連續性方程應用存在問題的研究

羅 若

（柳州鐵道職業技術學院，廣西 柳州 545007）

連續性方程是研究流體流經不同截面的通道時流速與通道截面積大小的關系，描述流體流速與截面關系的定理。說明了在同一流管內流體的流速和流經的截面積成反比，即截面積大的地方流速小，截面積小的地方流速大。連續性方程是流體運動學的基本方程，和液體靜力學的帕斯卡原理是研究液壓元件和液壓基本回路工作原理的基礎理論。

雙作用單活塞桿液壓缸（以下簡稱單桿缸）是液壓傳動中應用較廣泛的執行元件，分別從無桿腔進油和有桿腔進油可實現往復運動。因無桿腔和有桿腔有效作用面積不同，所以往復運動的速度不一樣，這樣就免去減速裝置且運動平穩，無傳動間隙。這就是連續性方程在實踐中的應用，但筆者在做單桿缸進油實驗時，卻得出了相反的結論。

1 物理模型

靜壓力方程：

連續性方程：

通過同心縫隙的流量：

式（1）中：p為液體的壓力（Pa）；F 為液體表面的作用力（負載）（N）；A 為作用面積（m2）；式（2）中：q為液體的流量（m3/s）；v為液體的平均流速 (m/s)；A為通流截面面積；式（3）中：q為縫隙的泄漏量（m3）；d為活塞的直徑（m）；h為縫隙的寬度（m）；μ 為油液的動力粘度（Pa·s）；l為活塞的長度（m）；△p為活塞兩側壓力差（Pa）。

式（3）中的“±”確定：缸體相對于活塞的運動方向與壓力差方向相同時取正值，相反時取負值。

2 實驗條件

實驗原理圖如圖1所示：當換向閥在左位時是無桿腔進油連接，在右位時是有桿腔進油連接。實驗所使用的是湖南宇航科技有限公司生產的YCS-A型P蘊C控制的液壓傳動演示實驗臺，實驗臺的技術參數如下：

液壓元件最大承受壓力為1MPa，系統額定工作壓力為0.8MPa，液壓缸缸徑28mm，活塞桿的直徑16mm。

圖1 實驗原理圖

3 實驗結果

啟動實驗臺，實驗開始前先排完連接管和液壓缸內的空氣，并讓活塞處于液壓缸中間。分別給1YA、2YA通電，活塞分別向右、向左運動。以液壓缸的行程為實驗距離，分別測量活塞向左、向右運動的時間，實驗數據記錄如表1所示。

表1 單活塞桿液壓缸進油實驗記錄

液壓缸活塞運動到終點時，壓力表的壓力約為0.23～0.25MPa。

根據實驗數據可以得出結論：

（1）無桿腔進油時活塞移動所需的壓力小于有桿腔時進油所需的壓力，即 p1＜p2。

（2）無桿腔進油時活塞移動的速度v1大于有桿腔進油時活塞移動的速度 v2，即 v1＞v2。

4 實驗現象剖析

從實驗數據得出的結論可以發現兩個問題：

（1）液壓缸左右運動時都是空載運動，根據帕斯卡原理，活塞啟動后在運動過程中是不需要壓力的。但實驗中不僅需要壓力且左右運動所需壓力不一樣。

（2）根據連續性方程式（2），供油量q相同（定量泵供油），液壓缸無桿腔的面積A1大于有桿腔的面積A2，無桿腔進油時活塞移動的速度v1大于有桿腔進油時活塞移動的速度v2，即 v1＜v2。但實驗結果是 v1＞v2。

在實驗過程中，仔細檢查了實驗臺周圍及元件、接管的連接處，均無漏油現象。液壓缸活塞運動時所需的壓力均小于系統溢流閥調定的壓力，說明活塞運動時無溢流損失。不考慮回路和元件的功耗損失，實驗中液壓缸的進油壓力和進油量分別等于泵的輸出壓力和排量，其中泵的排量是定值。

那么為什么會產生與連續性方程相悖的現象，經分析，主要原因有二：①摩擦的影響。單桿缸在運動過程中，液壓缸雖然無外負載，但活塞與腔壁是存在摩擦的，要推動活塞運動，所需的推力F要不小于活塞與液壓缸腔壁之間的摩擦力Ff，即F≥Ff。根據式（1），推力F靠缸內的液體壓力p產生。由于活塞向左向右運動的摩擦力Ff是一樣的，所以作用面積大，所需的壓力就越小。無桿腔的作用面積A1大于有桿腔的作用面積A2，所以無桿腔進油所需的壓力小于有桿腔進油所需的壓力，即p1＜p2；于泄漏的影響。液壓系統的泄漏可分為外泄漏和內泄漏。在實驗中，由于無漏油現象，溢流閥也是關閉的，因此可以忽略外泄漏的影響。但液壓缸活塞與缸體是相互運動，之間存在著間隙，所以無桿腔和有桿腔之間存在有內泄漏。

活塞與缸體之間的間隙可以看做是同心縫隙，因單桿缸活塞的運動方向與壓力差方向相同，那么缸體相對于活塞的運動方向與壓力差方向相反，式（3）中的“±”取負值。

無桿腔進油時，將實驗結果p1、v1代入式（3），可算得無桿腔泄漏到有桿腔的油量為△q1：

有桿腔進油時，將實驗結果p2、v2代入式（3），可算得有桿腔泄漏到無桿腔的油量為△q2：

比較△q1和△q2，△p1=p1＜△p2=p2，v1＞v2，其它要素相同，所以△q1＜和△q2。即無桿腔進油時的內泄漏量小于有桿腔進油時的內泄漏量。

無桿腔進油時，參與推動活塞運動的實際流量q1=q-△q1；有桿腔進油時，參與推動活塞運動的實際流量q2=q-△q2，q1＞q2。因此得出結論：由于內泄漏的影響，無桿腔進油時參與作功的實際流量q1大于有桿腔進油時參與作功的實際流量q2，此時流量是影響流速的主要因素，所以活塞移動的速度v1＞v2。這個結論也是符合連續性方程的。

5 結語

經典流體力學中所有的方程都有一個默認的前提，那就是連續性的假設。嘗試用經典流體力學方程解讀微觀機理的行為是不可行的，但可以從微觀出發，解讀宏觀現象，然而還是不能在經典力學里尋求答案。因此在實踐應用中，要綜合考慮客觀因素的影響，才能對客觀現象做出合理中肯的解釋。

［1］ 白柳，于軍.液壓與氣壓傳動［M］.北京：機械工業出版社，2017.