利用圖形計算器探究追及問題

陳習羽

(廣東省中山市龍山中學 528400)

追及問題是運動學中較為綜合且有實踐意義的一類問題，它往往涉及兩個以上物體的運動過程，每個物體的運動規律又不盡相同.對此類問題的求解，要求學生要透徹理解基本物理概念，熟練運用運動學公式外，還應仔細審題，挖掘題文中隱含著的重要條件.并盡可能地畫出草圖以幫助分析，確認兩個物體運動的位移關系、時間關系和速度關系，在頭腦中建立起一幅物體運動關系的圖景.

顯然，追及問題的求解，對圖像的運用有很高的要求.但是由于用一般工具作圖的效率比較低下，且作出來的一般只是靜態分析圖，作用不大.所以老師在引導學生探究追及問題時，往往只會作出簡單的示意圖，然后采用極值法、臨界法等純數學手段.雖然答案是很快計算出來了，但是并不能向學生展示物體的整個運動過程.導致的結果是，大部分學生把題目算完，還是不清楚物體到底是怎么運動.當題目難度增加，或含有隱藏條件時，他們還是不會分析，最多就只會生硬的照搬原來的解題方法.

圖形計算器能很好的解決上述提到的問題，它可以快速的作出所需要的圖像，既可以做靜態分析，也可以做動態圖做動態分析.能幫助學生更好的探究追及運動過程的中的每一個細節，理解每一個結論和結果的來歷.原來在物理探究時不怎么使用圖形計算器，是因為價格昂貴或者計算器操作不便.但現在智能手機已經相當普及，在智能手機安裝相應的APP就可以變成一個圖形計算器，把圖形計算器應用到日常教學中已不再是難事.

本文使用的是德州儀器Ti-nspireCXCAS圖形計算器.下面舉兩個例子，來說明圖形計算器在探究追及問題過程中的應用和優點.

例1 公共汽車從車站開出以v=4 m/s的速度沿平直公路行駛，t0=3 s后一輛摩托車從同一車站開出勻加速追趕，加速度為a=2 m/s2，試問：

(1)摩托車出發后，經多少時間追上汽車，此時離出發處多遠？

(2)摩托車追上汽車前，兩車最遠距離是多少？

利用圖形計算器探究問題，要先做一些初始工作.根據題目輸入相關物理量，為了顯示簡潔，單位省略不輸入，默認取國際單位.設追上的時間為x(該計算器作圖自變量只能為x)，以車站為初位移，定義汽車位移為s1(x)，摩托車位移為s2(x)，兩車距離為s(x)，如圖(1).

在同一坐標系在作出兩車位移圖像，如圖(2).通過兩線的交點坐標，就可以得到摩托車出發后6 s，在離車站36 m處追上汽車.

通過圖像法，我們可以很直觀地看到摩托車是如何追上汽車的.而且利用圖形計算器優秀的計算能力，可以瞬間得到結果.通過圖像弄清楚整個追及過程后，再引導學生將上述過程轉化為書面解答，如下：

聯解得追上用時：t=6 s或t=-2 s(舍去)

兩個車的距離，實際就是兩個圖像中相同時刻y坐標的差，我們可以直接在圖2的基礎上作出來代表兩車距離的線段.拖動線段到不同的時刻，就可以動態顯示這個距離的變化(文章只能以靜態展示)，如圖3.我們直接的就能看出兩車的距離先增大，后減小.(u為單位長度，此時對應單位m)

為了精確的求出最大距離，可以畫出兩車距離的函數圖象s(x)，用計算器找到圖像的最大值，如圖(4).根據圖示，就可以得到摩托車出發2s時，兩車有最大距離16m，與圖(3)得到的結果吻合.同時我們可以找出圖像的零點，則6s時兩車距離為零，與第(1)問吻合.根據探究過程，轉化為書面解答，如下：

(2)追上前兩者距離：

根據二次函數規律，得：t1=2s時，兩車有最大距離：Δsmax=16m

本題還可以進一步探究兩車的速度關系，進而得到兩車距離最大的臨界條件.在圖4的基礎上，直接疊加兩車的速度圖象.并通過計算器求出兩車速度圖像的交點，如圖5.可以發現，2s末，在兩車距離達到最大的同時，兩車速度相同，此為兩車距離最大的臨界條件.

返回到初始輸入框，如圖6.通過計算驗證可得，2s末兩車速度相同，且距離為16m有最大值.因此，我們得到了求最大距離的第二種方法，臨界條件法.引導學生書面作答，對應的解答過程如下：

(3)當兩車速度同時，有：at1=v，得：t1=2 s

例1是追及問題的規律探究.可以看到，利用圖形計算器的幫助，可以精確的作出各個物體的運動圖像，能同時呈現多個物體的運動規律.利用圖形計算器精準的運算能力，可以快速求得圖線的交點、零點、截距、長度等等有用數據，并且可以動態顯示其變化過程.這對于過程分析比較弱的、空間想象能力比較差的同學，利用圖形計算器進行圖形分析，是他們學習追及問題、學習好物理最好的選擇.

同時由于作圖和運算在計算器里面是瞬間完成，在數據處理上能節約大量的時間，留給學生更多的思考時間，去探知和理解新的物理問題.人獲取信息的主要通道是視覺，直觀的圖象分析教學，能從感情和理性兩方面同時激發他們，加速學生對問題的理解.

最后，再舉一個小例子.

例2 甲車以v1=10 m/s的速度在平直的公路上勻速行駛，乙車以v2=4 m/s的速度與甲車平行同向勻速直線運動，甲車經過乙車旁邊時開始以a=0.5 m/s2的加速度剎車，從甲車剎車開始計時，求乙車追上甲車所用的時間.

這道題，一般學生的解答是這樣的：

這是一個錯誤的解答.為什么按照例1的解法竟然會得到一個錯誤的答案？我們用圖形計算器，把上面的求解方法，用圖像表示出來看看.

先初始化，如圖(7).其中運動時間為x，甲、乙的位移為s1(x)，s2(x)，甲的速度為vt(x).選畫出甲、乙的位移圖像，如圖(8)，求得圖像交點坐標(24，9).

根據圖像我們會發現，在24 s前，甲車有一小段是在后退的，這在剎車過程不可能發生.利用計算器找出甲位移圖象的最大值，同時再作出甲車的速度圖像，得圖(9).

圖像顯示，甲在20 s末開始后退，但實際上此時甲的速度已經為零.也就是說，甲在20 s后就保持靜止在位移100 m處.修正甲的運動圖像，得圖(10).通過圖象可得實際追上所用的時間為25 s.

通過例2我們可以看出，用圖形計算器可以實時把物體的整個運動軌跡直觀的呈現出來.原先題目所隱藏的條件或者設置的陷阱，在此無所遁形.

參考文獻：

[1]康杰. 圖形計算器在中學數學探究性學習活動中的應用[J].數學教育學報,2002(05).