牽引電機(jī)扭矩激擾的機(jī)車齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線性特性

王俊國 肖 遙 楊旭峰 趙永翔 方修洋

西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，成都，610031

0 引言

作為機(jī)車驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的關(guān)鍵零部件，齒輪副服役過程中的動(dòng)力學(xué)性能直接影響列車的安全性與穩(wěn)定性。早期對齒輪傳動(dòng)軸系進(jìn)行研究主要根據(jù)線性振動(dòng)理論，采用的大多是集中質(zhì)量、連續(xù)質(zhì)量或有限元模型。20世紀(jì)90年代開始考慮非線性因素對傳動(dòng)軸系的影響［1］。KAHRAMAN 等［2］建立了一個(gè)含輪齒間隙和嚙合剛度的非線性齒輪-轉(zhuǎn)子-軸承模型。LEE等［3］利用有限元方法，研究了轉(zhuǎn)速和嚙合剛度變化時(shí)齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)特性。劉夢軍等［4］利用混合胞映射方法分析得出了不同輸入轉(zhuǎn)矩波動(dòng)、齒側(cè)間隙、齒輪綜合誤差、激勵(lì)頻率和阻尼比參數(shù)下，單齒輪系統(tǒng)的全局特性。馬呈祥等［5］利用Romax軟件和有限元箱體模型，建立了和諧號(hào)機(jī)車驅(qū)動(dòng)裝置分析模型。魏靜等［6］通過高速機(jī)車齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)多自由度動(dòng)力學(xué)分析模型，歸納出了齒輪內(nèi)部激勵(lì)、齒面間隙等參數(shù)對機(jī)車齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的影響規(guī)律。借助Simpack軟件，李曉龍等［7］建立了考慮扭矩傳遞、齒輪嚙合特性的驅(qū)動(dòng)裝置動(dòng)力學(xué)模型。崔利通［8］建立了包括牽引電機(jī)、轉(zhuǎn)子、齒輪箱體在內(nèi)的動(dòng)力轉(zhuǎn)向架模型，研究了參數(shù)變化對各自系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響。

高速列車齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，在服役過程中承受單雙齒交替嚙合產(chǎn)生的高頻交變載荷，以及機(jī)車啟動(dòng)、制動(dòng)、通過道岔時(shí)的輪軌沖擊載荷作用，此外還受到突變的激擾因素影響。齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)常常由于齒輪的齒側(cè)間隙、時(shí)變嚙合剛度等非線性因素激發(fā)各種故障。如何揭示齒輪副模型參數(shù)變化與系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性、齒輪副穩(wěn)定性之間的內(nèi)在關(guān)系，是機(jī)車齒輪驅(qū)動(dòng)過程中亟需深入研究的課題［9］。為此，本文以某和諧號(hào)貨運(yùn)機(jī)車的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)為研究對象，基于非線性動(dòng)力學(xué)理論，分析研究牽引電機(jī)扭矩變化時(shí)傳動(dòng)系統(tǒng)復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)特性及演化規(guī)律，以期為鐵路機(jī)車齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的模型參數(shù)設(shè)計(jì)以及振動(dòng)控制提供理論支撐。

1 機(jī)車齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

1.1 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

圖1為某和諧號(hào)機(jī)車直齒齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖。小齒輪采用簡支梁方式過盈安裝在牽引電機(jī)轉(zhuǎn)軸上，大齒輪則通過齒輪轂安裝于機(jī)車動(dòng)力軸上，電機(jī)驅(qū)動(dòng)扭矩經(jīng)齒輪副傳遞給動(dòng)力輪對，驅(qū)動(dòng)列車運(yùn)行。該齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)簡化模型如圖2所示［9］。

圖1 某和諧號(hào)機(jī)車齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic of the mechanical transmission system for HXD locomotive

圖2 某和諧號(hào)機(jī)車齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)簡化模型Fig.2 Simplified model of the spur gear transmission system for HXD locomotive

設(shè) m1、m2、I1、I2、R1、R2分別為小齒輪和大齒輪的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、基圓半徑，k1、k2、c1、c2為軸承和轉(zhuǎn)軸的支承剛度和阻尼，F(xiàn)0(t)為齒輪動(dòng)態(tài)嚙合力，k(t)、cm為齒輪嚙合的綜合剛度和阻尼，T1、T2為牽引電機(jī)額定功率下輸出轉(zhuǎn)矩、軌道對輪對的反作用力矩，y1、y2分別為小齒輪、大齒輪在嚙合線方向移動(dòng)的位移，θ1、θ2為小齒輪、大齒輪分別繞電樞軸、輪對軸轉(zhuǎn)過的角度，則齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為［10］

設(shè)

其中，e(t)為嚙合誤差，km、ka分別為齒輪平均嚙合剛度和近似計(jì)算剛度，φ為初始相位，ω為嚙合頻率，me為等效質(zhì)量，則上述模型變成：

若齒輪副齒側(cè)間隙為2b，設(shè)w3=y/b，則間隙非線性函數(shù) f(w3)的量綱一表達(dá)式變?yōu)?/p>

1.2 輪軌黏滑狀態(tài)下的負(fù)載轉(zhuǎn)矩

機(jī)車牽引或制動(dòng)工況運(yùn)行時(shí)，輪軌間容易出現(xiàn)滑動(dòng)。為描述其滑動(dòng)程度，定義輪對滑動(dòng)率［11］：

式中，v為輪對速度；ωw為輪對旋轉(zhuǎn)角速度（設(shè)大齒輪齒數(shù)為 Z2，有ωw=2πω/Z2）；R為輪對滾動(dòng)圓半徑。

當(dāng)機(jī)車發(fā)生空轉(zhuǎn)時(shí)，s為一較大值，驅(qū)動(dòng)工況下，s為一負(fù)值，為便于表達(dá)，文中取絕對值表示。

由于輪軌產(chǎn)生的摩擦熱及鋼軌表面粗糙等原因，當(dāng)輪軌切向力達(dá)飽和值時(shí)，滑動(dòng)率增大，此時(shí)輪軌切向力將減小，輪軌的這種特性稱為黏著負(fù)斜率特性。本文采用圖3a所示黏滑特性曲線，描述輪軌黏著系數(shù)與蠕滑之間的關(guān)系，其中正斜率OA段為黏著狀態(tài)，負(fù)斜率AB段為滑動(dòng)狀態(tài)。該特性曲線可用分段函數(shù)表示為

式中，fm為最大黏著系數(shù)；sc為臨界滑動(dòng)率；kf為曲線負(fù)斜率。

圖3b中，a表示輪軌處于黏著狀態(tài)，b表示輪軌處于黏滑振動(dòng)狀態(tài)，c表示輪軌處于全滑動(dòng)狀態(tài)。機(jī)車以額定功率運(yùn)行時(shí)，臨界滑動(dòng)率取值0.01，滑動(dòng)率s不大于0.03。

圖3 機(jī)車輪軌黏滑特性曲線Fig.3 Simplif i ed curve of tangential force coefficient of locomotive

設(shè)機(jī)車軸重為mg，則軌道對輪對的瞬時(shí)黏著力及力矩為 Fr=Fmg及 Mr=FrR，其中 Fr包括了軌道對輪對的動(dòng)態(tài)牽引力和靜態(tài)牽引力，Mr中包括軌道對輪對動(dòng)態(tài)力矩和靜態(tài)力矩兩部分。將Fr及Mr代入式（5），可得輪軌間的黏著力矩，亦即軌道對輪對的反作用力矩表達(dá)式為［11］

2 電機(jī)扭矩激擾的非線性特性仿真

某和諧號(hào)機(jī)車交流電機(jī)牽引特性曲線見圖4，當(dāng)牽引電機(jī)轉(zhuǎn)速低于1 500 r/min時(shí)，電機(jī)輸出的扭矩與轉(zhuǎn)速成線性關(guān)系；自牽引電機(jī)轉(zhuǎn)速為1 500 r/min開始，機(jī)車進(jìn)入恒功率運(yùn)行階段，對應(yīng)電機(jī)功率為1 275 kW，直至恒功結(jié)束點(diǎn)，對應(yīng)電機(jī)轉(zhuǎn)矩約4 kN·m。為研究該型機(jī)車齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，對機(jī)車齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)量綱一模型進(jìn)行數(shù)值積分，仿真參數(shù)取值如下：小大齒輪基圓半徑R1=0.086 45 m、R2=0.451 05 m，支承剛度k1=k2=5.9×108N/m，平均嚙合剛度km=1.9×108N/m，近似計(jì)算剛度ka=3.5×107N/m，支承阻尼c1=c2=300 N·s/m，齒輪嚙合阻尼比為0.05，齒輪模數(shù)為8 mm，齒側(cè)間隙b=0.125 mm。

圖5即為取固定步長為50，采用MATLAB軟件數(shù)值積分后得到的傳動(dòng)系統(tǒng)量綱一位移隨牽引電機(jī)扭矩變化的分岔圖。由該分岔圖曲線可知，當(dāng)機(jī)車牽引電機(jī)的扭矩以圖4所示牽引特性曲線變化時(shí)，齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)經(jīng)歷了單周期、多周期、混沌等多種運(yùn)動(dòng)形式，并且牽引電機(jī)在恒功率起始點(diǎn)即電機(jī)扭矩為8 000 N·m前后兩個(gè)階段，傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)演化規(guī)律差別較大。

圖4 機(jī)車交流電機(jī)的牽引特性曲線Fig.4 Traction characteristic curve of locomotive AC motor

圖5 系統(tǒng)位移隨牽引電機(jī)扭矩變化的分岔圖曲線Fig.5 Bifurcation diagram of the system using the torque of traction motor as control parameter

由圖5可知，當(dāng)電機(jī)扭矩小于9 900 N·m時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)首先為單周期，在扭矩為9 900～9 800 N·m時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入周期2運(yùn)動(dòng)。當(dāng)扭矩在9 750～9 650 N·m變化時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)歷短暫的擬周期狀態(tài)后在9 600～9 450 N·m再次進(jìn)入周期2運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，其后扭矩在9 400～8 150 N·m區(qū)間變化，系統(tǒng)回歸單周期穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。圖5還顯示，電機(jī)扭矩在恒功起始點(diǎn)前，即扭矩為8 100 N·m處，系統(tǒng)陷入隨機(jī)的、不規(guī)則的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即進(jìn)入陣發(fā)性混沌狀態(tài)，當(dāng)電機(jī)扭矩為8 000 N·m時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)短暫的單周期運(yùn)動(dòng)，在扭矩為7 950～6 900 N·m區(qū)間，再次陷入陣發(fā)性混沌狀態(tài)，其后扭矩在6 850～6 750 N·m區(qū)間變化，系統(tǒng)做周期2運(yùn)動(dòng)，在扭矩為6 700 N·m處進(jìn)入單周期運(yùn)動(dòng)，倒分岔現(xiàn)象一直持續(xù)到扭矩為5 000 N·m左右。當(dāng)電機(jī)扭矩為4 950 N·m時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)為周期3運(yùn)動(dòng)，即系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)［12］；隨后系統(tǒng)很快就在扭矩為4 800～4 600 N·m范圍進(jìn)入混沌狀態(tài)，最終，當(dāng)扭矩小于4 550 N·m時(shí)，系統(tǒng)脫離混沌進(jìn)入到單周期穩(wěn)定狀態(tài)，直至機(jī)車牽引電機(jī)恒功率的終點(diǎn)。

圖6 牽引電機(jī)扭矩為9 950 N·m時(shí)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性曲線Fig.6 The dynamic characteristic curve of the system when torque is equal to 9 950 N·m

為進(jìn)一步說明機(jī)車傳動(dòng)系統(tǒng)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)演化規(guī)律，圖6～圖13分別給出了扭矩取不同值時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)曲線。根據(jù)單周期、多周期、混沌運(yùn)動(dòng)的相關(guān)特征可知：圖6、圖11、圖13是單周期運(yùn)動(dòng)，圖7、圖9、圖12為周期2運(yùn)動(dòng)，圖14對應(yīng)周期3運(yùn)動(dòng)，而圖8、圖11、圖15對應(yīng)的機(jī)車齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)均為混沌狀態(tài)。

圖7 牽引電機(jī)扭矩為9 850 N·m時(shí)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性曲線Fig.7 The dynamic characteristic curve of the system when torque is equal to 9 850 N·m

圖8 牽引電機(jī)扭矩為8 500 N·m時(shí)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性曲線Fig.8 The dynamic characteristic curve of the system when torque is equal to 8 500 N·m

圖9 牽引電機(jī)扭矩為7 800 N·m時(shí)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性曲線Fig.9 The dynamic characteristic curve of the system when torque is equal to 7 800 N·m

圖10 牽引電機(jī)扭矩為6 800 N·m時(shí)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性曲線Fig.10 The dynamic characteristic curve of the system when torque is equal to 6 800 N·m

圖11 牽引電機(jī)扭矩為6 600 N·m時(shí)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性曲線Fig.11 The dynamic characteristic curve of the system when torque is equal to 6 600 N·m

圖12 牽引電機(jī)扭矩為4 950 N·m時(shí)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性曲線Fig.12 The dynamic characteristic curve of the system when torque is equal to 4 950 N·m

圖13 牽引電機(jī)扭矩為4 700 N·m時(shí)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性曲線Fig.13 The dynamic characteristic curve of the system when torque is equal to 4 700 N·m

3 結(jié)論

（1）機(jī)車齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的內(nèi)部激勵(lì)包含齒側(cè)間隙和時(shí)變嚙合剛度，是齒輪系統(tǒng)具有非線性特征的根本原因。隨著外部激勵(lì)機(jī)車牽引電機(jī)扭矩的變化，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)入混沌的路徑有三條，其一為“倍周期分岔→混沌”，另兩條分別是“陣發(fā)性混沌”和“周期3→混沌”。

（2）機(jī)車齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)后，除整數(shù)倍頻成分外，1.5倍頻、2.5倍頻等諧波成分也隨之增大，齒輪碰撞程度趨于激烈，傳動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)定性會(huì)變差。因此，為減小齒輪嚙合造成的碰撞傷害，設(shè)計(jì)該型機(jī)車傳動(dòng)系統(tǒng)外部激勵(lì)參數(shù)時(shí)，牽引電機(jī)額定轉(zhuǎn)矩應(yīng)低于8 000 N·m，這一結(jié)論與實(shí)際情況相符。

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