基于隨機有限元的農(nóng)機變速箱體和軸的模態(tài)分析

毛丹丹，汪小志

(1.柳州職業(yè)技術(shù)學院 機電工程學院，廣西 柳州 545006；2.南昌工學院，南昌 330108；3.南昌大學，南昌 330031)

0 引言

利用傳統(tǒng)的方法對機械零部件進行有限元分析時，直接采用設(shè)定的參數(shù)進行有限元計算，得到固定條件下的應(yīng)力應(yīng)變和模態(tài)分析數(shù)據(jù)，對于機械裝置的可靠性分析具有一定的局限性[1-5]。如果通過實驗的方法來研究各種參數(shù)的影響，由于變速箱體的結(jié)構(gòu)較為復雜，且不同結(jié)構(gòu)的通用性不強，使得實驗的成本昂貴，而實驗結(jié)果還不具有通用性[6-7]。為了提高有限元仿真的可靠性，可以考慮使仿真模型的參數(shù)隨機變化，這就需要借助于隨機有限元方法。在ANSYS軟件分析中，Monte Carlo 是典型和常用的隨機有限元方法，將其使用在變速箱有限元模態(tài)分析中，可有效提高仿真的效率和計算的可靠性[8-11]。

1 農(nóng)機變速箱和軸隨機有限元方法分析

大型農(nóng)機的變速箱在使用過程中經(jīng)常會在空腔連接區(qū)域發(fā)生斷裂，這是由于軸的變形和振蕩會引起箱體的疲勞破壞，因此對變速箱和軸展開模態(tài)分析是非常有必要的[12-16]。有限元分析是當前主要的機械零部件模態(tài)和可靠性分析軟件，但由于在虛擬仿真過程中，存在載荷、幾何變形和材料等數(shù)據(jù)參數(shù)的隨機性，于是引入了隨機有限元方法，其流程如圖1所示。

圖1 基于隨機有限元的變速箱模態(tài)分析Fig.1 Modal analysis of Gearbox Based on stochastic finite element method

由于在有限元仿真時，其計算的控制方程的荷載矩陣[F]、彈性矩陣[D]和幾何矩陣[D]等參數(shù)都可以是隨機變化的，這便使計算方程擁有了隨機性參數(shù)，也為有限元模態(tài)分析提供了更加可靠的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。在進行有限元仿真過程中，可以將矩陣變量的平均值和隨機波動值引入計算過程中，其表達式為

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對于隨機系統(tǒng)，其分析方法有兩種：一種是統(tǒng)計學方法，一種是非統(tǒng)計學方法[17-20]。隨機有限元方法也可以分為基于統(tǒng)計學方法的有限元分析和基于非統(tǒng)計方法的有限元分析，為了充分保證材料、載荷和幾何變形等仿真參數(shù)的隨機性，本次選用基于非統(tǒng)計學方法的有限元分析方法[21]。

2 變速箱和軸類零件有限元網(wǎng)格劃分和分析原理

變速箱屬于復雜機械零部件結(jié)構(gòu)，采用有限元分析方法，劃分網(wǎng)格時可以采用四面體網(wǎng)格；軸類零件屬于桿件零件[22-23]。有限元分析時，可以將其分為n個有限段，各段之間使用節(jié)點連接。每個四面體和每個有限段被稱作有限單元，組成的網(wǎng)格模型被稱作有限元模型，假設(shè)模型中的第i個有限單元的長度為i，包含了的節(jié)點為第i、i+1個，則單元的位移為

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其中，ui為第i節(jié)點的位移；xi為第i節(jié)點的坐標。第i個單元的應(yīng)變?yōu)棣舏，應(yīng)力為σi，內(nèi)力為Ni，則

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圖2 有限元集中質(zhì)量單元Fig.2 The lumped mass unit in finite element

對于第i+1節(jié)點，由力的平衡方程可得

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根據(jù)約束條件，u1=0，對于第n+1個節(jié)點有

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建立所有節(jié)點的力平衡方程，可以得到由n+1個方程構(gòu)成的方程組，可解出n+1個未知的節(jié)點位移。

由于變速箱體的結(jié)構(gòu)往往比較復雜，因此一般采用四面體網(wǎng)格對其進行網(wǎng)格劃分，如圖3所示。四面體單元是由4個節(jié)點組成的[24-25]。在進行實際模型計算時，需要將節(jié)點關(guān)聯(lián)，通過網(wǎng)格劃分最終得到的變速箱四面體網(wǎng)格如圖4所示。

圖3 有限元四面體單元Fig.3 The tetrahedron element in finite element

圖4 變速箱三維實體網(wǎng)格劃分Fig.4 Three dimensional solid meshing of gearbox

對于模型有限元模態(tài)分析可以采用彈性力學原理，建立變速箱節(jié)點之間的關(guān)系，從而確定有限元分析的一個近似的計算表達式。其中，最常用的是建立節(jié)點力和節(jié)點位移之間的關(guān)系，即

{F}e=[K]e{δ}e

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由于實際計算是需要對整體的模型進行有限元分析，因此建立好各個單元之間的節(jié)點聯(lián)系后，通過建立外載荷和節(jié)點的關(guān)系，實現(xiàn)模型的整體分析，如圖5所示。

圖5 模型整體分析實例Fig.5 The model example of the whole analysis

在模型整體分析時，在模型的邊界處i節(jié)點上施加了集中力載荷，該節(jié)點和3個單元相關(guān)聯(lián)，采用隨機有限元方法可以在3個單元上隨機分配集中力載荷；以此類推，將集中力合理的分配給整體的每個單元體。

3 農(nóng)機變速箱和軸有限元仿真模態(tài)分析

大型農(nóng)機的變速箱結(jié)構(gòu)一般采用鑄件結(jié)構(gòu)，其材料為脆性材料，當外界荷載或者疲勞荷載超過最大的強度極限時，變速箱體會發(fā)送斷裂或者疲勞破壞[26-27]。因此，在有限元分析時，可以通過分析變速箱的應(yīng)力分布，得到變速箱脆弱的部位。

圖6所示為變速箱體的應(yīng)力分析結(jié)果。由圖6可以看出：變速箱體的應(yīng)力主要集中在與軸的接觸部位，且其應(yīng)力的大小同接觸軸的不同模態(tài)的大小有關(guān)，進一步對軸的模態(tài)分析展開研究，更有利于探索變速箱的整體力學性能。

圖7為正常變速箱軸的網(wǎng)格。為了提高有限元分析的準確性，采用了結(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格。為了驗證軸破壞后模態(tài)響應(yīng)的變化對變速箱體的力學性能影響，人為設(shè)置了軸類的破壞形式，如圖8所示。

圖6 變速箱體應(yīng)力分析結(jié)果Fig.6 The stress analysis results of gearbox

圖7 正常變速箱軸Fig.7 The axis of normal gear-box

圖8 破壞后的模型和網(wǎng)格Fig.8 The model and grid after the destruction

為了簡化分析，將破壞后的軸上增加了幾個小孔，增加孔后增加了軸的形狀復雜性，因此將結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格劃分為四面體結(jié)構(gòu)，通過有限元仿真計算，得到了如表1所示的分析結(jié)果。

表1 破壞前后軸的模態(tài)分析

續(xù)表1

通過有限元分析對比了軸發(fā)生破壞前后的模態(tài)分析結(jié)果，通過對比發(fā)現(xiàn)：在不同階數(shù)時，軸發(fā)生破壞后其振幅明顯增大，而箱體的振幅也有所增大，因此在實際作業(yè)時，需要做好軸的監(jiān)測工作，以避免對箱體產(chǎn)生破壞。

4 結(jié)論

為了實現(xiàn)重型農(nóng)機變速箱的振動特性優(yōu)化，將有限元方法引入到了變速箱的模態(tài)分析過程中，考慮材料、荷載和幾何變形的隨機性，引入了隨機有限元方法，從而提高了有限元仿真的可靠性。建立了變速箱和軸有限元分析的簡化力學模型，并由力和力矩的平衡方程推導了有限元分析的微分方程，利用UG建模和網(wǎng)格劃分軟件，分別建立了變速箱體和軸的三維模型，并劃分了網(wǎng)格。其中，變速箱體采用四面體網(wǎng)格，軸破壞前采用六面體網(wǎng)格，破壞后采用四面體網(wǎng)格。將有限元網(wǎng)格代入到ANSYS中，通過隨機有限元方法分析，最終得到了變速箱體和軸破壞前后的振動模態(tài)分析數(shù)據(jù)，為重型農(nóng)機變速箱體的優(yōu)化提供了數(shù)據(jù)參考。

參考文獻：

[1] 李潔,項昌樂,劉輝.變速箱箱體振動特性的數(shù)值模擬分析[J].中國工程機械學報,2009,6(2):142-145.

[2] 趙翔,王春浩,曾福明.航空陀螺的有限元模態(tài)分析[J].現(xiàn)代機械,2004(1):35-36.

[3] 芮執(zhí)元,張偉華,劉美萍.鋁錠堆垛機傳動系統(tǒng)齒輪的有限元模態(tài)分析[J].機械設(shè)計與制造,2009(10): 38-40.

[4] 李潔,阮軍.變速器箱體網(wǎng)格劃分策略的研究[J].沈陽理工大學學報,2009,6(3):83-86.

[5] 汪勝陸.機械產(chǎn)品可靠性設(shè)計方法及其發(fā)展趨勢探討[J].機械設(shè)計,2007,24(5):1-3.

[6] 李應(yīng)波,姚衛(wèi)星.基于 SFEM 的結(jié)構(gòu)元件疲勞可靠性分析[J].南京航空航天大學學報,2007,39(4):461-464.

[7] 謝里陽,王正.具有不確定性的恒幅循環(huán)載荷疲勞可靠度異量綱干涉分析方法[J].機械強度,2008,30(5): 763-767.

[8] 王正,謝里陽,李兵.考慮載荷作用次數(shù)的零部件可靠性模型[J].機械強度,2008,30(1):68-71.

[9] 張靜,謝里陽,劉海年.不同載荷不同零件組成系統(tǒng)的可靠性模型[J].失效分析與預(yù)防,2010,5(1):24-29.

[10] 趙維濤,姚東林.結(jié)構(gòu)系統(tǒng)靜強度與疲勞耦合可靠性的當量壽命分析[J].上海航天,2011,28(4):51-56.

[11] 周宗和,楊自春.基于響應(yīng)表面法的汽輪機葉片隨機響應(yīng)特性分析[J].原子能科學技術(shù),2010,44(S1): 287-292.

[12] 池巧君,呂震宙,趙新攀.分布參數(shù)為隨機變量情況下可靠性靈敏度求解的方向抽樣法[J].機械工程學報,2011,47(12):156-162.

[13] 劉依路,胡啟國,張如華，等.基于 Ansys 的泥漿泵連桿的有限元分析[J].農(nóng)業(yè)裝備與車輛工程,2013, 51(5):42-46.

[14] 劉波,鄭忠才,李健,等.7YPJ 型農(nóng)用三輪汽車齒輪箱體有限元靜力分析[J].山東建筑大學學報,2007，22(05):434-437.

[15] 趙麗娟,劉宏梅,陳令國.ANSYS 在礦用減速器箱體應(yīng)力分析中的應(yīng)用[J].礦業(yè)研究與開發(fā),2007，27(1):52-54.

[16] 舒敏,洪榮晶,黃筱調(diào).高速銑齒機床主軸箱結(jié)構(gòu)的有限元法分析[J].設(shè)計與研究,2005，32(06):27-29

[17] 石琴,陳無畏,張雷.車身彈性對動力總成懸置隔振特性的影響[J].農(nóng)業(yè)機械學報,2006,37(1):12-15.

[18] 劉齊茂,李微.基于滿應(yīng)力準則的薄板結(jié)構(gòu)加強筋的設(shè)計法[J].機械設(shè)計與制造,2007(1):23-24.

[19] 鄧曉龍,許敏,陳劍,等.發(fā)動機缸體固有頻率對加強筋厚度的靈敏度分析[J].內(nèi)燃機工程,2007,28(2): 68-71.

[20] 高春城.我國農(nóng)業(yè)發(fā)展的資源環(huán)境問題與展望[J].當代生態(tài)農(nóng)業(yè),2013(4):151-154.

[21] 萬寶瑞.當前我國農(nóng)業(yè)發(fā)展的趨勢與建議[J].農(nóng)業(yè)經(jīng)濟問題,2014(1):110-114.

[22] 徐茂,鄧蓉.國內(nèi)外設(shè)施農(nóng)業(yè)發(fā)展比較[J].北京農(nóng)學院學報,2014,29(2):75-79.

[23] 席光,王志恒,王尚錦.葉輪機械氣動優(yōu)化設(shè)計中的近似模型方法及其應(yīng)用[J].西安交通大學學報, 2007, 41(2):125-135.

[24] 趙其國.當前我國農(nóng)業(yè)發(fā)展中存在的深層次問題及對策[J].生態(tài)環(huán)境學報,2013,22(6):911-915.

[25] 趙其國,黃國勤,王禮獻.中國生態(tài)安全、農(nóng)業(yè)安全及“三農(nóng)”建設(shè)研究[J].農(nóng)林經(jīng)濟管理學報,2014,13(3): 237-243.

[26] 熊愛武.基于車載激光云點數(shù)據(jù)的道路模型重建[J].地理信息世界,2013,20(6):86-88.

[27] 李睿陽,毛國勇,張武.商業(yè)軟件的并行網(wǎng)格計算平臺模型及實現(xiàn)[J].計算機工程與設(shè)計,2007,28(19):4655- 4673.