高溫高壓氣井定產生產出砂預測新模型及應用

姜海龍

（西安石油大學機械工程學院，陜西西安 710065）

隨著新興經濟體對油氣資源的需求，油氣勘探的地質條件更加惡劣，其中大部分井的目的層處在高溫高壓的地質條件。塔里木盆地庫車前緣隆起帶油氣藏的地質情況復雜，具有埋藏深（6 000 m～7 800 m）、地層壓力高（105 MPa～140 MPa）、溫度高（150℃～165℃）的特點。開采這樣的氣藏時，高壓氣體的體積隨著氣體流向井內的過程中不斷膨脹，并在井壁上達到最大值。這種體積膨脹效應會影響近井地帶高壓氣體的流動特性。傳統上，一般在達西定律中引入一個Forchheimer阻力來描述慣性效應，稱之為Darcy-Forchheimer方程。這種慣性效應引起的壓力損失被大量學者進行了詳細探討[1-8]。然而，Darcy-Forchheimer方程不適合描述可壓縮性氣體在多孔介質中的滲透特性。例如Darcy-Forchheimer方程不能解釋可壓縮性氣體的阻塞流現象。Beavers&Sparrow[9]和 Meyer&Smith[10]對可壓縮性氣體在多孔介質中的流動進行了滲流實驗和理論分析，主要關注了阻塞流出現的條件。Meyer&Smith通過實驗分析了出現阻塞流時的出入口壓力比，并通過管流類比到滲流的理論分析，給出了阻塞流時的出入口壓力比的解析表達式。Nield[11]完善了前人的理論，提出一種適合可壓縮性氣體的滲流運動方程，并指出了Darcy-Forchheimer方程不適合描述可壓縮性氣體流動，并且僅有考慮氣體加速度的運動方程可以解釋阻塞流現象。De Ville[12]提出了一種簡單有效的方法來處理Nield[11]提出的方程，并指出在二維平面的多孔介質中阻塞流依舊可能出現。Jin等[13-15]認為高壓氣藏測試開采過程中氣體的加速效應不可忽略，并指出當井底壓力降低到某一個臨界井底壓力時，氣體流動阻塞并且井壁上的孔隙壓力梯度無窮大，如果繼續井底壓力，激波可能在井底出現。Jin等[16]最先將氣體加速效應引入到了井壁圍巖應力，指出氣體加速效應可能帶來更大的拉應力。姜海龍等[17]在預測高壓氣井塑性區半徑的大小中考慮氣體加速效應，并指出Darcy-Forchheimer方程解釋的塑性區半徑的大小過于保守，并且考慮加速效應后塑性區半徑的增長速度明顯加快。

Jin等[16]數值分析了定產生產時考慮加速效應后的高壓氣井近井區域拉應力。值得注意的是這個拉應力非常小，在拉應力未達到抗拉強度時巖石剪切破壞可能已經發生。基于此，本文觀察了高壓氣井近井區域拉應力的大小水平，并基于考慮加速效應的孔壓分布給出了有限大厚壁筒模型的近井區域地層應力場，結合測井資料預測了巖石高溫下的抗壓強度，再結合Hoek-Brown準則[18]建立了定產生產下高溫高壓氣井出砂預測新模型，最后通過現場案例驗證了模型的合理性。

1 徑向流的孔壓分布與地層有效應力

假設問題的力學模型為一內徑為井半徑Rw；外徑為Re的厚壁筒。巖石為均勻，各向同性的多孔彈性介質。模型的外邊界受到水平最大主應力σH、水平最小主應力σh、上覆巖層壓力σV和遠場地層流體壓力P0，內邊界受到井內流體壓力Pw，小變形，符合平面應變條件（見圖1）。

圖1 模型平面示意圖

1.1 徑向流的孔壓分布

高壓氣藏定產生產時，氣體體積膨脹帶來的加速效應不可忽略[14]。氣體動量方程應考慮對流加速度和Forchheimer慣性阻力的影響。Jin等[13-16]研究發現氣體加速度效應可用一個無因次量λ來表征。無因次量λ越小，加速效應越顯著。

式中：φ-巖石平均孔隙度；κ-巖石平均滲透率；R*-氣體常數；μ-氣體動力黏度；T-氣藏溫度。

采用無因次化的標尺假設氣體為理想氣體，則極坐標下考慮氣體加速效應的穩態徑向滲流無因次的運動方程為[13，16]：

式中：；p-無因次氣體壓力；P-徑向上任意位置的孔壓；m=（ρvr）│r=1；δ=φ2βRw，β-Forchheimer阻力系數

圖2 井眼周圍力學模型分解示意圖

當 λ→∞、δ=0時，式（2）退化為 Darcy定律；當 λ→∞，為非零常數時，式（2）退化為Darcy-Forchheimer方程。結合無因次的邊界條件，利用有限差分法可求得氣體壓力的分布，則井底壓力和質量流量為一一對應關系，記為s=f（m），無因次邊界條件為：

1.2 徑向流的地層應力場

井眼周圍總應力狀態可通過先研究地應力和初始氣藏壓力分別對井眼周圍有效應力的影響，而后再用疊加的方法來獲得。井眼周圍受力的力學模型分解為三部分（見圖2）。

假設地應力的外邊界和滲流的外邊界相同，則無因次化的井眼周圍有效應力為：

式中、Δp（r）=p（r）-1；αBBiot系數，滲流系數vfr-巖石泊松比；θ-井周某點徑向與最大水平地應力的夾角。

2 有效徑向拉應力

Jin分析了均勻地應力場中考慮孔壓變化的拉應力大，即式（4）和式（5）中 B=0，此時式（4）和式（5）退化為文獻[16]中的式（6）。

當Biot系數為1時，由于井壁上井周徑向應力等

最大拉應力與平均地應力的關系（見圖3），相應的計算參數為 re=1 000、αB=1、η=0.5、m=0.04、λ=0.25、δ=10、B=0。圖3表明最大拉應力隨著平均地應力的增加而線性減少，并且當平均地應力為1.65時，拉應力消失。值得注意的是，即使平均地應力為1.2時，近井區域的最大有效徑向拉應力也僅達到0.004 5。由式（2）可知，此時井底壓力為0.262 4。也就是說，對于一個原始氣藏壓力100 MPa，平均地應力120 MPa的高壓氣藏來說，當井底壓力為26.24 MPa時，近井區域最大拉應力僅為0.45 MPa。這個拉應力不足以導致高壓氣井失穩，況且實際生產壓差一般也不可能達到原始氣藏壓力的74%。

圖3 最大拉應力與平均地應力的關系

井底壓力和質量流量的關系以及最大拉應力與質量流量的關系（見圖4），相應的計算參數為re=1 000、αB=1、η=0.5、λ=0.25、δ=10、A=1.4、B=0，圖4中最大質量流量已接近阻塞流流量。由圖4（a）可以看出圖中給出的質量流量對應的井底壓力非常低，約為原始氣藏壓力的35%～10%。在這樣的生產壓差下，近井區域的最大拉應力與質量流量的關系（見圖4（b））。最大拉應力隨著質量流量的增加而增加，并且增加速度逐漸加快，相應的最大拉應力的大小并不顯著。對于一個原始氣藏壓力100 MPa，平均地應力140 MPa的高壓氣藏來說，即使高壓氣體的產能接近阻塞流產能時，相應的近井區域的拉應力也只有5.5 MPa。可見，定產生產時考慮氣體加速效應的近井地帶的拉應力不足以導致地層發生拉伸破壞。

圖4

3 定產生產時高溫高壓井出砂預測新模型

假設高溫高壓氣井定產生產時巖石的破壞服從Hoek-Brown 準則[18]：

式中：巖石發生破壞時的最大和最小有效主應力；mb、c-材料常數，對于完整巖石，c=1；CST-高溫巖石抗壓強度。

由于應力集中，井壁圍巖應力大小順序一般為：

結合式（4）和式（5），則式（7）可以寫為：

由式（8）可以確定高溫高壓氣井維持井壁穩定的臨界氣井產量，式（8）中的高溫巖石抗壓強度CST可以由第4節計算得到。很顯然，θ=90°或270°時，高溫高壓氣井臨界出砂的氣井產量最小，式（8）簡化為：

沿徑向的有效徑向應力和有效切向應力分布（見圖5），相應的計算參數為 re=1 000、αB=1、η=0.5、λ=0.25、δ=10、A=1.4、B=0、m=0.052。可以看出當質量流量為0.052（接近阻塞流）時，有效徑向拉應力最大為0.054 5，有效切向應力最大為1.738 6。因此，當巖石的抗拉強度大于0.054 5并且高溫巖石抗壓強度小于1.738 6時，巖石的剪切破壞先于拉伸破壞。也就是說，對于一個100 MPa的高壓氣藏，當巖石的抗拉強度大于5.45 MPa并且高溫巖石抗壓強度小于173.86 MPa時，巖石的剪切破壞先于拉伸破壞。

圖5 沿徑向的有效徑向應力和有效切向應力分布

4 利用測井資料計算高溫巖石抗壓強度

假設巖石是無限大的各向同性的彈性體，那么動態彈性模量和縱橫波的關系如下：

式中：Ed-動態楊氏模量；Vt-縱波速度；Vs-橫波速度；ρ-地層巖石密度。

Deer和Miller[20]根據大量的室內實驗結果建立了常溫砂泥巖的抗壓強度σc和動態楊氏模量Ed以及巖石的泥質含量Vcl直接的關系：

自然伽馬測井常用于區別巖石的種類和泥質含量。泥質含量與泥質含量指數的關系：

式中：GCUR-與地層有關的經驗系數，新地層（第三系地層）GCUR=3.7，老地層 GCUR=2[21]。

式中：IGR-泥質含量指數；GR-測試巖石的自然伽馬值；GRmin-純砂巖的自然伽馬值；GRmax-純泥巖的自然伽馬值。

結合自然伽馬、聲波時差和地層密度測井資料，由式（10）～式（13）可得出常溫砂巖的抗壓強度σc。Jiang等[22]在不同溫度條件下測試了塔里木盆地克深區塊白堊紀地層砂巖的抗壓強度，得出了砂巖抗壓強度和溫度的關系。

式中：T-測試砂巖的溫度；CST-相應溫度下的砂巖抗壓強度。

5 現場案例

塔里木盆地克深區塊R井6 575 m到6 615 m白堊紀地層砂巖的自然伽馬、聲波時差和地層密度測井資料（見圖6）。

圖6 R井測井資料和巖石力學特性剖面

儲層溫度為145℃，儲層砂巖的平均滲透率和孔隙度分布為1 mD和10%，抗拉強度為8 MPa，泊松比為0.2。原始氣藏壓力為98.6 MPa，水平最大地應力和水平最小地應力分別為165 MPa和110 MPa，氣體黏度為0.000 01 Pa·s，氣體常量為518.3 J/kg/K。氣藏半徑分布為152.4 m，井徑為152.4 mm。Biot系數為0.9。由式（10）到式（14）可以得到砂巖的常溫和高溫的巖石抗壓強度。θ=90°或 270°時，基于 Hoek-Brown 準則的維持井壁穩定的臨界氣體流量（見圖7），現場放噴的氣體流量折合產量為108 500 m3/d時，R井處于失穩狀態的地層較小，現場顯示氣井小量出砂；當現場放噴的氣體流量折合產量為125 550 m3/d時，R井處于失穩狀態的地層較大，現場顯示氣井出砂嚴重。

圖7 基于Hoek-Brown準則的維持井壁穩定的臨界氣體流量

6 結論

（1）建立了考慮孔壓變化的有限大厚壁筒模型地層應力場，其中的孔壓分布考慮氣體加速效應。

（2）有效徑向拉應力大小非常低，不足以導致巖石發生拉伸破壞。

（3）結合測井資料和高溫條件下巖石力學特性的室內實驗，給出了塔里木盆地克深區塊砂巖不同溫度下的抗壓強度計算方法。

（4）基于考慮孔壓變化的有限大厚壁筒模型地層應力場和考慮氣體加速效應的孔壓分布以及Hoek-Brown破壞準則建立了克深區塊白堊紀地層不同產能下的出砂預測模型，該模型能較好的解釋現場出砂問題。

［1］Du Plessis，J.P.，Masliyah，J.B.Mathematical modeling of flow through consolidated isotropic porous media［J］.Transport in Porous Media，1988，3（2）：145-161.

［2］Du Plessis，J.P.Analytical quantification of coefficents in the Ergun equation for fluid friction in a packed bed［J］.Transport in Porous Media，1994，16（2）：189-207.

［3］Hayes，R.E.，Afacan，A.，Boulanger，B.An equation of motion for an incompressible Newtonian fluid in a packed bed［J］.Transport in Porous Media，1995，18（2）：185-198.

［4］Erik，S.，Jean-Louis，A..High-velocity laminar and turbulent flow in porous media［J］.Transport in Porous Media，1999，36（2）：131-147.

［5］Patrick H.，Pearson C.M.，John K.The impact of non-Darcy flow on production from hydraulically fractured gas wells［C］.SPE，2001，67299.

［6］楊筱璧，李祖友，魯敏蘅，等.高速非達西流氣井產能方程的新形式［J］.特種油氣藏，2008，15（5）：74-76.

［7］李祖友，楊筱璧，羅東明.高壓氣井二項式產能方程［J］.特種油氣藏，2008，15（3）：62-64.

［8］崔傳智，劉慧卿，耿正玲，等.天然氣高速非達西滲流動態產能計算［J］.特種油氣藏，2011，18（6）：80-83.

［9］Beavers，G.S.&Sparrow，E.M.Compressible gas flow through a porous material［J］.Int.J.Heat Mass Transfer，1971，（14）：1855-1859.

［10］Brad A.Meyer，Darrell W.Smith.Flow through porous media:comparison of consolidated and unconsolidated materials［J］.American Chemical Society，1985.

［11］Nield D.A.Modelling high speed flow of a compressible fluid in a saturated porous medium［J］.Transport in Porous Media，1994，14（1）：85-88.

［12］De Ville，A..On the properties of compressible gas flow in a porous media［J］.Transport in Porous Media，1996，22（3）：287-306.

［13］Jin，Y.，Chen，K.P.，Chen，M.，Grapsas，N.，Zhang，F.X.Shorttime pressure response during the start-up of a constantrate production of a high pressure gas well［J］.Phys.Fluids，2011，（23）：43101.

［14］Jin Y.，Chen K.P.，Chen M.，Grapsas N.Gas expansioninduced acceleration effect in high-pressure gas flows near a wellbore［J］.Journal of Porous Media，2012，15（4）：317-328.

［15］Jin，Y.，Chen，K.P.，Chen，M.Highly compressible porous media flow near a wellbore:effect of gas acceleration［J］.Journal of Fluids Engineer-ASME，2012，（134）：11301.

［16］Jin，Y.，Chen，K.P.，Chen，M.Development of tensile stress near a wellbore in radial porous media flows of a high pressure gas［J］.International Journal of Rock Mechanics&Mining Sciences，2011，（48）：1313-1319.

［17］姜海龍，陳勉，金衍，等.高壓氣體滲流對裸眼井筒塑性區半徑的影響分析［J］.巖石力學與工程學報，2015，34（S2）：4286-4294.

［18］Evert H.，C.T.Carlos，and C.Brent.Hoek-Broen Failure Cr-itertion-2002 Edition［C］.North American Rock Mechanic Society meeting，2002.

［19］Ward，J.C.Turbulent flow in porous media［M］.ASCE J.Hydraul.Div，1964，90（5）：1-12.

［20］Deere D.U.，R.P.Miller.Engineering classifications and index properties for intact rocks［M］.New Mexico:Air Force Weapons Laboratory，1996.

［21］Hilchie D.W.Applied openhole log interpretation for geologists and engineers［M］.Douglas W.Hilchie Inc.，Golden，Boulder，1982.

［22］Jiang H L，et al.Wellbore stability of the sandstone formation buried in high pressure and high temperature considering radial porous media flows of a compressible gas［C］.49th US Rock Mechanics，ARMA 15-259.