連續函數的單調性與一一對應性等價

（安徽工程大學數理學院，安徽蕪湖 241000）

0 引言

函數的單調性與一一對應性是我們非常熟悉的概念，中學數學中就開始涉及。為行文方便，現將其定義敘述如下：

而本文要指出的是，對于單個區間上的連續函數而言，一一對應和嚴格單調這兩個概念是等價的。

在現行的大多數數學分析與高等數學教材中，關于反函數的連續性定理以及反函數的導數定理，定理條件中均要求函數是嚴格單調的，定理的完整敘述如下。

定理1.3：反函數的連續性：若函數f(x)在區間I上嚴格單增（減）且連續，則它的反函數x=f(f)也在相應的區間I={y：y=f(x)，x∈I}上嚴格單增（減）且連續。

首先我們要注意到，一方面，這兩個定理主要是為了證明初等函數的連續性以及對初等函數求導，就這個目的而言，嚴格單調的要求并不高；另一方面，假設函數是嚴格單調的，會讓證明過程簡潔得多。正是出于這兩個考慮，所以現行教材上大多采用這個版本。但是就理論的嚴謹性而言，我們也要知道，嚴格單調這個條件是多余的。下文我們將證明定義在單個區間上的連續函數只要有反函數，則必定是嚴格單調的。

1 連續函數的單調性與一一對應性

本節中，我們指出，對于單個區間上的連續函數，其嚴格單調性與一一對應性是等價的。事實上，若嚴格單調必定一一對應，這是顯然的，我們只需證明另一面即可。對此我們分三步，以三個命題的形式給出證明。

證 明：不 妨 假 設f(a)＜f(b)。反 證 法。如 果f(x)＜f(a)，則有f(x)＜f(a)＜f(b)，由連續函數的介值定理，存在E∈(x，b)，使得f(E)=f(a)，與一一對應矛盾；類似地，如果f(x)＞f(b)，則有f(a)＜f(b)＜f(x)，從而存在E∈(a，x)，使得f(E)=f(b)，與一一對應矛盾。因此，f(a)＜f(x)＜f(b)。證畢。

命題1.2：設y=f(x)是定義在閉區間[a，b]上的一一對應的連續函數，則f(x)嚴格單調。

證明：不妨假設f(a)＜f(b)，下證f(x)嚴格單增。（若f(a)＞f(b)，完全類似地可以證明f(x)嚴格單減。）

命題1.3：設y=f(x)是定義在區間I上的一一對應的連續函數，則f(x)嚴格單調。

證明：區間I上任取兩點a＜b，

若f(a)＜f(b)，下證f(x)在I上嚴格單增。

令m=min{a，b，u，v}，M=max{a，b，u，v}，由 命題2.2可知，f(x)在[m，M]上嚴格單調。又已知a＜b，f(a)＜f(b)，因此f(x)在[m，M]上嚴格單增，故f(u)＜f(v)。

若f(a)＞f(b)，類似可證f(x)在I上嚴格單減。

綜上，f(x)在I上嚴格單調。證畢。

2 反函數的連續性與反函數的導數

在命題1.3的基礎上，我們現在可以對反函數連續定理以及反函數導數定理稍作改進，得到下述命題。

命題2.1：定義在單個區間上的連續函數若存在反函數，則其反函數也連續。

最后，值得指出的是本文涉及到的命題中的條件“單個區間”和“一一對應”不可缺少。