牛頓擺系統(tǒng)中的能量和動(dòng)量傳遞*

王成會(huì) 莫潤陽 賀西平 邊小兵 陳 時(shí)

(陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院 陜西 西安 710062)

1 引言

中學(xué)和大學(xué)物理教學(xué)中通常應(yīng)用牛頓擺裝置[1](圖1)來演示并驗(yàn)證碰撞過程中動(dòng)量和能量守恒，在生活中也常有類似的桌球游戲、玩具等[1,2]，它們的共同特征是有多個(gè)彼此獨(dú)立且彼此接觸的m個(gè)同質(zhì)等大的球構(gòu)成的球鏈，在此球鏈上，可實(shí)現(xiàn)有效的能量和動(dòng)量傳遞并表現(xiàn)出許多有趣的現(xiàn)象，比如，移動(dòng)球鏈上n(n

圖1 牛頓擺裝置

多球鏈牛頓擺并不符合直觀的碰撞規(guī)律，即不能把“不活躍”小球[1]看作整體應(yīng)用動(dòng)量守恒定律，為更好地解釋物理現(xiàn)象，許多學(xué)者提出連續(xù)碰撞模型解釋牛頓擺球鏈上的動(dòng)量傳遞規(guī)律[1,4]，他們認(rèn)為各小球之間有很小的縫隙，因此，球鏈上的動(dòng)量和能量傳遞過程中符合兩兩之間的系列碰撞規(guī)律.連續(xù)碰撞模型預(yù)測球鏈上“不活躍”小球?qū)⑻幱陟o止?fàn)顟B(tài)，但是牛頓擺運(yùn)動(dòng)的高速攝影實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，球鏈上的“不活躍”小球在碰撞結(jié)束后也獲得了很小的運(yùn)動(dòng)速度，因此，連續(xù)碰撞模型并不能完美地解釋實(shí)驗(yàn)觀察到的物理現(xiàn)象.更完善的模型是將球鏈上的小球抽象為質(zhì)點(diǎn)和彈簧系統(tǒng)[5～9]，如圖2所示，從而擺球碰撞球鏈在球鏈上引起的動(dòng)量和能量傳輸可通過質(zhì)量和彈簧之間的能量轉(zhuǎn)換和轉(zhuǎn)移實(shí)現(xiàn).本文將基于牛頓擺球鏈質(zhì)量-彈簧模型分析研究牛頓擺系統(tǒng)的動(dòng)量和能量傳遞的影響因素.

圖2 質(zhì)量-彈簧模型

2 理論模型

2.1 牛頓擺模型方程

將牛頓擺簡化為多個(gè)半徑同為R的勻質(zhì)球構(gòu)成的球鏈，置于光滑水平面上，球心在同一直線上；初始時(shí)刻除碰撞小球具有初速度v0外，其他小球均處于靜止?fàn)顟B(tài)且彼此間距為2R；若忽略擺球與其他靜止球碰撞過程中的能量損失，則可將每個(gè)小球看做是理想質(zhì)點(diǎn)與勁度系數(shù)κ組成的系統(tǒng).為簡化分析，本文將對由3個(gè)小球構(gòu)成的牛頓擺進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析.若以小球1恰好接觸小球2的時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，此時(shí)小球1的中心位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，各小球連心線為坐標(biāo)軸的坐標(biāo)系中，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程可表示為[5～8]

(1)

(2)

(3)

式中x1,x2和x3為碰撞小球的位置坐標(biāo)，m為小球質(zhì)量，勁度系數(shù)κ是與物質(zhì)材料特性相關(guān)的物理量，其表達(dá)式為[5]

(4)

其中E是楊氏模量，σ是材料泊松比.設(shè)τ=ωt，其中

無量綱動(dòng)力學(xué)方程為

(5)

(6)

(7)

2.2 牛頓擺擺球碰撞引起的能量和動(dòng)量傳遞特征

(8)

能量變化分別為

(9)

能量和動(dòng)量傳輸?shù)男逝c小球之間的相互作用時(shí)間有關(guān)，通常情況下，對剛度較大的球鏈而言，入射小球1的速度越大，小球之間的相互作用越強(qiáng)，能量和動(dòng)量在球鏈上傳遞的效率越高.

3 牛頓擺運(yùn)動(dòng)影響因素

3.1 碰撞過程特征

圖3 小球位置變化和間距變化特征

圖4 速度變化特征

通過對比發(fā)現(xiàn)，隨著撞擊小球1速度的減小，彼此間相互作用時(shí)間延長，可近似將整個(gè)作用時(shí)間等分為3個(gè)階段：第一階段主要表現(xiàn)為小球1和小球2碰撞，二者之間發(fā)生動(dòng)量和能量交換；第二階段為混合作用區(qū)，球鏈上3小球之間均表現(xiàn)為較強(qiáng)相互作用，動(dòng)量和能量實(shí)現(xiàn)從小球1到小球3的傳遞，第二階段末，小球1與小球2之間的相互作用結(jié)束；第三階段僅表現(xiàn)為小球2與小球3之間的相互作用，在此階段末，小球3幾乎獲得了初始時(shí)刻小球1的速度.在此過程中，能量和動(dòng)量始終守恒.通過比較圖4(a)～ 圖4(d)的速度變化特征發(fā)現(xiàn)，無論初始時(shí)刻小球1的速度如何，在理想情形下，小球3的末速度約為0.993v10，小球1與小球2作用結(jié)束時(shí)小球1末速度約為-0.071v10，而小球2與小球3作用結(jié)束時(shí)小球3末速度約為0.076v10.

3.2 碰撞過程中能量和動(dòng)量傳遞

在球鏈模型中，動(dòng)量和能量的時(shí)間變化率分別為

(10)

(11)

3.3 阻尼影響

通過數(shù)值分析發(fā)現(xiàn)，忽略阻尼對牛頓擺各小球相互作用影響的情形下小球1和2末速度均不為零，且相對于其t=0時(shí)刻的初始位置發(fā)生了小幅偏移，這勢必增加牛頓擺工作過程的不穩(wěn)定性，正如我們在演示實(shí)驗(yàn)中觀察到的那樣，擺球的幅度越來越低，其他各小球的運(yùn)動(dòng)也越來越明顯.各小球相互作用的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)是非線性的，不僅如此，碰撞結(jié)束后的擺球運(yùn)動(dòng)也是非線性的，非線性運(yùn)動(dòng)過程對初值非常敏感，初值極小的變化就可能引起較大系統(tǒng)非線性響應(yīng)，因此，要想觀察到穩(wěn)定的牛頓擺現(xiàn)象，需充分考慮各種影響因素的作用，以實(shí)現(xiàn)更好地控制.文獻(xiàn)[7]等引入恢復(fù)系數(shù)分析碰撞過程中的能量耗散，文獻(xiàn)[5]根據(jù)非彈性碰撞特征在動(dòng)力學(xué)方程中引入粘彈性力因子，其形式為

(12)

4 結(jié)論

作為物理演示實(shí)驗(yàn),牛頓擺裝置的研究具有重要的科學(xué)意義，準(zhǔn)確而通俗易懂的解釋有助于提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng).不僅如此，牛頓擺模型的經(jīng)典理論研究方法及其研究結(jié)論還拓展到了現(xiàn)代科學(xué)領(lǐng)域[10,11]，為分析鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)的粒子之間的相互作用提供了理論基礎(chǔ).本文基于三體鏈?zhǔn)角蜃饔孟到y(tǒng)分析牛頓擺模型中動(dòng)量和能量傳遞特征，通過無量綱動(dòng)力學(xué)方程的數(shù)值分析發(fā)現(xiàn)，對鏈?zhǔn)角蛳到y(tǒng)，無論入射擺球的初速度如何，整個(gè)單向碰撞過程結(jié)束后各球末速度和入射擺球的初速度比值趨于定值；但是入射擺球的初速度大小影響鏈?zhǔn)角蛳到y(tǒng)的相互作用時(shí)間，入射速度越大，作用時(shí)間越短，動(dòng)量和能量傳遞的效率越高.鏈?zhǔn)角蛳到y(tǒng)的能量和能量傳遞快慢受到球的大小和材料等因素的影響，通常情況下，阻尼的影響因素也不能忽略.

參 考 文 獻(xiàn)

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