圓錐曲線離心率范圍問題的常見題型評析

蔡振樹

(福建省石獅市華僑中學(xué) 362700)

離心率是圓錐曲線的一個(gè)重要基本量,離心率是描述圓錐曲線“扁平程度”或“張口大小”的一個(gè)重要數(shù)據(jù)，在每年的高考中它常與“定義”、“焦點(diǎn)三角形”等聯(lián)系在一起.求離心率的范圍的題目更是高考常見的較難題型,這個(gè)問題涉及到的知識點(diǎn)較多,綜合性較強(qiáng),對學(xué)生的思維能力和運(yùn)算能力都有較高的要求，是解析幾何復(fù)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn).求離心率的取值范圍涉及到解析幾何、平面幾何、代數(shù)等多個(gè)知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)方法靈活，解題關(guān)鍵是挖掘題中的隱含條件，構(gòu)造不等式,想方設(shè)法找到a,b,c之間的關(guān)系,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的問題.本文對高考中常見的幾種題型進(jìn)行評析.

一、基礎(chǔ)型問題

A.(1,3) B.(1,3] C.(3,+∞) D.[3,+∞)

解析由雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a,|PF1|=2|PF2|=4a.

故雙曲線離心率的取值范圍是(1,3].選B.

二、思想型問題

例2 已知A、B為雙曲線E的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上且△ABC為等腰三角形,且頂角為120°,則的離心率為( )．

將數(shù)用形來體現(xiàn)，直接得到a,b,c的關(guān)系，這無疑是解決數(shù)學(xué)問題最好的一種方法，也是重要的解題途徑，此類問題對數(shù)學(xué)思想方法的要求高.根據(jù)題設(shè)條件，利用a,b,c之間的關(guān)系，構(gòu)造a,c的關(guān)系，進(jìn)而得到關(guān)于e的一元方程，從而得到離心率e.求解過程中常利用數(shù)形結(jié)合的思想，會涉及到點(diǎn)代入曲線、橢圓或雙曲線的定義、解三角形等知識.

三、方程型問題

例3 斜率為2的直線過中心在原點(diǎn)且焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的右焦點(diǎn)，并與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)分別在左、右兩支上，則雙曲線的離心率的取值范圍是( ).

解決此類問題時(shí)，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立后，根據(jù)題意使判別式大于零，兩根之積小于零，進(jìn)而得解.

四、最值型問題

此時(shí)，雙曲線c的離心率

故選D.

關(guān)于圓錐曲線以及基本不等式方面的綜合性問題，屬于難題.此類問題考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)與方程思想，重在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).綜合運(yùn)用各種關(guān)系，通過轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來求解.

圓錐曲線的離心率問題之設(shè)計(jì)著眼于學(xué)生的應(yīng)試技能的提升，通過對圓錐曲線離心率范圍問題的題型設(shè)計(jì)意圖及求解突破策略的研究，讓學(xué)生自然地感受到解析幾何問題的通性通法，有效地突破重點(diǎn)難點(diǎn)，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

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