關于函數極值，最值的教法研究

羅歡

【摘要】本文主要根據高職院校學生的特點和數學基礎，對如何講授極值和最值這個問題在教學方法上進行了改進。傳統的教法是講授函數單調性，極值再講最值；現在，通過函數f（x）的圖像，將單調性，極值和最值三者合一進行教學，利用導數，切線斜率及增減函數的知識將函數定義域劃分區間，讓學生從抽象的定義、定理中解放出來，轉化為直觀形象來理解極值和最值。

【關鍵詞】導數 圖像 最值 極值

【中圖分類號】G420 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）14-0119-01

一、研究背景

經過實際的教學研究，發現高職學生學習的目的性不強，學習方法單一，學習情緒化較強，對感興趣的東西學習積極性高，而對于理論知識則學習效率就比較低。鑒于這些問題在組織教學過程中必須注意理論結合實際進行教學，增強教學的生動性和趣味性，激發學生學習的興趣。

二、函數極值、最值的研究

在生活中，許多實際問題都可歸結為函數的極值或最值問題，如數學建模，路費與經費，最優化問題，保險，價格策劃，航海，航空等眾多領域上都有很重要的應用[1]。

定義設函數y=f（x）在點x0的某一領域內有定義，當自變量x在x0處有增量△x時，函數f（x）相應的有增量△y= f（x0+△x）-f（x0），若兩個增量之比■，當△x→0時的極限■■=■■存在，則稱此極限為函數y=f（x）在x0處的導數。

在直角坐標系xoy中，設函數f（x）在區間[a，b]上連續可導，如圖1所示，任取xi∈[a，b]，過xi作函數f（x）的切線Ti，當 Ti平行于x軸時，則k=f '（xi）=0，我們把一階導數為零的點叫作駐點，即圖中x1，x2，x3，x4，x5都是函數f（x）的駐點。同時，可見函數f（x）在區間[a，x1]，[x2，x3]，[x4，x5]上有k=f '（x）>0，故函數f（x）是增加的。同理，函數f（x）在區間[x1，x2]，[x3，x4]，[x5，b]有k=f '（x）<0，故函數f（x）是增加的。

圖1

函數f（x）圖像在區間[a，b]上，以駐點為分界點把區間[a，b]分成了六個小區間[a，x1]，[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]，[x4，x5]，[x5，b]，在駐點X左邊的區間上任取該區間上的一點α，有f '（α）>0；右邊的區間上任取該區間上的一點β，有f '（β）<0時，則稱X為函數f（x）的極大值點（圖中呈凸狀），f（X）為函數的一個極大值。在駐點X左邊的區間上任取該區間上的一點α，有f '（α）<0；右邊的區間上任取該區間上的一點β，有f '（β）>0時，則稱X為f（x）函數的極小值點（圖中呈凹狀），f（X）為函數的一個極小值。

函數f（x）=■的極小值點在x=1處取得極小值，但是在x=1處函數的導數不存在。說明了導數不存在的點也可能是極值點。

可導函數的極值點一定是函數的駐點，但是，函數的駐點一定是極值點嗎？如圖2所示，函數f（x）過x1，x2，x3，x4點的切線的斜率ki=f '（xi）=0（i=1，2，3，4），即x1，x2，x3，x4是函數f（x）的駐點。在區間[x1，x2]上有f '（x）>0，區間[x2，x3]上有 f '（x）>0，則在點x2處不存在極值點。所以函數的駐點不一定是極值點。

我們可以利用極值的必要條件和第一充分條件或者用極值的第二充分條件來求解極值。

函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，由閉區間上連續函數的性質可知，f（x）在[a，b]上一定取得最大值和最小值。如果最大值和最小值在區間（a，b）內取得，那么這個最大值和最小值一定是極大值和極小值。又由于函數f（x）的最大值和最小值可能在區間的端點處取得，因此，求函數f（x）在區間[a，b]上的最大值最小值時應計算出端點處的函數值，并把這些值加以比較，其中最大的為函數的最大值，最小的為函數的最小值[2]。

三、總結

在實際教學中，通過“文字與圖像”結合的方式來組織教學，較好的完成教學任務，使學生懂得了研究極值和最值知識是應用數學重要的理論基礎之一，是生活生產中的必需品。通過對函數極值、最值的求解，反過來，事實告訴我們，只有掌握了函數極值和最值的理論知識，才能更好地運用到實際生活中，使我們的生活變得快捷、有效、省事、省力。

參考文獻：

[1]萬金寶.工程應用數學[M].北京：機械工業出版社，2009.140-147.

[2]李庶民.微積分基礎教程[M].北京：高等教育出版社，2016.121-130.