一種BDS單歷元整周模糊度固定的解算方法

李 博，徐愛功，祝會忠，高 猛，龔宵雪

(遼寧工程技術大學 測繪與地理科學學院，遼寧 阜新 123000)

0 引言

北斗衛星導航系統(BeiDou navigation satellite system，BDS)是全球四大衛星導航系統之一；隨著BDS的建設和不斷完善，BDS在高精度定位中扮演著重要的角色。載波相位整周模糊度準確固定是高精度BDS動態定位的核心問題[1-2]，而準確固定整周模糊度一般需要多個歷元的觀測數據，并且需要對載波相位觀測數據進行周跳探測，當衛星信號失鎖時重新求解整周模糊度會使數據處理過程變得十分復雜[3-4]。采用單歷元觀測數據確定整周模糊度則不需要考慮周跳問題，也不用擔心衛星信號失鎖時重新求解整周模糊度的問題，可以縮短確定模糊度的時間、提高解算效率。對于單歷元整周模糊度的解算方法，已有許多學者進行了研究：文獻[5]提出附有基線約束的LAMBDA方法，對LAMBDA算法用2步搜索方法進行優化，使得固定單頻單歷元的整周模糊度成功率較高；文獻[6]提出一種組合的模糊度搜索方法，運用到有LAMBDA算法輔助的基線上，確保單歷元算法的精度和成功率，并指出準確的先驗約束信息是上述單歷元模糊度解算的關鍵因素，而常規的基線解算過程通常是無法獲取或不存在這些先驗信息的；文獻[4]采用2種不同線性組合的擴波方法來縮小模糊度的搜索空間，并對其進行逆變換，進而用模糊度函數法來搜索真值，獲得了較好的結果；文獻[7]提出一種利用多頻觀測值、基于有幾何模型的逐級模糊度固定方法，通過依次固定超寬巷、寬巷、窄巷模糊度來實現模糊度的快速固定；文獻[3]對寬巷模糊度進行主、從模糊度的區別來解算單歷元模糊度；文獻[8]提出對單頻單歷元模糊度求解時進行隨機模型精化，并得到有益結論。利用載波相位觀測值進行BDS短基線單歷元最小二乘解算時，法方程是秩虧的，而利用測碼偽距觀測值和雙頻載波相位觀測值組成雙差觀測方程時，偽距觀測值的低精度使得模糊度浮點解精度不高，造成模糊度組合有過大的搜索空間，從而不能得到準確的整周模糊度。

本文利用正則化方法消除法方程的秩虧問題，以獲得較高精度的寬巷浮點模糊度；同時應用均方誤差矩陣代替協方差陣確定模糊度的搜索范圍，以提高搜索效率；并將確定后的寬巷整周模糊度代入由寬巷和載波相位雙差觀測值組成的聯合觀測方程中，改進所有參數，然后采用LAMBDA算法便可直接固定B1/B2整周模糊度。

1 BDS單歷元整周模糊度解算的基本原理

1.1 BDS單歷元整周模糊度解算的數學模型

在短基線數據處理時，雙差可以消除衛星鐘差、接收機鐘差，并削弱衛星軌道誤差、電離層延遲和對流層延遲等誤差[9]；因此本文對BDS單歷元整周模糊度解算過程進行雙差處理。

設2臺接收機在某歷元可同步觀測k+1顆衛星，組成k個相位雙差觀測方程，其線性化后[10]為

(1)

式(1)可簡寫成

(2)

根據最小二乘原則，由式(2)組成法方程，得到最小二乘法(least square method，LS)解

(3)

(4)

1.2 雙差整周模糊度單歷元解算

由于B1、B2載波相位寬巷觀測值的波長達84.7 cm，因而很容易固定其整周模糊度[11]；所以在基線解算時，先固定寬巷的整周模糊度，其線性化后的寬巷雙差觀測方程簡寫為

(5)

式中：Aw為寬巷的系數矩陣；Bw為寬巷的模糊度系數矩陣；Nw為k個寬巷的雙差整周模糊度；Lw為寬巷的雙差觀測值與計算值之差；Vw為寬巷觀測值的真誤差。

寬巷模糊度準確固定之后，將寬巷雙差觀測值和載波相位雙差觀測值組成新的聯合觀測方程為

(6)

式中：A1為B1載波的系數矩陣；Β1為B1載波的模糊度系數矩陣；N1為k個B1載波的雙差整周模糊度；L1為B1載波的雙差觀測值與計算值之差；λw為寬巷的波長；V1為B1載波的觀測值真誤差。新的聯合觀測方程由于確定的寬巷模糊度轉化成了精度較高的距離值[12]，得到了精度較高的浮點解和狀態明顯改善的協方差矩陣，從而采用LAMBDA算法可直接固定B1載波的整周模糊度。B2載波的雙差整周模糊度N2與N1、Nw有如下的線性關系：N2=N1-Nw，即B1載波的整周模糊度固定之后，B2載波的整周模糊度也隨即固定。本文只求解B1載波的整周模糊度。

所以在基線解算時，準確固定寬巷的模糊度非常重要。由于式(5)的未知數個數大于觀測方程個數，因此該方程為秩虧方程，且秩虧數為3。法矩陣的非滿秩將導致最小二乘解不唯一；要想得到唯一解，須附加約束條件。

2 基于正則化的載波相位解算模型

本文運用正則化解決法方程秩虧問題。根據Tikhonov正則化原理，求解式(2)采用的估計準則[10]為

(7)

式中：α為平滑因子或正則化參數；R為正則化矩陣；Ω(Y)為穩定泛函；‖?‖表示歐氏2-范數。正則化準則對穩定泛函Ω(Y)極小作了約束，因此有利于解算法矩陣的秩虧問題。

2.1 構造正則化矩陣R

將式(2)中的觀測值L的權矩陣P單位化，得到

(8)

(9)

將Q、D矩陣進行分塊法處理，得

(10)

(11)

式中：Q11、Q12、Q21、Q22為矩陣Q的子塊；D1、D2為奇異值矩陣D的子塊。

令

(12)

構造正則化矩陣

(13)

2.2 確定正則化參數α

構造矩陣R后，運用L曲線法進行大量的計算，結果表明當參數α=1時效果最好[10]。則式(7)變為

(14)

結合式(2)由估計準則式(14)求導組成的法方程為

(15)

解算該法方程，得

(16)

式中R為k×k階奇異矩陣，其左上角3×3子矩陣為滿秩矩陣，其余元素為0。與式(3)中的法方程系數陣N0相比，式(15)系數陣中增加了正則化矩陣R，就相當于增加了3個約束條件，使得法矩陣為滿秩矩陣，采用最小二乘法得到唯一解。

相應的均方誤差矩陣RMSEM近似取為

(17)

3 實驗及結果分析

為了驗證該方法，對BDS雙頻接收機采集的長度為5.8 km的基線進行靜態單歷元基線解算。選取28 min的觀測數據，采樣間隔為1 s，衛星截止高度角設為15o。本文所涉及的模糊度固定值以多歷元基線解算求得的模糊度固定值為真實值。

Ratio值可作為模糊度得到固定解的置信度指標，Ratio值定義為次最小單位權方差與最小單位權方差之比[9]。本文取Ratio值的閾值為3，當Ratio值大于閾值時，認為模糊度固定正確。以下給出了固定寬巷整周模糊度的Ratio值，如圖1所示。

圖1 寬巷整周模糊度的Ratio值

由圖中可知，寬巷整周模糊度的Ratio值大部分穩定在100左右，少部分主要可能受對流層濕延遲的殘余誤差影響較小而達到300至500，其最小值為47，遠大于閾值3；所以本文提出的方法所固定的寬巷整周模糊度是可靠的。

為了更明顯地顯示正則化后固定寬巷整周模糊度的效果，以第1個歷元為例，將正則化前后2種方案求得的寬巷模糊度浮點解和固定解進行比較，如表1所示。

表1 2種方案下的寬巷模糊度浮點解和固定解

從表中可以看出：由于正則化前法方程的病態，最小二乘的浮點解嚴重偏離真值，無法搜索出整周模糊度；而正則化后寬巷模糊度的浮點解與真實值的偏差在0.5個周期左右，可快速且容易固定其整周模糊度，成功率達到100 %。

將固定后寬巷整周模糊度代入式(6)，其已轉化成精度較高的距離值，使新的聯合觀測方程得到精度較高的浮點解和狀態明顯改善的協方差矩陣，采用LAMBDA算法可直接固定B1載波的整周模糊度。仍以第1個歷元為例，B1頻率模糊度的浮點解和固定解如表2所示。

表2 B1頻率模糊度的浮點解和固定解

由表可知，當寬巷模糊度正確固定之后，B1頻率的模糊度就可快速準確地固定，成功率達到100 %。如圖2所示，可得B1頻率模糊度在東(E)、北(N)、天頂(U)3個方向上解算的坐標精度。

由圖中可知，E方向和N方向的坐標偏差值變化范圍在1.5 cm之內，U方向的坐標偏差值在5.5 cm以內；再次證明了本文算法固定模糊度的準確性。

圖2 L1頻率模糊度解算的坐標偏差

均方根誤差(root mean square error,RMSE)是外部符合精度的指標，主要反映了觀測值與參考值的偏差程度[13]；所以為了便于定量分析，對正則化方法在E、N、U方向上得到的偏差進行概率統計，求出其RMS值，如表3所示。

表3 基線解算在E、N、U方向上的RMS值 cm

由表中可以看出：E、N方向的RMSE值分別為4.2和2.9 mm；U方向較E、N方向的精度相對較差，但其精度也在厘米級范圍內，為5.08 cm。

4 結束語

本文針對BDS短基線單歷元解算過程中法方程嚴重病態的問題，利用正則化方法對法方程進行改進，獲得了較高精度的寬巷浮點模糊度；寬巷整周模糊度確定之后，利用寬巷雙差觀測值和載波相位雙差觀測值組成新的聯合觀測方程；而由于寬巷整周模糊度轉化成了精度較高的距離值，使新的聯合觀測方程得到了精度較高的浮點解和狀態明顯改善的協方差矩陣；再采用LAMBDA算法可直接固定B1載波的整周模糊度。本文提出的方法解決了解算短基線單歷元時法方程的嚴重病態問題，在得到了較準確的模糊度浮點解的同時，應用均方誤差矩陣代替協方差陣確定模糊度的搜索范圍，提高了搜索效率，使單歷元模糊度固定成功率可以達到100 %。

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