數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

摘 要 本文主要介紹怎樣應(yīng)用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題。

關(guān)鍵詞 數(shù)形結(jié)合 數(shù)形結(jié)合思想 以形助數(shù) 以數(shù)解形

數(shù)形結(jié)合思想，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面。

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、形象化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)解題思路，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程。

實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，通常有以下途徑：（1）實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（2）有序數(shù)組與坐標(biāo)平面（空間）上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（3）函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（4）曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（5）以幾何元素和幾何條件為背景建立起來(lái)的概念，如向量、復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；（6）所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，加強(qiáng)了知識(shí)的橫向聯(lián)系和綜合應(yīng)用，對(duì)于溝通代數(shù)與幾何的聯(lián)系，具有指導(dǎo)意義.縱觀多年來(lái)的高考試題，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可起到事半功倍的效果.數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”，這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，做到心中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野。

以下我具體介紹數(shù)形結(jié)合思想方法在解題中的應(yīng)用。

1在方程、函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

方程f（x） –g（x） = 0的解情況，可化為f（x）=g（x） 的解情況，也可看作函數(shù)y = f（x） 與y = g（x） 圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的情況，所以只要我們準(zhǔn)確地畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖像，再根據(jù)圖像就能很容易地看出它們有幾個(gè)交點(diǎn)，及交點(diǎn)大致的位置或坐標(biāo)。

例1【2017江蘇】設(shè)f（x）是定義在R且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間[0，1）上，

其中集合，

則方程f（x）lgx=0的解的個(gè)數(shù)是 .

【分析】畫出函數(shù)草圖，圖中交點(diǎn)除（1，0）外其他交點(diǎn)橫坐標(biāo)均為無(wú)理數(shù)，屬于每個(gè)周期部分，且x=1處

，則在x=1附近僅有一個(gè)交點(diǎn)，因此方程的個(gè)數(shù)為8個(gè)。

【總結(jié)】對(duì)于方程解的個(gè)數(shù)（或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)）問(wèn)題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍.從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對(duì)稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等.

2在最值問(wèn)題中的應(yīng)用

最值問(wèn)題，一般就是求某個(gè)代數(shù)式或函數(shù)的最大值或最小值了，當(dāng)然有些題目是可以借助于重要不等式等知識(shí)直接解決的，但有些題目用這些方法都比較復(fù)雜，而且計(jì)算量很大。這時(shí)我們就要換一種方法來(lái)考慮問(wèn)題了，不要思維定勢(shì)。我們可以考慮一下這些代數(shù)式的幾何意義了，再結(jié)合代數(shù)式中所隱含的幾何圖形，應(yīng)用幾何知識(shí)來(lái)求其最大值或最小值。代數(shù)式的幾何意義有很多，在這我主要地介紹以下幾種：一是表示直線斜率的——轉(zhuǎn)化為求直線斜率的問(wèn)題；二是表示兩點(diǎn)間的距離——轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)距離的問(wèn)題；三是表示直線的縱截距——轉(zhuǎn)化為求直線的截距問(wèn)題；四是表示圓錐曲線的——轉(zhuǎn)化為利用圓錐曲線的定義來(lái)求的問(wèn)題。

2.1用直線斜率公式求最值

例2.求函數(shù)y=的最值。

【分析】函數(shù)解析式可看作過(guò)點(diǎn)A（2，3）與B（cos%a，sin%a）的直線的斜率，動(dòng)點(diǎn)B的軌跡是圓x2+y2=1。如圖，容易地看出，當(dāng)且僅當(dāng)過(guò)A點(diǎn)的直線與該圓相切時(shí)，直線AB的斜率才會(huì)取得最大值和最小值。設(shè)直線AB的方程為y3=k（x2），則由直線AB與圓x2+y2=1相切可知：=1解之得k=2彼詙max=2+和ymin=2

【總結(jié)】在考慮形如y=或y=的這一類代數(shù)式，我們可以結(jié)合它們的幾何圖形（如圖）圓與直線有交點(diǎn)的模型，用幾何的方法來(lái)求最值，它們的最值，就是當(dāng)直線與圓相切時(shí)直線的斜率。

2.2轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)距離問(wèn)題

例3.設(shè)P（x，y）是圓（x-2）2+y2=1上的任意一點(diǎn)，則（x-5）2+（y+4）2的最大值為（ ）

A.6 B.25 C.26 D.36

【分析】（x-5）2+（y+4）2表示點(diǎn)（5，-4）與圓上的點(diǎn)的距離的平方，故用數(shù)形結(jié)合法求解

因?yàn)閳A（x-2）2+y2=1的圓心坐標(biāo)為（2，0），該圓心到點(diǎn)（5，-4）的距離為=5，所以圓（x-2）2+y2=1上的點(diǎn)到（5，-4）距離的最大值為6，即（x-5）2+（y+4）2的最大值為36。

【總結(jié)】 （x，y）為圓上任意一點(diǎn)，求形如t=（x-a）2+（y-b）2的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題，即把（x-a）2+（y-b）2看作是點(diǎn)（a，b）到圓上的點(diǎn)（x，y）的距離的平方，利用數(shù)形結(jié)合法求解。

2.3轉(zhuǎn)化為直線的縱截距問(wèn)題

例4.若x2+（y-1）2=1，則3x+4y的最大值是________，最小值是________。

【分析】設(shè)3x+4y=t，則當(dāng)直線與圓相切時(shí)取得最值，即，=1，即|t-4|=5，解得t=9或t=-1，所以3x+4y的最大值為9，最小值為-1。

【總結(jié)】已知（x，y）滿足的平面區(qū)域，求z=ax+by的最值問(wèn)題時(shí)，因?yàn)樵撌娇苫癁閥=x+z，且b是常數(shù)，所以求z的最值就是求z也就是直線在y軸上的縱截距的最值。因?yàn)橐阎▁，y）滿足的平面區(qū)域，區(qū)域是有范圍的，所以我們只要對(duì)直線做平移，移到區(qū)域的邊界即相切時(shí)，就可以求出其縱截距的最值。其實(shí)，這種問(wèn)題就是一個(gè)線性規(guī)劃最優(yōu)化問(wèn)題，它的解法就是線性規(guī)劃最優(yōu)化問(wèn)題的解決方法之一。

2.4用圓錐曲線的定義來(lái)求最值

例5.設(shè)P是拋物線y2=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，若B（3，2），則|PB|+|PF|的最小值為________。

【分析】將|PF|轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離，然后利用三點(diǎn)共線時(shí)距離最短求解.

如圖，過(guò)點(diǎn)B作BQ垂直拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)P1，則|P1Q|=|P1F|。

再結(jié)合題意，則有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4，即|PB|+|PF|的最小值為4。

【總結(jié)】根據(jù)拋物線的定義，將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，再根據(jù)三角形中兩邊之和大于第三邊得出不等式，這是解決此類問(wèn)題的一般方法。

作者簡(jiǎn)介：黃文根（1974-），男，漢族，江西永豐縣人，學(xué)士，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)。

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