格林公式及其應用

摘 要：格林公式表達了平面區(qū)域D上的二重積分與D的邊界曲線L上的第二型曲線積分之間的聯(lián)系，是計算曲線積分的重要方法. 本文主要介紹了幾個利用格林公式計算積分的方法.

關鍵詞：封閉曲線； 格林公式；有向曲線；二重積分；第二型曲線積分

1 引言

一元微積分學中的牛頓-萊布尼茨公式在計算積分中起著十分重要的作用， 無獨有偶，格林公式 是多元函數(shù)積

分學中的重要公式，它給出了平面上有限條逐段光滑封閉曲線上的第二型曲線積分與它們所包圍區(qū)域上的二重積分的關系.在第二型曲線積分的計算中，我們經(jīng)常遇到積分路線用參數(shù)方程轉化為定積分的計算比較麻煩的情況，這時候我們可以考慮利用格林公式簡化積分計算；同樣，當利用二重積分計算平面圖形D的面積較為復雜時，我們可以想辦法利用格林公式化為第二型曲線積分來解決.

2 格林公式的幾種應用

2.1 利用格林公式求平面區(qū)域D的面積

在格林公式中，令P=-y，Q=x，則得到一個計算平面區(qū)域D的面積的公式：

（1）

當利用二重積分計算面積較繁瑣時，我們可以利用公式（1）用曲線積分來計算.

2.2 利用格林公式計算第二型曲線積分

當（1）式中P（x，y），Q（x，y）形式比較復雜時，若 較為簡單或為0

時，當被積函數(shù)滿足格林公式的條件，可利用格林公式化曲線積分為二重積分.

1.若封閉曲線存在，則直接計算.

2對于計算非封閉曲線積分，當所給曲線積分中的P（x，y），Q（x，y）符合格林公式的條件時，可取較簡單的曲線 組成閉合曲線，再利用格林公式計算.

2.3 利用格林公式計算復連通區(qū)域曲線積分

1.如果所給的有向曲線滿足封閉的條件，但不滿足格林公式所要求的函數(shù)P（x，y），Q（x，y）， ， 在曲線L所圍成的有界平面閉區(qū)域D上連

續(xù)的條件，這時可以先把曲線L的方程代入該曲線積分，若代入后的曲線積分滿足格林公式的條件，則可用格林公式繼續(xù)化簡.

例1計算曲線積分 ，其中L為圓周x2+y2=a2且沿順時針方向.

解： 有x2+y2=a2

2.如果沿封閉曲線L的積分方程代入曲線L的方程后，仍在L所圍成的區(qū)域D上存在某些點或者存在某些子區(qū)域，使得P（x，y），Q（x，y），

， 在其上不連續(xù)，而在D的其他區(qū)域都連續(xù)，且 . 這時可以構造

一條有向閉曲線 ，把使得P（x，y）， ， 不連續(xù)的那些點或子

區(qū)域包含在 所圍的區(qū)域內(nèi)，則此時原封閉曲線L和新構造的有向閉曲線 所圍成的復連通區(qū)域滿足格林公式，我們可以利用這一點求出原曲線積分.

例2計算 ，其中L為單位圓周x2+y2=1，逆時針方向.

解：記 ，則當 時，P、Q

具有連續(xù)的偏導數(shù)且

取 充分小，使之滿足曲線 所圍的區(qū)域完全包含在L所圍的區(qū)域內(nèi)，C的方向取順時針方向，記L與C所圍的區(qū)域為D，則由格林公式，得

因此

由于的參數(shù)方程為 ，則

3結束語

本文主要介紹了格林公式在計算第二型曲線積分和二重積分中的應用， 我們既可以利用格林公式將某些曲線積分變得簡單易實現(xiàn)，也可以利用格林公式對某些二重積分進行化簡. 但是利用格林公式計算積分時必須滿足一定的條件，這樣才能正確地使用格林公式 .本文主要介紹了格林公式在三種情況下的使用，通過上述分析， 我們可以看出格林公式溝通了平面區(qū)域D上的二重積分和其邊界L上的曲線積分之間的聯(lián)系，故可以起到由此及彼，由彼及此簡化兩種運算的作用.需要注意的是，格林公式在使用時要看曲線L是否取正向、是否封閉；

是否在D內(nèi)連續(xù)，否則不能直接運用格林公式.

在實際應用中會碰到許多難以用參數(shù)方程的方法去求解或者解決起來很麻煩的積分， 利用格林公式計算是一個有效的方法. 本文結合具體實例介紹了此公式的幾種應用，并探究了格林公式的使用條件，所以本文具有一定的實用價值.

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作者簡介：

于輝（1996—），男，漢族，山東德州人，濟南大學土木建筑學院土木工程專業(yè)本科生。