隨機粗糙面上解決低頻崩潰問題的電磁散射研究

高正平，郭靖鋒

（電子科技大學微電子與固體電子學院 四川 成都 610054）

1 引言

隨機粗糙面的電磁散射研究，一直以來都是材料學、電磁學等各個領域研究的重點關注課題[1-4]。特別是在最近幾十年來，各種算法在隨機粗糙面的RCS研究上取得了巨大的進展，本文重點解決的是計算隨機粗糙面的電磁散射系數時，傳統的積分方程產生的低頻崩潰問題。矩量法（MOM）是求解電積分方程的最常用一種方法。本文先用商業FEKO軟件中矩量法MOM對隨機粗糙面雙站散射系數σ進行計算，然后再用自編程軟件的中AEFIE算法來解決計算隨機粗糙面的RCS時，傳統電場積分方程面臨的低頻崩潰問題。并用自編程軟件計算得出隨機粗糙面的散射系數，通過與商業FEKO軟件中傳統的多層快速多極子算法（MLFMA）算法計算的數據進行對比，來表明新型積分方程的計算時間短，占用內存少等優勢。

MATLAB軟件是當前制作數值3D模型最為流行的軟件之一，本文用線性濾波法把隨機粗糙面仿真出二維模型，再把二維模型導入到商業FEKO軟件或自編程軟件中去。為了提高自編程軟件和用戶之間信息交互能力，可采用可視化的用戶接口即UI（User Interface）界面。本文利用Microsoft Visual C++ 6.0編程平臺使用C++語言進行編程，用自編程的增量積分方程來計算隨機粗糙面的電磁散射系數。

2 模型建立與算法的實現

2.1 計算機的硬件與軟件配置

計算機中央處理器（CPU）采用的是Intel Core i7-6700HQ 2.6GHz，計算機內存（Memory）采用的是16GB（聯想 DDR3 2400MHz），操作系統（OS）采用的是Windows 10 SP1（64位），開發平臺采用的是Microsoft Visual C++ 6.0，開發語言使用C++語言。

2.2 二維隨機粗糙面模型的建立

我們可以通過MATLAB等軟件把高低起伏的地面仿真出二維隨機粗糙面模型，隨機粗糙表面由均方根長度δ和表面相關長度l兩個基本參量決定[5-7]。

E[ ]表示整個隨機粗糙面平均值，z=f（x）表示的是隨機粗糙面高度起伏的函數表達式，高度起伏的分布情況則是由概率密度函數p（f）來表征。

對于一個隨機粗糙表面，它的粗糙面特性并不僅用均方根來描述，另外的一個重要參數就是相關函數[8-9]。

將自相關函數進行歸一化處理得到相關系數為

本文用蒙特卡羅方法（線性濾波法）生成一個二維的隨機粗糙面，粗糙面上每一點的高度可表示為[10]

其中

上式中表示要生成隨機粗糙面的功率譜密度函數為[11]

圖1（a）、（b）、（c）和（d）是當均方根高度δ取值為0.05λ、0.1λ、0.2λ、0.3λ，相關長度l取固定值為0.5λ時的隨機粗糙面圖形

圖1 隨機粗糙面l=0.5λ：（a）δ=0.05λ；（b）δ=0.1λ；（c）δ=0.2λ；（d）δ=0.3λFig.1 random rough surfacel=0.5λ of （a）δ=0.05λ；（b）δ=0.1λ；（c）δ=0.2λ；（d）δ=0.3λ

圖2（a）、（b）、（c）和（d）分別為當相關長度l分別取值為0.3λ，1λ均方根高度取固定值為0.1λ的二維粗糙面模型

圖2 隨機粗糙面δ=0.1λ：（a）l=0.3λ；（b）l=0.7λ；（c）l=1λ；（d）l=2λFig.2random rough surface δ=0.1λ of （a）l=0.3λ；（b）l=0.7λ；（c）l=1λ；（d）l=2λ

從上述用MATALB軟件仿真出來的二維隨機粗糙面模型可以看出，在l固定的情況下，隨著δ的增大，隨機粗糙面的起伏也就越來越大，粗糙面的峰值和谷值的絕對值就越大。即粗糙面的高度起伏與均方根高度成正比。同樣可以看出在δ為固定值時，l增大，隨機粗糙面變化就變得緩慢。

2.3 增量型電場積分方程實現

增量型電場積分方程（AEFIE）是一種通過改變積分方程的形式來消除低頻崩潰問題的一種有效方法，被提出后迅速成為有效的計算工具[12-14]。AEFIE中的矢量位和標量位被分離，電流連續性限制條件被用于建立額外的方程系統。通過采用合適的頻率擴張因子，可以去除低頻問題。

采用三角貼片對待求解的目標進行剖分。假定剖分后的三角貼片相關的內邊有e條。RWG基函數為[15]

An+，An-分別為三角形Tn+，Tn-的面積。對于三角貼片，可以定義這樣的脈沖基函數來表示電荷

通過這些基函數，可以定義三個矩陣V∈Ce×e，S ∈ Ce×e以及 P ∈ Ce×e

這樣，傳統的基于RWG基函數的 EFIE 可以寫成[16]

通過幾何剖分模型中三角貼片和其公共邊的關系構造一個連接矩陣∈Ce×e，其定義如下

標量位的矩陣表示

假定三角貼片上電荷密度的系數向量為d，那么d可以用下式表示

這樣就可以得到源荷分離的電場積分表達式

成功得到了增量型電場積分方程的實現方法，利用Microsoft Visual C++ 6.0編程平臺使用C++語言對推導出的算法進行編程，軟件程序主要由三個模塊構成：（1）網格模型導入模塊；（2）計算參數設置模塊；（3）電磁計算程序模塊。

3 計算結果及驗證

本文采用波長為1米頻率為f=300MHz的入射波，粗糙面長度L=10λ，入射角θi=30°。每個波長被剖分為30個單元。

垂直極化波入射時，取相關長度為固定值l=0.5λ，均方根δ取值為δ=0.05λ、δ=0.2λ。再取高度起伏均方根分為固定值δ=0.05λ，選取相關長度為分別為l=0.3λ、l=1λ。用商業FEKO軟件中MOM算法計算隨機粗糙面雙站散射系數σ由于計算量過于巨大以及數值不穩定等原因導致FEKO內存不足，不能計算出電磁散射系數。再采用商業FEKO軟件中MLFMA算法與自編程軟件中AEFIE算法計算隨機粗糙面雙站散射系數σ，每種隨機粗糙面取30個樣本進行雙站散射系數的計算并取平均值，最終得到計算時間與內存消耗量如表1，得到的RCS曲線圖如圖3、4。

表1 兩種算法的計算時間與內存消耗Table.1 Chemical components of the prepared samples （mass fraction/%）

從上表可以看出無論計算時間還是對計算機的內存消耗AEFIE算法更具有一定的優勢，與傳統的MLFMA算法相比，AEFIE用MLFMA算法加速后消耗內存更少，計算用時更少。

圖3 均方根高度不同MLFMA和AEFIE算法RCSFig.3 RCS calculated by MLFMA and AEFIE algorithms with different root mean square heights

圖4 相關長度不同MLFMA和AEFIE算法RCSFig.4 RCS calculated by MLFMA and AEFIE algorithms with different relevant length

如圖（e）（f）所示，通過對照看出，商業FEKO軟件計算隨機粗糙面散射系數與自編程軟件計算結果基本一致，表明了AEFIE方法計算隨機粗糙面雙站散射系數σ的準確有效性。同時通過圖（e）驗證了在鏡向上，散射系數σ隨高度起伏均方根δ的減小而增大，而在其余大部分的散射區域中，散射系數σ隨高度起伏均方根δ的減小跟著減小。通過圖（f）在鏡向上，散射系數σ隨高度起伏均方根δ的減小而增大，而在其余大部分的散射區域中，散射系數σ隨高度起伏均方根δ的減小跟著減小。

4 結論

本文利用Microsoft Visual C++ 6.0編程平臺使用C++語言進行編程，用自編程的增量積分方程的方法來求解低頻TM波入射隨機粗糙面導致傳統積分方程出現低頻崩潰問題。并用自編程軟件的AEFIE算法與商業FEKO軟件中MLFMA算法對隨機粗糙面雙站散射系數σ進行計算消耗的時間與內存的平均值，表明了AEFIE用MLFMA加速后與傳統的MLFMA算法計算隨機粗糙面散射系數σ的有占用計算機內存少，計算時間短等優勢。同時通過得到的RCS曲線圖，表明了AEFIE方法計算隨機粗糙面雙站散射系數 σ的準確有效性。同時驗證了在鏡像上，σ 隨高度起伏均方根δ 的變小而增大，幾乎不受l變化所影響，而在非鏡像上，散射系數σ 隨高度起伏均方根δ的減小跟著減小，卻會隨其相關長度l的減小而增大。

[1] D.R.Wilton and A.W.Glisson，O improving the electric field integral equation at low frequencies,URSI Radio Science Meeting Digest，Los Angeles,CA，June 1981，pp.24

[2] 逯貴禎，王寶發.高斯隨機粗糙表面的電磁散射研究[J].電子學報，2002，30（6）：907-908.

[3] Thorsos E.The validity of the Kirchhoff approximation for rough surface scattering using a Gaussian roughness spectrum [J].1/++7 J AcoustSoc Am，1988，83（1）: 78-91.

[4] Wang X，Wang C F，Gan Y B. Electromagnetic scattering from a circular target above or below rough surface [J].Progress inElectromagnetics Research，2003，40: 207-227.

[5] Kuga Y，Phu P.Experimental studies of millimeterwave scattering in discrete random media and from rough surfaces [J].Progress in Electromagnetics Research，1996，14:37-38.

[6] 閆沛文，童創明，姬偉杰.SM FSIA/CA G快速計算二維分形粗糙面的電磁散射特性 [J].系統工程與電子技術，2009，31（9）:2117-2120 .

[7] 田煒，任新成.一維指數型粗糙土壤表面電磁散射的矩量法研究[J].科學技術與工程，2011， 11（10）：2211-2214.

[8] 郭立新，王蕊，吳振森.隨機粗糙面散射的基本理論與方法[M].北京：科學出版社，2009:1-60.

[9] Bass.Wave Scattering from Statistically Rough Surfaces[C]. Oxford: Pergamum，1979.

[10] A.Ishimaru，and J S.Chen. Scattering from very rough surfaces based on the modified second-order Kirchhoff approximation with angular and propagation shadowing [M].J.Acoust.Soc. Am，1990:1877-1883.

[11] Bruce N C.Multiple scatter of vector electromagnetic waves from rough metal surfaces with infinite slopes using theKirchhoff approximation[J].Waves in Random and Complex Media，2011，21（2）:362 － 377.

[12] W. Wu，A.W.Glisson and D.Kajfez.，A Comparison of Two Low-frequency Formulations for the Electric Field Integral Equation,Proceedings of the 10th Annual Review of Progress in Applied Computational Electromagnetics，Monterey，California，Vol.2，pp 484-491.

[13] J.S. Zhao，W.C.Chew，Integral equation solution of Maxwell's equations from zero frequency to zero frequency to microwave frequencies，IEEE Transactions on Antennas and Propagation，Oct.2000，Vol.48，No.10，pp.1635-1645.

[14] Z.G.Qian and W.C.Chew，An augmented electric field integral equation for low frequency electromagnetcs analysis，IEEE Antennas and Propagation International Symposium，San Diego，Jul.2008.

[15] Z.G.Qian and W.C.Chew，An augmented EFIE for high speed interconnect analysis，Microwave and OpticaTechnology Letters，Oct.2008，Vol.50，No.10，pp.2658-2662.

[16] M.Taskinen and P.Yla-Oijala，Current and charg integral equation formulation，IEEE Transactions on Antennas and Propagation，Jan.2006，Vol.54，No.1，pp.58-67.