數(shù)學(xué)中“1”的妙用

趙盼盼

(遼寧省盤錦市遼東灣實(shí)驗(yàn)高級中學(xué) 124000)

數(shù)字“1”有很多性質(zhì)，比如任意一個(gè)數(shù)(式子)乘以1或除以1仍然不變．在解決某些問題時(shí)，用“1”轉(zhuǎn)化或巧妙地用“1”作適當(dāng)?shù)奶鎿Q從而可以獲得巧妙的解法．這樣在解題時(shí)會起到意想不到的效果．本文從三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、求最值、積分、行列式五個(gè)方面來說明如何巧妙利用“1”來解決問題．

一、“1”的應(yīng)用

1. “1”在三角函數(shù)中的應(yīng)用

三角函數(shù)在高考中有著舉足輕重的地位．有些同學(xué)在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)感覺費(fèi)力，感覺計(jì)算量大，公式難記憶．在三角函數(shù)計(jì)算中常把“1”表示為某些特定的三角函數(shù)形式或某些特定的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算．

例1 tanα=2，求2sin2α+3sinαcosα-cos2α的值.

這道題是齊次式，解決本類題的方法是化弦為切．利用三角恒等式sin2α+cos2α=1中“1”的代換，將整式化為分式，看似麻煩，實(shí)則避免直接求sinα，cosα的麻煩．

例2 計(jì)算cos20°cos40°cos60°cos80°．

2. “1”在對數(shù)函數(shù)中的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)中的對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，學(xué)習(xí)起來比較困難．但同時(shí)對數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要內(nèi)容，在考試中占一定分量．

例3 (第一屆美國數(shù)學(xué)邀請賽試題)設(shè)x,y,z都是不等于1的正數(shù)．logxw=24，logyw=40，logxyzw=12，求logzw．

解根據(jù)logab·logba=1

所以logzw=60．

對數(shù)函數(shù)的計(jì)算中，常用logab·logba=1對式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．

3. “1”在求最值中的應(yīng)用

在利用均值不等式時(shí)要注意“正定等”．在解題過程中應(yīng)用式子乘上1仍等于原式，通過整理，利用均值不等式得出結(jié)果．

例5 已知a+b+c=3，求a2+b2+c2的最小值．

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)等號成立．

所以，當(dāng)a=b=c=1時(shí)，a2+b2+c2的最小值為3．

由上知，不等式中有一類題，可以利用“1”巧妙地轉(zhuǎn)化，得到簡潔的解法．在不等式證明和不等式求最值時(shí)，巧妙用“1”，會得到意想不到的效果．

4. “1”在積分中的應(yīng)用

解將1用sin2x+cos2x來代換得

當(dāng)函數(shù)是三角函數(shù)時(shí)，常對1進(jìn)行代換，比如本題中把1改寫成sin2x+cos2x=1．利用三角函數(shù)的平方關(guān)系，將“1”變形在不定積分中可以簡化計(jì)算．有時(shí)用其它方法很難求積分，甚至積不出來.而“1”的變形有多種，變得合適可以達(dá)到簡化計(jì)算的目的．

5. “1”在行列式中的應(yīng)用

例7 計(jì)算n階行列式

解當(dāng)x≠a時(shí)，

當(dāng)x=a時(shí)，Dn=0．

在線性代數(shù)中，有很多類似于此題的行列式．求解時(shí)，在行列式中多加一行或一列使行列式不變．比如在此題中加的邊是第一行和第一列，第一列中除第一個(gè)數(shù)是1外其余都是0，第一行中除第一個(gè)數(shù)是1，其余是a，此時(shí)行列式是不變的．根據(jù)行列式的性質(zhì)，把行列式化為上三角形或下三角形，再求行列式的值．

二、結(jié)束語

“1”是一個(gè)奇妙的數(shù)字，在解決不同的問題時(shí)需要進(jìn)行不同的代換．靈活運(yùn)用“1”的性質(zhì)及與“1”相關(guān)的關(guān)系式，可以巧妙地解決問題．通過以上問題的分析，我們對“1”的應(yīng)用有了一定的了解．但是數(shù)學(xué)中還有大量有關(guān)“1”的問題，等待大家去發(fā)現(xiàn)、研究．

參考文獻(xiàn)：

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