“加減乘除”解排列組合問題

馬桂萍

【摘要】排列組合問題是高中數學的重要內容。為了更好的解決排列組合問題，本文首先總結出了求解排列組合問題的依據，原則，關鍵，接著通過實際問題說明了分類討論法，并重點介紹利用“加減乘除”方法在一些問題的應用，說明該方法在解決排列組合問題時是一種很有效的方法。

【關鍵詞】排列；組合；分類討論；加減乘除

解排列組合問題的依據、原則、關鍵

①解排列組合問題的依據是：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合：

②解排列組合問題的三先三后原則：先分類后分步：先特殊后一般，先組合后排列：

③解排列組合問題的關鍵：注意分類討論。

一、分類討論法

【例1】安排5名歌手的演出順序時，要求某名歌手不第一個出場，另一名歌手不最后一個出場，不同排法的總數是____。（用數字作答）

【分析及解】分兩種情況：（1）不最后一個出場的歌手第一個出場，有A：種排法（2）不最后一個出場的歌手不第一個出場，有A 3JA3A；種排法，故共有78種不同排法。

二、解排列組合問題的方法

相鄰問題捆綁法，不相鄰問題插空法，多排問題單排法，定位問題優先法，多元問題分類法，選取問題先選后排至多至少問題間接法，求正整數解個數出隔板法等：主要方法有：

加：利用加法的關鍵是正確分類，分類前必須先確定一個分類標準，使完成這件事的任何一種方法都屬于且只屬于某一類。

【例1】有一個密碼為631208的手提箱，現有顯示號碼為080127，要打開箱子，至少旋轉幾次？（每個旋鈕可顯示的數字依次為O，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的任何一個，只要一個旋鈕上轉…一個新的數字就為一次，逆轉與順轉都可以）

【分析及解】在第一個旋鈕上由O轉為6，順轉需要6次，逆轉需要4次，所以，在第一個旋鈕上至少需要轉4次，同理，在第二個旋鈕上至少需要轉5次，在第三個旋鈕上至少需要轉1次，在第四個旋鈕上至少需要轉1次，在第五個旋鈕上至少需要轉2次，在第六個旋鈕上至少需要轉1次，因此，要打開箱子，至少旋轉4+5+1+1+2+1= 14次。

減：完成一件事，當正面直接分類較困難，而不完成這件事的情況卻容易分類時，則只需要在完成這件事與否的方法總數中減去不完成這件事的方法總數即可，

【例2】以正方體的頂點為頂點，共可構成多少個四面體？

【分析及解】由于以正方體的頂點為頂點，共可構成C48個四邊形，其中共面的四邊形有（1）以正方體的表面四邊形有6個，（2）對角面有6個，因此，以正方體的頂點為頂點，共可構成C4-6-6=58個四面體。

乘：是分步計數原理在解題中的應用，完成一件事，需要分成連續ri個步驟，只有完成且只需要完成這n個步驟，事情才能完成，則完成這件事的方法總數是分步完成方法數的乘積。

【例3】2100有多少個正的約數？

【分析及解】由2100=22x3x52x7，第一步，考慮是否有約數2，有3種選擇：“不選”，“選1個”，“選2個”共3種不同的選法：第二步，考慮是否有約數3，有2種選擇：“不選”，“選1個”，共2種不同的選法；第三步，考慮是否有約數5，有3種選擇：“不選”，“選1個”，“選2個”共3種不同的選法：第四步，考慮是否有約數7，有3種選擇：“不選”，“選1個”，共2種不同的選法：所以，2100有3×2x3x2= 36個正約數。

除：除是針對有“對稱”關系而采用的一種解法.如果完成一件事中存在著一些特殊的元素，將這些元素相互對換后，并不影響完成這件事的方法總數，就稱這些特殊的元素具有“對稱”關系，把具有“對稱”關系的所有元素的全排列應看作同一種情形，這時候要用除法。

【例4】將n個不同的元素排成一列，其中a，在a2的左邊，a。在a的左邊，…，ak-1，在ak的左邊，（a1，a2，…，ak不一定相鄰），有多少種不同的排法？

【分析及解】這是一個定序問題，其中，a.，a2，…，ak的順序只有一種情形，因此，共有

種排法。

【例5】把6本不同的書平均分成三堆，有多少種不同的分法？

【分析及解】這是一個平均分組問題，由于各組內的元素個數相同，所以組內元素進行整體對換后，分組總數不受影響，即組與組是對稱的，因而，平均分組問題要用除法解決.有

種不同的分法。

捆：是對元素進行整體處理的形象化描述，在排列組合問題中，有時要求某些元素必須相鄰，可以把這些元素“捆”在一起，從而保證這些元素相鄰而不散亂。

【例6】把4封信投入三個信箱中的兩個信箱，有多少種不同的投法？

【分析及解】4封信的投法分為兩類：第一類是一個信箱3封，一個信箱1封，第二類是兩個信箱各2封，在第一類分法中，為了保證3封信在同一個信箱，需要把其中的3封信“捆”在一起，在第二類分法中，同樣需要把其中的每個2封信“捆”在一起。

（1）-個信箱3封，一個信箱1封時，有 種投法。

（2）兩個信箱各2封時，有

種投法。

由（1），（2）共有24+18= 42種投法。

插：是排列組合中保證某些特殊元素互不相鄰的常用手段，在解題時，先將其它元素排列，然后再將這些特殊元素插入在其它元素的間隙中。

【例7】馬路上有編號為1，2，3，…，10的十只路燈，為節約用電又不影響照明，可以把其中的3只路燈熄滅，但不能同時熄滅相鄰的兩只或三只路燈，問滿足條件的熄滅3只路燈的方法有多少種？

【分析及解】不能同時熄滅相鄰的兩只或三只路燈，實質上是熄滅的任意兩只路燈不能相鄰。

亮著的7只路燈是不加區別的，其排列的情況只有一種.這7只路燈之間有8個間隙，將3只熄滅的路燈插入間隙，共有c 種插法，所以，滿足條件的熄滅3只路燈的方法有lxC3= 56種。

隔：用與整數分解型的排列組合問題，其思路是先把整數分解成單位數1的和，然后把這個和式分隔成若干段，使每種分隔都只和完成這件事的一種方法相對應。

【例8】某學校從高中三個年級中選20人組成田徑隊，要求高一至少4人，高二至少5人，高三至少6人，共有幾種選法？

【分析及解】首先確定在高一選3人，高二選4人，高三選5人，共12人，還差8人，再在高中三個年級中選8人，每個年級至少選一人，相當于方程x，+X2+X3=8的正整數解的組數，即有c；=21種選法。

化：就是通過一一對應關系，用映射的方法尋求解題途徑。

【例9】若凸八邊形的對角線兩兩相交，且除頂點外，再無三線共點，試問這些交點有多少個在其內部？

【分析及解】以凸八邊形的頂點為頂點的四邊形的對角線的交點對應一個凸八邊形的對角線兩兩相交的內部的交點，而以凸八邊形的頂點為頂點的四邊形共有C =70個，即凸八邊形的對角線交點有70個在內部。