淺析三角函數誘導公式的“逆用”

尹始杰

(甘肅省臨夏縣田家炳中學 731801)

三角函數在高中數學中占有非常重要的地位，誘導公式是三角函數中的重要公式.

我們使用各類公式由左向右使用公式稱之為公式的“正用”，這是我們大家熟知的，由公式右邊向左邊使用稱之為“逆用”，本文探討的正是誘導公式時由右向左的“逆用”.本文以人民教育出版社高中A版教材《數學必修4》為例，淺要分析誘導公式的“逆用”.

一、誘導公式在三角函數圖象中的“逆用”

在《數學必修4》“正弦函數、余弦函數圖象”一節中，教材先結合單位圓在直角坐標系畫出正弦線，然后通過平移正弦線畫出了正弦函數在一個周期內的圖象，再經過向左、向右的平移而得到正弦函數的圖象.這一作圖過程不僅要有耐心，而且考驗作圖基本功.如何得到余弦函數的圖象呢？教材給出提示性探究：“你能根據誘導公式，以正弦函數的圖象為基礎，通過適當的圖形變換得到余弦函數的圖象嗎？”教材中進一步闡述為：由誘導公式六我們有

二、誘導公式在三角函數求值化簡中的“逆用”

對于誘導公式一:

學生的理解往往是:公式從左到右是角α+2kπ去掉2kπ后三角函數值仍然相等，從左到右是角α增加2kπ后三角函數值仍然相等，這與終邊相同的角的同一三角函數值相等這一本質是一致的.教師可以利用這一點，在部分三角函數求值與化簡中“逆用”公式一，可以起到事半功倍的作用.

1.誘導公式在三角函數求值中的“逆用”

在學習了誘導公式之后，將任意角的三角函數轉化為銳角三角函數是按“負化正，大化小，小化銳”的步驟進行的.當角度是一個絕對值較大的負角時，解題步驟冗長，過程中容易出現失誤.

這一解法完全遵循“負化正，大化小，小化銳”，思路相對簡單，但過程比較繁瑣，過程中出現失誤的概率高.另外這一求值可以如下方法實現：

又如cos(-1740°)求值程中的“負化正，大化小”的過程可以用誘導公式一的“逆用”來實現：

其中6×360°與-2040°絕對值最接近的360°的整數倍.

2.誘導公式在三角函數化簡中的“逆用”

利用誘導公式化簡三角函數遇到負角時，化簡的難度陡然增加，符號的確定容易出現失誤.例如：

sin(-180°-α)=sin[-(180°-α)]=-sin(180°+α)=-(-sinα)=sinα.

這一過程我們可以“逆用”公式一，即添加360°的整數倍來實現：sin(-180°-α)=sin(-180°-α+360°)=sin(180°-α)=sinα.

“逆用”公式一，添加2π的整數倍，解法如下：

=-cotα.

誘導公式是三角函數化簡求值的重要工具，教會學生熟練準確地掌握誘導公式，靈活高效地運用誘導公式是我們教師不懈努力的方向.誘導公式的“逆用”是靈活運用公式的重要組成部分，是對誘導公式的拓展與延伸 .

參考文獻：

[1]劉紹學.普通高中課程標準試驗教科書：數學4(A版)[M].北京:人教育出版社,2016.

[2]石小勝.誘導公式的推廣與逆用[J].中學數學，2012(19).