對(duì)2107年全國(guó)卷Ⅱ第18題的分析與思考

許 文

(武漢華中科技大學(xué)附屬中學(xué) 430074)

帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題，是高考中高頻考點(diǎn)之一，在近幾年高考的全國(guó)卷與各地方卷中都得到一定程度的體現(xiàn)，且問(wèn)題的考查方式與角度非常靈活.2017年高考全國(guó)卷Ⅱ第18題，是一道由陳題改編的物理試題.該題以帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)為背景，考查臨界狀態(tài)的分析與臨界條件的尋找.一部分考生因不會(huì)尋找這類問(wèn)題的臨界狀態(tài)，導(dǎo)致對(duì)該類問(wèn)題的分析與求解思路受阻.本文分析此題，總結(jié)尋找?guī)щ娏Ｗ釉谟薪绱艌?chǎng)中運(yùn)動(dòng)臨界狀態(tài)的方法.

一、試題分析

試題(2017全國(guó)卷Ⅱ18)如圖1所示，虛線所示的圓形區(qū)域內(nèi)存在一垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，P為磁場(chǎng)邊界上的一點(diǎn)，大量相同的帶電粒子以相同的速率經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，在紙面內(nèi)沿不同的方向射入磁場(chǎng)，若粒子射入的速度為v1，這些粒子在磁場(chǎng)邊界的出射點(diǎn)分布在六分之一圓周上；若粒子射入速度為v2，相應(yīng)的出射點(diǎn)分布在三分之一圓周上，不計(jì)重力及帶電粒子之間的相互作用，則v2∶v1為( ).

立意本題考查帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng).意在考查對(duì)臨界狀態(tài)的分析與臨界條件的尋找能力.

答案:C

評(píng)析這道帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的試題，讓考生感到既熟悉又陌生.熟悉的是問(wèn)題類型，陌生的是臨界狀態(tài).由于大量粒子均從場(chǎng)區(qū)圓邊界上同一點(diǎn)入射磁場(chǎng)，速度方向不同的粒子其運(yùn)動(dòng)的軌跡不同.如果對(duì)粒子出射磁場(chǎng)時(shí)與入射點(diǎn)有最大距離時(shí)的臨界狀態(tài)找不出，當(dāng)然就得不出到粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圓的半徑與這個(gè)最大距離及場(chǎng)區(qū)圓半徑之間的隱含關(guān)系，問(wèn)題求解就會(huì)受阻.以上的分析求解，巧妙地將粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圓繞入射點(diǎn)沿軌跡圓平面進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，就不難發(fā)現(xiàn)粒子出射磁場(chǎng)時(shí)與入射點(diǎn)的最大距離即為軌跡圓的直徑，再利用幾何知識(shí)找出軌跡圓的半徑與場(chǎng)區(qū)圓半徑之間的關(guān)系，問(wèn)題就能順利地求解.

追源本試題可能由以下兩道陳題改編而成的.

感悟以上兩道陳題和試題本質(zhì)上相同，不同的是考查問(wèn)題的角度不一樣.陳1是所有粒子的速率一定，當(dāng)磁場(chǎng)的感應(yīng)強(qiáng)度變化時(shí)，粒子從場(chǎng)區(qū)圓邊界射出的最遠(yuǎn)點(diǎn)位置將發(fā)生改變，由兩種情況下粒子從場(chǎng)區(qū)圓邊界射出的范圍求磁感應(yīng)強(qiáng)度之比；陳題2是在已知磁感應(yīng)強(qiáng)度與粒子從場(chǎng)區(qū)圓邊界射出點(diǎn)的位置分布的條件下，求粒子的入射速度大小；還要分析在改變磁感應(yīng)強(qiáng)度后，粒子射出點(diǎn)的位置變化；改編后的試題是在磁場(chǎng)一定時(shí)，改變粒子的速率，粒子從場(chǎng)區(qū)圓邊界射出的位置范圍發(fā)生改變，根據(jù)改變的位置范圍求粒子速率之比.可以看出，試題的分析與求解方法與兩陳題的分析與求解方法完全相同.當(dāng)今高考試題的命制并不回避陳題，對(duì)教材、復(fù)習(xí)資料和往年高考試題中的陳題進(jìn)行某些變化，以求推陳出新，這是新高考試題命題的一個(gè)重要來(lái)源.因此，我們的物理學(xué)習(xí)與備考應(yīng)回歸到理性，在學(xué)習(xí)過(guò)程中固化最基本、最有效的物理思想和物理方法，注重培養(yǎng)能力，這是提高物理學(xué)習(xí)和備考的有效途徑.

二、方法總結(jié)

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)是在一定的空間中進(jìn)行的.往往由于磁場(chǎng)存在的空間有限，即磁場(chǎng)存在一定的邊界，帶電粒子在這有限的磁場(chǎng)空間可能會(huì)做一部分圓弧運(yùn)動(dòng)之后離開(kāi)磁場(chǎng)區(qū)域.如果粒子在磁場(chǎng)邊界進(jìn)入位置不同、進(jìn)入時(shí)速度的大小與方向不同，或者磁場(chǎng)區(qū)域邊界條件的不同，將會(huì)導(dǎo)致粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界狀態(tài)可能不同.尋找?guī)щ娏Ｗ釉谟薪绱艌?chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界狀態(tài)，是這類問(wèn)題分析求解的關(guān)鍵.我們可以通過(guò)以下方法尋找這類問(wèn)題的臨界狀態(tài).

1．旋轉(zhuǎn)

如果帶電粒子射入磁場(chǎng)中的入射點(diǎn)的位置不變，粒子的速度的大小也不變但方向是改變的，則粒子在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑相同，但軌跡圓的圓心位置隨粒子入射速度方向的變化而變化.這種情況下我們可以將軌跡圓以粒子入射點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸在軌跡圓平面內(nèi)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，當(dāng)軌跡圓轉(zhuǎn)到與磁場(chǎng)的邊界相切或與某個(gè)特征位置相交時(shí)(如以上試題與兩陳題的粒子軌跡圓的直徑的另一端落在場(chǎng)區(qū)圓的邊界上)即可得到臨界狀態(tài).

2．平移

如果帶電粒子從磁場(chǎng)邊界射入磁場(chǎng)時(shí)速度大小及方向均不變，但入射點(diǎn)的位置是變化的，則粒子在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓大小相同，但圓心隨入射點(diǎn)的位置變化而變化.這種情況下我們可以將軌跡圓按其圓心所在的軌跡進(jìn)行平移，當(dāng)軌跡圓平移到與磁場(chǎng)的邊界相切或與某個(gè)特征位置相交時(shí)即可得到臨界狀態(tài).

3．縮放

如果帶電粒子射入磁場(chǎng)中的入射點(diǎn)的位置不變，粒子的速度的方向也不變但大小是變化的，則粒子在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓心位置應(yīng)在一條與入射速度方向垂直的直線上，但軌跡圓的半徑隨粒子入射速度大小的變化而變化.這種情況下我們可以讓軌跡圓始終經(jīng)過(guò)入射點(diǎn)，沿軌跡圓沿圓心所在的直線將軌跡圓的大小進(jìn)行縮放，當(dāng)軌跡圓縮放到與磁場(chǎng)的邊界相切或與某個(gè)特征位置相交時(shí)即可得到臨界狀態(tài).

總之，通過(guò)旋轉(zhuǎn)、平移、縮放，臨界狀態(tài)就會(huì)曝光.尋找到了臨界狀態(tài)后，再往往通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)與幾何關(guān)系找出其臨界條件.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)[M]. 北京:人民教育出版社,2015.