胎側向力；k1、k2分別為前后輪胎側偏剛度；u、v分別為汽車縱向、側向速度；β為汽車縱向速度與側向速度夾角；m為汽車質量；ωr為汽車橫擺角速度。

汽車等速行駛時，由式（1）中k1和k2可以得到穩定性因數K，K是表征汽車穩態響應的一個重要參數：

式中，L為軸距。

按照K的數值大小可以將汽車穩態轉向分為三類：K=0時，中性轉向；K＞0時，不足轉向；K＜0時，過度轉向。

1.2 引入懸架K&C參數的操縱穩定性數學模型

經典二自由度數學模型雖然反映了汽車最基本的參數與汽車操縱穩定性之間的關系，但忽略了懸架的影響，而懸架對輪胎受力和側偏角影響很大，且前束角、外傾角變化會改變輪胎運動方向。由此考慮輪胎受力和懸架性能的密切關系，將懸架K&C特性參數引入數學模型中進行操縱穩定性分析是很有必要的。

從汽車的行駛方向上看，前束角與側偏角相當，如圖2所示，為保證汽車直線行駛而不發生跑偏現象，有前束角的汽車前輪是斜向對稱分布的，并且無論車輪上跳或者下跳，車輪前束角變化都保持在較小范圍內。汽車在轉彎行駛過程中，由于離心力的作用，車身會發生側傾，此時內側車輪懸架彈簧伸長，相當于車輪向下跳動，外側車輪懸架彈簧被壓縮，相當于車輪向上跳動，前車輪上跳時實現負前束變化，后輪實現正前束變化；前輪受側向力作用時實現負前束角變化，后輪受側向力作用時實現正前束角變化，滿足車輛轉彎時不足轉向度的要求，改善換道行駛的性能以及穩態轉向的性能。

圖2 車輪前束角Fig.2 Toe angle

車輪外傾角指車輪中心平面與道路平面垂線之間的夾角，車輪轉向時，外側車輪產生正方向變化，內側車輪產生負方向變化，削弱了輪胎承載側向力的能力，加劇了輪胎的偏磨，對操縱穩定性極其不利。由此，需要在車身側傾時盡可能保證外輪與地面垂直，使輪胎上跳時有負的外傾角變化，有利于汽車的不足轉向。

懸架K&C特性可控制車輪具有合理的前束角、外傾角變化規律，最終表現為橫擺角速度響應，其中前束角受多個參數影響，如縱向力、側向力、回正力矩、車身側傾、輪胎跳動等，并相互關聯［13］。本文考慮轉向工況下懸架的作用，依據轉向過程中車身側傾與輪胎受側向力的特點，選取車身側傾與同向側向力工況的前束角、外傾角變化作為模型引入的參數，如表1所示，主要涉及車身側傾及同向側向力工況下車輪前束角及外傾角變化率。整車參數如表2所示，主要包括質量信息和輪胎側偏剛度。

表1 懸架參數Tab.1 Suspension parameters

引入懸架K&C特性的汽車操縱穩定性數學模型考慮了懸架性能對固有轉向特性的影響，依據經典二自由度模型方法進行受力分析和運動分析，如圖3所示。經典二自由度的側向力只考慮了側偏引起的側向力，引入懸架K&C參數的數學模型加入了外傾角引起的外傾側向力（FYγ=Cγ，γ為輪胎外傾角，C為輪胎外傾角剛度），并將懸架作用下輪胎前束角作為側偏角的修正而反映在運動方程中，然后進行運動方程推導，最終得到階躍響應的橫擺角速度方程，進而得出引入懸架K&C特性參數數學模型的穩態轉向增益和穩定性因數方程，見表3。表3中，δ1、δ2分別為前后輪的前束角，δ為轉向角；?為車身側傾角；Γ′、Γ0為取決于主銷傾角的系數；γ1為車身側傾引起的外傾角；γ2為側向力引起的外傾角；為轉向角引起的外傾角；為側傾附加橫擺力矩。

表2 整車參數Tab.2 Vechicle parameters

圖3 引入懸架K&C參數的數學模型Fig.3 The mathematical model containing suspension parameters

1.3 兩種操縱穩定性數學模型對比

對比兩種數學模型推導出的穩態轉向增益，如表4所示。由表4可以看出懸架K&C特性參數對穩態轉向增益的影響，側傾力矩、側傾角、前束角都影響了汽車的不足轉向。

由于輪胎側偏剛度和質心位置共同作用，引入懸架K&C特性參數的數學模型與經典二自由度數學模型的A值相同，質心前移，則增大不足轉向度；B值表示橫擺力矩對汽車側傾軸線和水平的夾角影響，由于側傾力矩導致的附加橫擺力矩使汽車產生了向外的運動趨勢，其值恒為正值，增大了汽車的不足轉向。

表3 引入懸架K&C參數的操縱穩定性數學模型Tab.3 The mathematical model of handling stability containing suspension parameters

表4 兩種數學模型計算穩態轉向增益對比Tab.4 The calculation of steady steering gain of two mathematical models

C值和D值分別表示車身側傾和側向力引起的輪胎外傾角變化帶來的影響，外傾角變化將減小側偏剛度，增大輪胎的輪胎側偏角，α1-α2將增大，增加了汽車不足轉向，目前，設計高速度的汽車時采用負外傾角來增大側向力的承受能力，以提高汽車穩定性。

E值和F值分別表示側傾轉向和側向力引起的輪胎前束角變化帶來的影響，前束角是通過影響輪胎的側偏角而影響到不足轉向的，前后懸架增加不足轉向特性的前束角變化為正；F值的公式中包含了由于懸架側向剛度而產生的前束角變化，前后前束角變化與質心位置共同影響穩態轉向，從而影響了汽車的操縱穩定性。

依據兩種數學模型建立MATLAB模型，如圖4所示。利用該MATLAB模型進行數學模型驗證，并進一步對比兩種數學模型的計算結果。

圖4 兩種操縱穩定性數學模型對比MATLAB模型Fig.4 The comparison of two MATLAB models including different mathematical models

2 引入懸架K&C參數的操縱穩定性數學模型驗證

2.1 車型參數

依據現有的某小型SUVⅠ、Ⅱ、Ⅲ三種車的數據，對引入懸架K&C特性參數的二自由度數學模型進行驗證，三種SUV車型參數如表5所示。表5中參數正負號的規定：前懸架前束角以增加不足轉向度為正，后懸架前束角以增加不足轉向度記為負；外傾角以與側向力方向一致為負，此時削弱了側向力承載能力，與側向力方向相反為正，此時增加了側向力承載能力。

表5 車型參數Tab.5 Model parameters

2.2 操縱穩定性數學模型驗證過程及其結果

依據三種小型SUV的懸架K&C數據、整車階躍試驗（側向加速度0.2g）數據，通過1.3節建立的MATLAB模型對兩種操縱穩定性數學模型進行計算，并將數學模型計算結果與試驗結果進行對比。

2.2.1 整車不足轉向特性對比

以穩態回轉試驗測試整車不足轉向特性。穩態回轉試驗有定車速、定半徑、定轉角三種不同的試驗方法，本文采用定半徑試驗方法測試整車的不足轉向。

根據GB/T 6323.6—1994《汽車操縱穩定性試驗方法》，試驗方法如下［14］：汽車以最低穩定車速行駛，調正轉向盤轉角，使汽車能沿圓弧行駛。在進入圓弧路徑并達到穩定狀態后，開始記錄并保持油門開度和轉向盤位置在3 s內不動（允許轉向盤轉角±10°范圍內調正），之后，停止記錄；重復上述試驗，直至側向加速度達到0.65 g，或受發動機功率限制，或汽車出現不穩定狀態時的最大側向加速度為止，穩態回轉半徑為15 m。

采用穩態回轉試驗計算汽車特征或臨界車速，如圖5所示。圖5中直線的斜率表征了汽車的不足轉向特性大小，直線與縱坐標交點是阿克曼轉向角δA，兩倍阿克曼轉角的直線則交于v2ch/R處，所以有

式中，aY為交點處的側向加速度；R=100 m。

圖5 特征車速的計算方法Fig.5 The calculation method of characteristic speed

如果不以定半徑試驗測試整車的不足轉向特性，可以參考操縱穩定性試驗國家標準［15］。處理數據得到前后軸側偏角之差，即側向加速度曲線，以此表征汽車的不足轉向度大小，記其斜率大小為 Eg，其單位為（°）?s2/m ，此時穩定性因素

則汽車特征車速

圖6～圖8所示是三種小型SUV穩態回轉試驗結果，其中圖6及圖8是采用定半徑方法記錄的前后軸側偏角之差與側向加速度的關系，圖7是采用定半徑方法記錄的轉向盤轉角與側向加速度關系。以此計算的三種SUV汽車的特征車速如表6所示，兩種數學模型的穩定性因數及特征車速對比見表7。從表7中可以看出：帶懸架參數的數學模型穩定性因數較大，說明其計算的不足轉向度較大，對應的特征車速較低；經典數學模型計算特征車速較高，穩定性因數較低。

2.2.2 橫擺角速度對比

圖6 小型SUVⅠ穩態回轉試驗前后軸側偏角之差與側向加速度曲線Fig.6 The comparison of understeer and lateral acceleration curve before and after the steady rotary test of SUVⅠ

圖7 小型SUVⅡ穩態回轉試驗轉向盤轉角與側向加速度曲線Fig.7 The steering wheel angle curve and lateral acceleration curve of SUVⅡsteady state rotation test

圖8 小型SUVⅢ穩態回轉試驗前后軸側偏角之差與側向加速度曲線Fig.8 The comparison of understeer and lateral acceleration curve before and after the steady rotary test of SUVⅢ

表6 三種小型SUV試驗不足轉向度Tabl.6 The understeer of three different SUV

表7 兩種操縱穩定性數學模型計算對比Tab.7 The comparison of two mathematical models for handling stability

根據GB/T 6323.2—1994《汽車操縱穩定性試驗方法》［16］進行轉向盤角階躍試驗，汽車以試驗車速直線行駛，經過0.2～0.5 s，分別按穩態加速度為0.2 g預選轉向盤轉角的位置，以盡快的速度（起躍時間不大于0.2 s或起躍速度不低于200°/s）轉動轉向盤，使其達到預先選好的位置并固定數秒（待所測變量過渡到新穩態值），停止記錄。記錄過程中保持車速不變，車速選取為100 km/h。

依據轉向盤角階躍試驗及仿真，進行了汽車橫擺角速度時間歷程的試驗與引入懸架參數的數學模型計算結果對比，參數見表8，結果顯示計算仿真與試驗結果比較吻合，但橫擺角速度峰值和橫擺角速度峰值響應時間存在差別，原因是忽略了橫擺角加速度及側傾角速度對汽車轉向瞬態響應的影響。圖9～圖11是三種車型的數學模型仿真與試驗數據的橫擺角速度對比圖。

表8 數學模型計算與試驗橫擺角速度對比Tab.8 The comparison of yaw rate for different types of vehicles

（1）車型Ⅰ角階躍輸入工況橫擺角速度響應對比。由圖9可看出，引入懸架K&C特性參數的數學模型計算曲線較經典模型計算結果更接近試驗值。數學模型計算結果明顯遲鈍，原因是在試驗中，橫擺角加速度改變了橫擺角速度瞬態響應特性，隨著橫擺轉動慣量的增大，響應會變慢。

（2）車型Ⅱ角階躍輸入工況橫擺角速度響應對比。圖10所示是車型Ⅱ兩種數學模型計算結果與試驗曲線對比，虛線是試驗結果經過濾波處理后的曲線，由于該試驗缺少源數據，只有試驗報告說明，故將數學模型計算曲線圖與試驗曲線的圖重疊進行對比。結果顯示引入懸架K&C特性參數的數學模型的橫擺角速度計算結果更接近試驗曲線，計算精度高于經典數學模型。

圖9 小型SUVⅠ兩種數學模型仿真與試驗對比Fig.9 The comparison curves of simulation and test including SUVⅠ’s two different mathematical models

圖10 小型SUVⅡ兩種數學模型仿真與試驗對比Fig.10 The comparison curves of simulation and test including SUVⅡ’s two different mathematical models

（3）車型Ⅲ角階躍輸入工況橫擺角速度響應對比。圖11反映，引入懸架K&C特性參數的數學模型計算曲線更接近試驗曲線，響應速度、峰值、穩態值都與試驗值接近。經典數學模型對橫擺角速度響應的計算結果有較大失真，穩定橫擺角速度大于試驗值，從另一方面表明了其不足轉向度小于試驗結果。

圖11 小型SUVⅢ兩種數學模型仿真與試驗對比Fig.11 The comparison curves of simulation and test including SUVⅢ’s two different mathematical models

綜合圖9～圖11可得：引入懸架K&C參數的數學模型計算曲線較經典模型計算結果更接近試驗值，說明引入懸架K&C參數的數學模型計算精度高于經典數學模型，且引入懸架K&C特性參數的數學模型計算結果迅速，表明懸架K&C特性對汽車的不足轉向產生影響。

3 結論

（1）通過建立MATLAB數學模型對比引入懸架K&C特性參數的數學模型與經典二自由度數學模型，得出引入懸架參數的數學模型穩定性更好，其計算結果更接近試驗值的結論。

（2）建立的數學模型可以為汽車開發前期確定懸架K&C特性目標提供理論計算依據。由于懸架是一個復雜系統，本文所建立的數學模型未考慮襯套對懸架K&C特性的影響，后續可以在引入懸架K&C特性參數的二自由度數學模型基礎上研究引入襯套對整車操縱穩定性的影響。

（3）引入了輪胎前束角和外傾角建立的數學模型，忽略了前懸架主銷幾何參數對操縱穩定性的影響，后續研究可以增加相關方程以模擬更多的操縱穩定性工況。

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