基于APOS理論的高職數學的概念教學研究實踐

崔立功

摘 要：在數學概念的教學過程中運用APOS理論有助于數學概念的自我建構，教師在這個過程中通過設計循序漸進的問題引導學生自我學習的一個能力的培養。

關鍵詞：APOS理論 高職數學 概念學習

中圖分類號：G718 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2017）12（c）-0200-02

1 APOS理論涵義

杜賓斯基認為，任何一個人是不可能輕易學到數學的概念的，數學概念的學習是個體通過生活中一些具體的實例，在教師的引導下層層遞進不斷建立起來的，要透過心智結構使所學到的數學概念有意義，而不是簡單地教師將概念給出，然后再通過練習對概念強化達到認識的目的，而這樣的學習只是一個表面的膚淺的認識，當堂課上或者很短的時間內可能會記住，但是沒有做到真正地理解其實質，一段時間之后幾乎忘光。APOS理論應該以學生為出發點，要充分考慮學生是如何能夠學會，能夠掌握，教師所有的教學理念、所有的一切準備都應該以從學生出發，以讓學生自己完全理解，幫助學生學習為原則，設計教學計劃。

APOS分別是由英文Action（操作）、Process（過程）、Object（對象）和Schema（圖式）的第一個字母所組合而成。下面筆者將介紹在運用APOS理論在高職課堂的概念教學實踐。

2 基于APOS理論談概念教學的實際意義

高職提前單招的學生，普遍對自己的學習沒有信心，他們中很多人都有學習習慣不好和學習動力不足的毛病。對于這樣的試教對象來說過分地強調概念教學本來就是較難的，但是有部分概念在高職數學中也是尤為重要的，比如說導數、微分、積分等概念問題必須要讓學生理解和領會，為此在具體的授課過程中我們采用了APOS理論，來確保學生能夠領會和理解這些概念，讓他們領會高等數學和初等數學的區別，發現數學的美。

3 基于APOS理論談概念教學的具體實施

筆者結合APOS理論的四步驟設計了微分概念的教學進程。

3.1 第一：操作階段

問題一：質地均勻的正方形金屬薄片由于受熱脹冷縮的影響，邊長由原來的X0增加了VX，請問該薄片面積變化了多少？

給班級學生充足的時間進行思考，不久全部同學都能寫出薄片面積增加的量為：

VS=2X0VX+（VX）2

問題二：質地均勻的正方形金屬薄片由于受熱脹冷縮的影響，邊長由原來的X0增加了，請問該薄片面積變化了多少？

題目和第一題是一樣的不過是數據換一下而已，很快學生就能寫出答案：

3.2 第二：過程階段

問題四：請同學們尋找一下上面幾題的共同點和不同點，透過這個你能發現什么呢？

這個題目下去以后全班討論氣氛很熱烈，不停地有人在發表自己的見解。最后我請了一位同學做了總結發言，共同點是自變量都是在定點X0處開始變化的，不同點是不同的增量最后得到的結果卻是不一樣的，而且可以發現隨著增量的變小，這個增加值也隨之變小，并且還可以發現VS-2X0VX=（VX）2該等式隨著增量的減小左邊兩個式子的差值會愈來愈小。

在此基礎上，我趁熱打鐵進一步抽象，擺出如果函數不是僅在一點X0而是在某個區間上任意點處，也做同樣的變化，那么函數的增量是多少呢？

這次我給了很短的思考時間，學生們都能報出：VS=2XVX+（VX）2進而得到VS-2XVX=（VX）2。隨著VX的變小，VS與2XVX的差會越來越小。

3.3 第三：對象階段

問題5：請問2X與X2是什么關系呢？

同學們都發現了：2X是X2的導函數，則VS-s'VX=（VX）2隨著VX變小，VS與s'VX的差會愈來愈小。因此可以得出一個函數的增量與函數導數和自變量乘積的差隨著自變量的增量的逐漸變小而變小。

3.4 第四階段：圖式階段

隨著自變量增量的逐漸變小，函數的增量與函數導數和自變量乘積的差距會越來越小，因此這兩個量會逐漸靠近，在自變量的增量逐漸趨近于零時，函數增量和函數導數與自變量增量的乘積將近似相等。函數導數與自變量增量的乘積我們用一個新的名詞來刻畫，這就是我們今天要講的微分。所以請同學們給微分下個定義，只要大家的意思對就可以了。

全班同學在這樣的引導下，很自然就能夠給出函數的微分的定義，在此基礎上老師再進行個別地方的修正和說明。最后達到了給出微積分中非常重要的微分的定義。

4 課堂小結

再次強調微分的定義，明確微分和函數增量的區別與聯系，幫助學生進一步領會微分的深刻內涵，為進一步微分在近似計算方面的計算做好鋪墊。

5 對APOS理論指導教學實踐的反思

APOS理論揭示了學生學習微分概念的整個過程，經過“操作”、“過程”、“對象”和“圖式”四個階段，生動地反映了學生在學習微分概念過程中的思考活動過程，通過這個案例我發現只要我們教師肯下力氣苦鉆研，確實可以帶領我們的學生掌握好這些較為苦澀難懂的概念。

具體在每個環節，對于問題的設計還是較為麻煩的，既要考慮問題的可操作性還要考慮和我們概念的關聯性問題。情景創設是為了更好的教學服務的，也需要學生們積極地去思考，從現實生活中發現和體驗數學的美。概念教學從過程到對象的過程是最困難也是最漫長的，需要多次講解和引導，讓學生真正掌握概念的本質。圖式階段是實際教學中容易忽視的環節也是體現教師能力的重要方面。圖式階段是最難的方面，需要學生從舊知識過渡到新知識，把握新舊知識之間的聯系，認識到它們的微小差距，這個過程對老師的要求更加的高，數學教學不僅要有不錯的數學功底還要有較好的教育學和心理學方面的知識儲備，這樣才可以設計出符合我們學生水平的教學設計。

APOS理論指導數學概念的教學，我個人也是在校級課題的申請時候才開始接觸，本人也有很多地方需要學習和提高，爭取在未來的教學工作過程中，力爭把這個理論和分層教學糅合到一起，爭取讓我們的學生有更大的受益。

參考文獻

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