一般非慣性系中的剛體動力學

陳余華

(江西省大余中學 江西 贛州 341500)

黃亦斌

(江西師范大學物理與通信電子學院 江西 南昌 330022)

1 理論

在一般旋轉的非慣性系中，質點的加速度a′與其在慣性系中的加速度a的關系[1]為

a=a′+a0+α×r′+

Ω×(Ω×r′)+2Ω×v′

(1)

其中a0為旋轉系原點的加速度，Ω,α為旋轉系的角速度和角加速度，r′,v′為質點在旋轉系中的矢徑和速度.由此可以得到非慣性系中的質點動力學表達式[1]

F-ma0-mα×r′-mΩ×(Ω×r′)-

2mΩ×v′=ma′

(2)

左邊第一項為真實力，其他都是慣性力，包括牽連慣性力-ma0-mα×r′-mΩ×(Ω×r′)和科里奧利力-2mΩ×v′.這就是說，牛頓第二定律的形式在各種參考系中都是一樣的，只要加上各種慣性力.

質點系情形會如何？此時，式(2)中新增的慣性力都是外力，內力情形不變，故而各種結論不變，只要在外力項中增加慣性力項即可.文獻[2]給出了一般非慣性系中的質點系角動量定理.本文欲討論其中的剛體動力學方程.教材[3]對此有討論，但其主要使用分量語言，且主要是舉例說明.本文將使用矢量語言，并給出一般結論.

(3)

故有

(4)

這就是一般非慣性系中的質心運動定理.可見，就此而言，各處慣性力的效應只需集中于質心即可.這其實是因為，式(3)是矢徑(或速度)的一次式，而質心正是按一次式等效來定義的.

(5)

(6)

后幾項由于是矢徑(或速度)的二次式，就不可能還是那么簡單了.以下逐項分析.慣性力矩第二項等于

慣性力矩第三項等于

而科里奧利力矩為

于是，角動量定理式(5)左邊的總力矩為

將其代入式(5)，即得

Ω×Ic·(ω′+Ω)

(7)

ω′×Ic·(ω′+Ω)+Ic·(ω′+Ω)×ω′+

Ic·(β′+α)

Ic·(Ω×ω′+β′+α)

(8)

式(7)和(8)就是一般轉動系中剛體對質心的角動量定理.式(4)和(8)就構成一般非慣性系中剛體動力學的完備方程組.

利用絕對導數和相對導數的關系

可以發現式(7)和(8)其實就是慣性系中的下列兩個結果[4]

可見，我們的結果正確.此外，式(5)中各項慣性力的效應，只有第一項的力矩為零，故而只有該項的合力通過質心，其他項的合力都不通過質心.

2 舉例

圖1 在旋轉的豎直平面內滾動的球

于是，質心運動定理式(4)給出

即

(9)

(10)

(11)

對質心的角動量定理式(8)給出

R×f=kMR2(Ω×ω′+β′)

(注意此時Ic對稱，式(8)右邊第一項為零)，即

(12)

(13)

(14)

無滑滾動條件給出

即

(15)

(16)

此外還需滿足不等式N≥0和|f|≤μN.

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

參 考 文 獻

1 周衍柏.理論力學教程(第3版).北京：高等教育出版社，2009.183～188

2 杭慶平.非慣性系中的質點組角動量定理.大學物理，1988 (1) :16～19

3 朱照宣，周起釗，殷金生.理論力學(下) .北京：北京大學出版社，1982.249～255，265

4 黃亦斌，曾建平，彭榮榮.剛體轉動方程的矢量式——兼談其與質點動力學的“內在統一性”.物理通報，2017(7)：17～19