帶電粒子在三種場(chǎng)重疊區(qū)域的運(yùn)動(dòng)

張大洪

(重慶市潼南第二中學(xué) 402660)

帶電粒子在重力場(chǎng)、勻強(qiáng)電場(chǎng)、勻強(qiáng)磁場(chǎng)共存的重疊場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于重力場(chǎng)、勻強(qiáng)電場(chǎng)對(duì)帶電粒子的作用力均為恒力，勻強(qiáng)磁場(chǎng)對(duì)帶電粒子的洛侖茲力f=qvB⊥與粒子速度v成正比，故隨粒子速度v的大小、方向的變化其受到的合力大小、方向均可能發(fā)生相應(yīng)變化，因而粒子的運(yùn)動(dòng)情況也會(huì)隨之改變，這將使問題的處理與解答變得更為困難；本文從實(shí)例的處理入手加以總結(jié)，歸納分析處理此類問題的思路與方法.

一、帶電粒子在三種場(chǎng)重疊區(qū)域中作無約束的直線運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)問題的分析

例1 如圖1示在一豎直平面內(nèi)，y軸左方有一水平向右的場(chǎng)強(qiáng)為E1的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直于紙面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B1的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，y軸右方有一豎直向上的場(chǎng)強(qiáng)為E2的勻強(qiáng)電場(chǎng)和另一磁感應(yīng)強(qiáng)度為B2(大小、方向均未知)的勻強(qiáng)磁場(chǎng).有一帶電荷量為+q、質(zhì)量為m的微粒，從x軸上的A點(diǎn)以初速度v與水平方向成θ角沿直線運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸上的P點(diǎn)，A點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為d.微粒進(jìn)入y軸右側(cè)后在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，然后以與P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度相反的方向打到半徑為r的四分之一絕緣光滑圓管內(nèi)壁的M點(diǎn)(假設(shè)微粒與M點(diǎn)碰后不反彈、電荷量不變，圓管內(nèi)徑的大小可忽略，電場(chǎng)和磁場(chǎng)不受影響地穿透圓管)，并沿管內(nèi)壁下滑至N點(diǎn)，設(shè)m、q、v、d、r已知，θ=37°，sin370=0.6、cos370=0.8，求：

(1)電場(chǎng)強(qiáng)度E1與E2的大小之比？

(2)y軸右側(cè)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B2的大小、方向？

(3)微粒從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)所用的時(shí)間？

解析(1)微粒沿AP直線運(yùn)動(dòng)中其受力右圖1-1示，由于洛侖茲力大小隨粒子運(yùn)動(dòng)速度的變化將發(fā)生相應(yīng)變化而重力、電場(chǎng)力為恒力，故合力將隨粒子運(yùn)動(dòng)速度而變化；要使粒子作直線運(yùn)動(dòng)則只有讓洛侖茲力恒定即其速度恒定不變，故粒子必作勻速直線運(yùn)動(dòng)；因而圖中三力之合必為0即有qE1cosθ=mgsinθ…①；

總結(jié)：帶電粒子在三種場(chǎng)重疊的區(qū)域內(nèi)在無其它約束情況下：

1.粒子作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)——只能作勻速直線運(yùn)動(dòng)，故三場(chǎng)力之合必為0；

2.粒子在豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí):粒子受到的電場(chǎng)力與重力必等大、反向、共線即此二力平衡，粒子只在洛侖茲力作用下作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，即洛侖茲力作向心力；

練習(xí)1 如圖1-2甲所示，虛線間空間存在由勻強(qiáng)電場(chǎng)E和勻強(qiáng)磁場(chǎng)B組成的正交或平行的電場(chǎng)和磁場(chǎng)，有一個(gè)帶正電小球(電荷量為+q，質(zhì)量為m)從正交或平行的電磁混合場(chǎng)上方的某一高度自由落下，那么，帶電小球可能沿直線通過下列的哪個(gè)電磁混合場(chǎng)( ).

解析在四種情況中帶電小球進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)時(shí)受力情況如圖1-2乙所示：A圖中由于小球所受合力不為零，所以洛倫茲力不恒定，因此水平方向合力不可能保持為零，小球不可能沿直線運(yùn)動(dòng)；B圖中垂直紙面向外的方向上只有一個(gè)洛倫茲力，所以這種情況下小球也不能沿豎直方向運(yùn)動(dòng)；C圖中小球所受三個(gè)力的合力如果為零，小球就可以沿豎直線運(yùn)動(dòng)；D圖中小球只受豎直方向兩個(gè)力作用，一定沿豎直線運(yùn)動(dòng)．答案：CD

練習(xí)2 (2014年杭州高三質(zhì)檢)如圖1-3所示，已知一帶電小球在光滑絕緣的水平面上從靜止開始經(jīng)電壓U加速后，水平進(jìn)入互相垂直的勻強(qiáng)電場(chǎng)E和勻強(qiáng)磁場(chǎng)B的復(fù)合場(chǎng)中(E和B已知)，小球在此空間的豎直面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則( ).

A．小球可能帶正電

D．若電壓U增大，則小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期增加

二、帶電粒子在三種場(chǎng)重疊區(qū)域中作有約束的直線運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)問題分析

(1)小球帶何種電荷？

(2)小球在半圓軌道部分克服摩擦力所做的功？

(3) 小球從P點(diǎn)飛出時(shí)磁場(chǎng)同時(shí)消失，小球離開P點(diǎn)后的運(yùn)動(dòng)軌跡與直線AC(或延長線)的交點(diǎn)為G點(diǎn)(未標(biāo)出)，求G點(diǎn)到D點(diǎn)的距離？

(4) 若只將半圓軌道改成光滑且小球到達(dá)點(diǎn)C的速度不變、圖中的原有電場(chǎng)與磁場(chǎng)均不變，則小球在半圓軌道上運(yùn)動(dòng)中對(duì)軌道的最大壓力及最小壓力各多少？

解析(1)由于小球從C向D的直線運(yùn)動(dòng)中是不受約束的，故小球在CD間必將作勻速直線運(yùn)動(dòng)，其受到重力，靜電力、洛倫茲力如圖2示，且三力之合力必為0，因此帶電小球應(yīng)帶正電荷．

練習(xí)3 (2013年江西八校聯(lián)考)如圖2-1所示，在水平勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，有一豎直足夠長固定絕緣桿MN，小球P套在桿上，已知P的質(zhì)量為m，電荷量為+q，電場(chǎng)強(qiáng)度為E、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，P與桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g.小球由靜止開始下滑直到穩(wěn)定的過程中( ).

A．小球的加速度一直減小

B．小球的機(jī)械能和電勢(shì)能的總和保持不變

方法總結(jié)：1.帶電粒子在三種場(chǎng)重疊區(qū)域并受到輕桿、軌道、平面等約束情況下的直線運(yùn)動(dòng)——抓住洛侖茲力f=qvB隨速度的變化引發(fā)的相應(yīng)各力的變化，從而導(dǎo)致物體運(yùn)動(dòng)情況也會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的變化；找準(zhǔn)物理過程中力、運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)(極值點(diǎn)、臨界點(diǎn))，靈活應(yīng)用動(dòng)力學(xué)、動(dòng)能定理及能量守恒定律處理；

2.注意粒子受到的等效重力及平衡位置：

等效重力G等——將重力與電場(chǎng)力之合力G等來替代此二力即稱G等為等效重力；

平衡位置——帶電粒子或小球在約束下能保持靜止時(shí)的位置；

3.帶電粒子在三種場(chǎng)重疊區(qū)域并受到輕桿、輕繩、圓環(huán)、軌道等約束下的圓周運(yùn)動(dòng)：

①粒子圓周運(yùn)動(dòng)中的物理最高點(diǎn)——粒子或小球的平衡位置相對(duì)于圓心的對(duì)稱點(diǎn).

②粒子受輕繩、內(nèi)軌道約束下繞圓心作圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件——粒子經(jīng)過物理最高點(diǎn)時(shí)受到的約束力大于或等于0即T最高點(diǎn)≥0；

③粒子受輕桿、圓環(huán)約束下繞圓心作圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件——粒子經(jīng)過物理最高點(diǎn)時(shí)的速度大于或等于0即v最高點(diǎn)≥0；

④粒子變速運(yùn)動(dòng)中經(jīng)過平衡位置時(shí)其受到的約束力必最大；粒子或小球受輕繩、內(nèi)軌道約束時(shí)其經(jīng)過物理最高點(diǎn)時(shí)受到的約束力最小且方向必沿半徑向圓心；粒子或小球受輕桿、圓環(huán)約束時(shí)其經(jīng)過物理最高點(diǎn)時(shí)受到的約束力的大小與方向?qū)㈦S其經(jīng)過此位置的速度大小而不同；

⑤粒子變速運(yùn)動(dòng)中靈活應(yīng)用動(dòng)力學(xué)、動(dòng)能定理及能量守恒定律處理；

⑥粒子作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的條件——粒子受到的電場(chǎng)力與重力(或此二力在其圓周平面上的分力)必等大、反向、共線即此二力平衡，粒子只在洛侖茲力作用下作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，即洛侖茲力作向心力；

三、帶電粒子在重疊場(chǎng)區(qū)域中作一般曲線運(yùn)動(dòng)的分析

例3 (2013年高考福建理綜)如圖3甲，空間存在一范圍足夠大的垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.讓質(zhì)量為m，電荷量為q(q>0)的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到該磁場(chǎng)中．不計(jì)重力和粒子間的影響．

(1)若粒子以初速度v1沿y軸正向入射，恰好能經(jīng)過x軸上的A(a,0)點(diǎn)，求v1的大小．

(2)已知一粒子的初速度大小為v(v>v1)，為使該粒子能經(jīng)過A(a,0)點(diǎn)，其入射角θ(粒子初速度與x軸正向的夾角)有幾個(gè)？并求出對(duì)應(yīng)的sinθ值．

(3)如圖3乙，若在此空間再加入沿y軸正向、大小為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，一粒子從O點(diǎn)以初速度v0沿y軸正向發(fā)射．研究表明：粒子在xOy平面內(nèi)做周期性運(yùn)動(dòng)，且在任一時(shí)刻，粒子速度的x分量vx與其所在位置的y坐標(biāo)成正比，比例系數(shù)與場(chǎng)強(qiáng)大小E無關(guān)．求該粒子運(yùn)動(dòng)過程中的最大速度值vm.

圖4

總結(jié)：粒子在一般曲線運(yùn)動(dòng)中其速度大小、方向均是變化的，故其受到的洛侖力f=qvB必為變力，對(duì)運(yùn)動(dòng)中的特殊狀態(tài)可用動(dòng)力學(xué)方法處理相關(guān)的運(yùn)動(dòng)和力的關(guān)系問題，對(duì)運(yùn)動(dòng)過程則要充分利用動(dòng)能定理與能量守恒定律加以處理，特別注意洛侖茲力始終不做功.

參考文獻(xiàn)：

[1]李鳳環(huán).帶電粒子在電場(chǎng)中的直線運(yùn)動(dòng)[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)(高中版),2004(12).