“壓縮波”與IYPT賽題“真空火箭筒”

崔衛國

(南京市金陵中學 江蘇 南京 210005)

“真空火箭筒”是一個什么裝置呢？現展示一下2017年IYPT賽題第17題.

Vacuum Bazooka：A “vacuum bazooka” can be built with a simple plastic pipe, a light projectile, and a vacuum cleaner. Build such a device and maximise the muzzle velocity.

(譯文)真空火箭筒：用塑料管、吸塵器以及一個發射物，就能制作一個“火箭筒”了.請制作一個這樣的火箭筒，并使得出射速度最大化.

實驗裝置的構建如圖1所示.

圖1 真空火箭筒裝置示意圖

實驗現象：在透明的水平長管左端放入直徑略小于管內直徑的發射物，用擋片A封住長管左端，擋片B封住長管右端，啟動吸塵器．穩定吸氣一段時間后，突然撤去擋片A，發射物在管內加速，至長管右端以很高速度撞擊擋片B后射出.

發射物在管內被加速的最大速度跟哪些因素有關呢？

我們可以初步推測：發射物的質量m越小，出射速度u越大；發射物的橫截面積S′越接近管內直徑S，出射速度u越大；發射物加速距離x越大，出射速度u越大；吸塵器的功率越大，出射速度u越大；等等．根據軍用炮彈形狀的聯想，發射物外形的不同應該對出射速度u有影響.

經過多次理論建模的嘗試，我們放棄了用靜態氣體狀態方程介入研究的想法，考慮到發射物前方的管內氣體受到發射物的沖擊，此時“壓縮波”產生的壓強變化對發射物的速度大小會有顯著影響.能否合理地將“壓縮波”知識納入到“真空火箭筒”的理論模型中呢？

1 類比：管內發射物相當于隧道中的列車

圖1中的發射物在水平管中的運動行為讓我們聯想到列車進入隧道的情景.

dp=ρ0c0du

(1)

其中，p為發射物前方氣體對它的壓強,u為發射物的運動速度,ρ0為初始壓縮波的空氣密度,c0為聲音在初始壓縮波中的速度.

2 發射物的運動規律

待吸塵器穩定吸氣一段時間后突然撤去擋片A，對發射物受到的各物理量做如下界定：水平管的橫截面積為S(測量值為6.30 cm2)，發射物的橫截面積設為S′；由于發射物與水平管之間有較小的空隙，撤去擋片A后發射物的左側空氣壓強可以視為大氣壓強且恒定為p0；發射物右側氣體在穩定抽氣狀態下初始壓強設為p′，任意時刻壓強可以表示為p；又因摩擦力相對氣體壓力差的影響較小，此處忽略了摩擦對發射物速度的影響.

現對式(1)積分，并結合初始條件u=0時p=p′，有

p=p′+ρ0c0u

(2)

對發射物應用牛頓第二定律

即

(3)

則發射物向前運動的距離x與獲得的速度u滿足

p0-p′-ρ0c0u-

取x=0時u=0，有

(4)

溫度為25 ℃時，ρ0=1.18 kg/m3，c0=346 m/s，p0=100 kPa，吸塵器此時能使得發射物右側有穩定的壓強p′=79 kPa，發射物的截面積

S′=5.50 cm2

代入式(4)并化簡后得到

(5)

根據式(5)，發射物獲得的速度u與位移x關系圖像如圖2所示.可以看出，加速距離x越大，速度u越大，最終發射物的速度會逼近一個最大值.圖2中粗實線和細實線分別反映了質量不同的發射物在管中發射的速度u隨加速距離x的關系，可知質量越小的物體在同等加速距離下獲得的速度越大.

圖2 發射物獲得的速度u與位移x關系圖像

3 實驗與理論的對比

若發射物的質量保持m=0.01 kg不變，式(5)變為

(6)

利用圖1裝置進行實驗，發射物的質量保持m=0.01 kg不變，加速距離x和獲得的速度u的測量值如表1所示.

表1 m=0.01 kg時x與u的測量值

注：本表數據由南京市金陵中學丁洋老師提供.

在實際實驗的測量中，由于管的長度不能做得足夠長，發射物被加速的最大距離x=2.00 m，對應最大速度的測量值為37.65 m/s.根據式(6)，此理論值的最大速度為41.50 m/s，該實際的測量值已經比較接近理論值了.測量數據對應的實驗線和理論線如圖3所示，可以發現實驗線與理論線貼近，但實驗線總是在理論線的下方.這說明上面建立的理論模型具有較高的合理性，但兩根線沒有重合說明理論中還有些物理量未曾考慮全面.

圖3 測量數據對應的理論線與實驗線

4 可能影響最大速度的其他因素

根據上面的簡化模型，影響發射物速度大小的因素有發射物的質量m，在管中加速的距離x，外界大氣壓強p0，因抽氣功率影響的發射物前方的氣體壓強p.

尚未考慮的因素可能還有：發射物后方的氣體不能完全恒定為p0，可能受到稀疏波的影響；水平管對發射物的摩擦力的影響；發射物與管之間的微小空氣間隙對運動的影響；發射物前方的空氣因壓縮做功消耗物體動能的影響；發射物速度增大到一定程度后吸塵器吸氣快慢對氣體壓強的影響；甚至發射物的外形不同對速度的大小也有不同的影響等等.盡管發射物前后的氣壓差是影響它運動速度大小的最主要因素，但這些未考慮的因素也是造成圖3中實驗線與理論線有一定差距的原因所在.

總之，在精確實驗數據面前，借助類比列車進入隧道的現象將壓縮波引入真空火箭筒的理論建模，是可行的，是合理的.

參 考 文 獻

1 王宏林，雷波，畢海權．壓縮波慣性作用對其波形演變的影響．西南交通大學學報，2015，50(1)：118～123