三力平衡問題的數(shù)學(xué)分析*

張忠獻(xiàn)

(鄧州市第二高級(jí)中學(xué) 河南 鄧州 474150)

在高中物理的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生會(huì)經(jīng)常遇到三力平衡問題.解決此類問題的方法多是采用解析法，其實(shí)質(zhì)是綜合運(yùn)用力的合成或分解及正交分解相關(guān)知識(shí)，利用物體受力平衡寫出未知量與已知量的關(guān)系表達(dá)式，根據(jù)已知量的變化情況來確定未知量的變化情況.

由于三力平衡問題在靜力學(xué)問題中占有較重的份量，故本文僅對(duì)求解三力平衡問題所運(yùn)用的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法做粗淺的探討.

1 用相似三角形法求解三力平衡問題

【例1】(單選)如圖1所示，質(zhì)量均可忽略的輕繩與輕桿承受彈力的最大值一定，桿的A端用鉸鏈固定，光滑輕小滑輪在A點(diǎn)正上方，B端吊一重物，重力為G，現(xiàn)將繩的一端拴在桿的B端，用拉力F將B端緩慢上拉，在AB桿達(dá)到豎直前(均未斷)，關(guān)于繩子的拉力F和桿受的彈力FN的變化，判斷正確的是( )

A．F變大

C．FN變大

D．FN變小

圖1 例1題圖

圖2 例1分析圖

點(diǎn)評(píng)：兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，這是平面幾何中相似三角形的一個(gè)重要性質(zhì).將相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例用于求解三力平衡問題，可謂是另辟蹊徑，別有洞天.該解法適用于物體受到了3個(gè)力的作用，其中一個(gè)力是恒力，另外兩個(gè)力的方向都變化，且題目給出了空間幾何關(guān)系.這樣的解法使求解三力平衡問題走上了捷徑.

2 用正弦定理求解三力平衡問題

【例2】 (單選)如圖3所示，a，b兩個(gè)小球穿在一根光滑的固定桿上，并且通過一條細(xì)繩跨過定滑輪連接.已知b球質(zhì)量為m，桿與水平面成θ角，不計(jì)所有摩擦，重力加速度為g.當(dāng)兩球靜止時(shí)，Oa繩與桿的夾角也為θ，Ob繩沿豎直方向，則下列說法正確的是( )

A．a(chǎn)可能受到2個(gè)力的作用

B．b可能受到3個(gè)力的作用

冰箱里頭為什么有這么多東西？寶寶喜歡一個(gè)一個(gè)拿出來，看看東西沒了，再一個(gè)一個(gè)放回去。這是建立空間概念的體驗(yàn)活動(dòng)。媽媽可以關(guān)上電源，趁機(jī)清潔冰箱，引導(dǎo)他認(rèn)識(shí)冰箱里拿出來的每一樣物品，讓他知道這些是食物，不能弄臟或打破。然后，拿來紙箱，和他一起動(dòng)手做個(gè)紙冰箱，給他一些東西，讓他去慢慢玩。

C．繩子對(duì)a的拉力大于mg

D．a(chǎn)的重力為mgcotθ

圖3 例2題圖

解析：a球受力分析圖如圖4所示，a球受到重力、繩子的拉力以及桿對(duì)a球的彈力，3個(gè)力的合力為零，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.對(duì)b球受力分析可知，b受到重力和繩子的拉力，兩個(gè)力合力為零，桿對(duì)b球沒有彈力，否則b不能平衡，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.由于b受到重力和繩子拉力處于平衡狀態(tài)，則繩子拉力T=mg，同一根繩子上的拉力相等，故繩子對(duì)a的拉力等于mg，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.分別對(duì)a,b兩球受力分析，運(yùn)用合成法，如圖4中所示，根據(jù)正弦定理列式得

解得

選項(xiàng)D正確.

圖4 例2分析圖

點(diǎn)評(píng)：正弦定理(亦稱拉密定理)是數(shù)學(xué)中的一個(gè)定理，它反映了三角形中3個(gè)邊與相鄰邊夾角正弦值間相互制約的關(guān)系.在三力平衡問題中，這3個(gè)力組成一個(gè)首尾相連的封閉矢量三角形，故在求解三力平衡時(shí)運(yùn)用正弦定理，就使得3個(gè)力及其夾角正弦值之間的關(guān)系一目了然，顯示出快速解題的優(yōu)越性.在求解三力平衡時(shí)，若已知或者容易算出3個(gè)力間的夾角和一個(gè)力時(shí)，選用正弦定理，可以說是明智之舉.

3 用圖解法求解三力動(dòng)態(tài)平衡問題

【例3】(單選)如圖5所示，一小球在斜面上處于靜止?fàn)顟B(tài)，不考慮一切摩擦，如果把豎直擋板由豎直位置緩慢繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)至水平位置，則此過程中球?qū)醢宓膲毫1和球?qū)π泵娴膲毫2的變化情況是( )

A．F1先增大后減小，F(xiàn)2一直減小

B．F1先減小后增大，F(xiàn)2一直減小

C．F1和F2都一直減小

D．F1和F2都一直增大

圖5 例3題圖

圖6 例3分析圖

點(diǎn)評(píng)：在共點(diǎn)力的平衡中，有些題目中常有“緩慢”一詞，則物體處于動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài).解決此類問題常用圖解法.若題目滿足有一個(gè)力大小、方向均不變，另一個(gè)力方向不變,還有一個(gè)力的方向變化時(shí)，可畫出這3個(gè)力的力矢三角形，結(jié)合大小、方向變化情況，分析得出未知量的變化情況.圖解法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的思想，它的優(yōu)點(diǎn)是能將各力的大小、方向等變化趨勢(shì)形象、直觀地反映出來，大大降低了解題難度和計(jì)算難度.

4 用三角函數(shù)極值法求解三力平衡問題

【例4】(單選)如圖7所示，傾角θ=30°的斜面固定，重為G的物體恰好可以沿斜面勻速下滑，現(xiàn)對(duì)物體施加一拉力(圖中未畫出)，使物體沿斜面勻速上滑，則該拉力的最小值為( )

圖7 例4題圖

解析:物體恰好能沿斜面下滑，因此

mgsinθ=μmgcosθ

故

設(shè)拉力與斜面夾角為α?xí)r拉力最小，受力分析如圖8所示.

圖8 例4分析圖

根據(jù)力的平衡有

Fcosα=Gsinθ+Ff

FN+Fsinα=Gcosθ

Ff=μFN

聯(lián)立得

令

得

即最小值

故C項(xiàng)正確.

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)思想是數(shù)學(xué)的核心思想.該題型的解題方法是把角度θ作為參數(shù)，依據(jù)平衡條件得到未知量的函數(shù)表達(dá)式，利用三角函數(shù)關(guān)系得到它的極值.高中學(xué)生已經(jīng)掌握三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)，當(dāng)遇到極值類問題時(shí)，他們還可以聯(lián)想到導(dǎo)數(shù)等相關(guān)知識(shí).這樣做的好處是簡(jiǎn)化解題過程，拓寬解題思路.

參 考 文 獻(xiàn)

1 張寶權(quán).三力平衡問題與數(shù)學(xué)方法.中學(xué)理科參考資料，1993(3):13～16

2 楊志強(qiáng).例談高中物理三力平衡中的幾種特殊解決方法.中學(xué)生理科應(yīng)試，2016(5):49～50