“圓錐的體積”教學研究報告

一、問題

在人教版小學數(shù)學教材中，圓錐的體積被編排在六年級下冊第三單元，緊接圓柱的認識這一知識內容。對這一內容，教材先提出“我們已經(jīng)會計算圓柱的體積，如何計算圓錐的體積”這個問題，通過兩個孩子的對話引導學生建立圓柱與圓錐的關系，并設計了“探究一下圓錐與圓柱體積之間的關系”的實驗。實驗的具體操作流程是：各組準備好等底等高的圓柱、圓錐形容器，用倒沙子或水的方法發(fā)現(xiàn)兩者之間的體積關系，得出圓錐的體積公式。

誠然，教材這種“提出問題→建立關系→動手操作”的整體設計是非常系統(tǒng)、完整的。但是仔細思考后我們不難發(fā)現(xiàn)：教材對實驗探究的開放性指導不夠。要探求圓錐的體積，圓柱有著非常明顯的先入為主的味道，兩者體積關系的建立、實驗器材的選用、實驗的設計似乎都來源于教師（教材），缺少學生溫故知新、甄別遴選的探索過程，到最后，學生不僅對圓錐體積的認識缺乏深度，在探究能力與創(chuàng)新能力的培養(yǎng)上，效果也是大打折扣。對于學生來說，無論是圓柱的被選中還是實驗器具的優(yōu)化，以及倒水倒沙的實驗方法，都需要在對圓錐體積的探究過程中遇到問題而逐步產生。基于這一認識和對學生認知規(guī)律的尊重，我們工作室對這一內容的教學進行了研究，試圖通過這一個課例研究“用操作獲取結論”的這一類課例，盡可能多地發(fā)揮這類教材所承載的教育功能，以培養(yǎng)學生的理性精神。

（一）教學實踐中的問題

（二）解決問題的策略

弗賴登塔爾說，“學習數(shù)學的唯一正確方法是實行‘再創(chuàng)造”，也就是說由學生本人把要學的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來，教師的任務是引導和幫助學生進行這種再創(chuàng)造的工作。那么，教師如何引導學生通過自身的體驗對“如果當時的人們有幸具備了我們現(xiàn)在已掌握的知識，他們是怎樣把那些知識創(chuàng)造出來的”這一問題作出回答呢？

1.設計具有挑戰(zhàn)性的問題

好問題能將學生的思維聚焦在探究方法的思考上，使學生興趣盎然地投入到學習活動中，以求在掌握基礎知識的同時，思考能力、主動獲取知識的能力以及探索合作精神等都得到較好的發(fā)展。在研究圓錐體積公式時，教師可以設計問題：“今天我們要研究圓錐的體積，按照我們以前研究圖形面積和體積的方法，你覺得應該怎樣研究圓錐的體積呢？”引發(fā)學生類比遷移。

2.設計具有挑戰(zhàn)性的活動

教師通過問題激活學生關于轉化的經(jīng)驗，采用“面對新問題→聯(lián)想舊知識→尋找新舊知識之間的聯(lián)系→用舊知識解決新問題”的解決策略，學生親歷“選擇關系→猜想關系→驗證關系→運用關系”的全過程，學會用聯(lián)系的方法學習數(shù)學。

（1）選擇關系。學生在已有的圖形知識里搜索與圓錐有關的立體圖形時，會很自然地聯(lián)想到圓柱，“都有圓形底面”是產生聯(lián)想的重要依據(jù)。這時，教師不要急于給出等底等高的一組圓錐和圓柱作為實驗器具，可設計一組與圓錐只等底、或只等高、或等底又等高、或不等底又不等高的圓柱供學生選擇。這個選擇的過程既是思辨的過程，也是理性分析的過程，有利于培養(yǎng)學生的幾何直觀能力。

（2）猜想關系。猜想實際上是學生對圓柱和圓錐關系的進一步思考。這種猜想源于學生的幾何直觀與自身經(jīng)驗，有利于培養(yǎng)學生的空間想象能力。

二、實踐

基于“尋找關系，找準聯(lián)系”的學習理念，我們給學生提供了開放的問題情境，遵循學生學習的自然路徑，引導學生尋找解決問題的方法，經(jīng)歷公式產生的過程。

教學過程：

師：（出示一個圓錐）今天這節(jié)課，我們將研究圓錐的體積。（板書課題）關于幾何圖形，我們研究過平面圖形的面積以及立體圖形如長方體、正方體和圓柱的體積，回顧一下我們的研究方法，你覺得我們可以怎樣研究圓錐的體積呢？

生1：一般會轉化成我們熟悉的圖形。

師：有道理！之前我們學習的圖形大多都是轉化成熟悉的圖形進行推導的，那你們大膽地猜想一下，研究圓錐的體積，可以轉化成哪個立體圖形呢？

生2：應該是圓柱。

師：為什么不轉化成長方體或正方體呢？

生2：圓錐和圓柱長得更像，底面都是圓形。

師：（出示圖片）這是我們要研究的圓錐，這些圓柱如果要你來挑，你會挑哪一個圓柱來研究呢？先獨立思考，然后在小組內交流你的看法。

生3：我們覺得選①號圓柱比較靠譜，這兩個圖形的底面一樣大。

生4：我們覺得選②號圓柱也有道理，底面一樣大，高不同，說不定也有關系呢。

生5：我們覺得選③號圓柱也不錯，圓柱的體積是底面積乘高，要么底相同，看高的變化與體積有沒有關系；要么高相同，看底面積的變化與體積有沒有關系。

生6：可是③號圓柱的底面沒有數(shù)據(jù)，沒辦法研究啊。

師：真好！還知道用控制一個量不變的方法來研究。可惜，③號圓柱的底面半徑?jīng)]有提供。那為什么大家不選④號圓柱和⑤號圓柱呢？

生7：與要研究的圓錐相比，它們的底不一樣，高也不一樣，不太方便研究。

師：你們思考問題越來越有數(shù)學家的范了，了不起啊！那么，你們選擇的圓柱與圓錐的體積可能存在怎樣的關系呢？憑直覺猜猜看。

生8：圓錐的體積可能是①號圓柱體積的一半。

師：為什么？你能說說理由嗎？

生8：我想把圓錐放到①號圓柱里面去，圓錐的底面應該恰好占滿圓柱的底面，高與圓柱一樣；如果把圓錐倒過來再放進去一次，結果是一樣的，所以我猜想圓錐占圓柱體積的一半。

生9：老師，我有不同意見，我認為圓錐體積不是①號圓柱體積的一半，應該比一半小一些。

師：噢？你是怎么想的呢？

師：很遺憾，老師只找到了這樣一套實驗器材，（展示模型：等底等高的圓柱和圓錐）怎么辦？

生14：先通過實驗找出這兩個物體之間的體積關系。

師：說說實驗設想。

生14：既然是算體積之間的關系，我們可以用盛水的方法測量出這兩個物體的容積關系。

生15：用圓柱形容器裝滿水，然后往圓錐形容器里倒，看看能倒?jié)M幾次。

師：分組實驗試試看。（生動手操作）

生16：真的能倒?jié)M3次，說明圓柱的體積是等底等高圓錐體積的3倍。

師：有沒有人先把圓錐裝滿水往圓柱里倒的呀？

生17：肯定要倒3次才能裝滿圓柱。

師：如果只倒1次呢？

生動手操作，發(fā)現(xiàn)如果只倒1次，這時形成的圓柱其實就是剛才的②號圓柱。

師：測量一下，這時圓柱的高度與圓錐的高度有什么關系？

生18：圓錐的高度是圓柱高度的3倍。

師：看來，這個②號圓柱和圓錐的關系不一般。從這個實驗中，你又獲得了什么信息呢？

設計意圖綜述：圓錐體積的計算公式簡單明了，如何讓學生在獲得這個公式的同時獲得數(shù)學思想與方法，體會到數(shù)學學習的樂趣呢？荷蘭數(shù)學教育家弗賴登塔爾曾說：“沒有一種數(shù)學的思想，以它被發(fā)現(xiàn)時的那個樣子公開發(fā)表出來。一個問題被解決后，相應地發(fā)展為一種形式化技巧，結果把求解過程丟在一邊，使得火熱的發(fā)明變成冰冷的美麗。”那圓錐體積公式的推導過程設計成什么樣子，才能讓學生體驗到它被發(fā)現(xiàn)時的那個樣子呢？

1.自主選擇研究對象

圓錐與哪個立體圖形關系最緊密？教學中教師充分尊重學生已有的知識經(jīng)驗，放手讓學生于聯(lián)系中尋找問題的切入點。在這個過程中，學生不僅培養(yǎng)了空間觀念，還積累了遇到問題時主動把未知轉化為已知的重要經(jīng)驗。事實上，數(shù)學上很多重要的發(fā)現(xiàn)就是從這種主動建立關系開始的。

2.自主設計操作實驗

本節(jié)課的設計突出了學生學習的自主性。教學中，教師沒有直接給出實驗操作需要的器材，而是讓學生自主選擇。學生于思辨中逐步獲得理性分析的經(jīng)驗，思維的深刻性也因此得到提升。

3.自主發(fā)現(xiàn)體積公式

在學生看來，公式的得出是一件很高深的事情，是只有數(shù)學家才能完成的重任。但在本節(jié)課中，教師大膽地鼓勵學生發(fā)明公式，并主動拋出幾個形式不同的公式，要求把公式這個“數(shù)”與圓錐這個“形”結合起來思考，培養(yǎng)學生的幾何直觀和發(fā)散思維能力。學生對圓錐體積的認識也不再浮于表面，更不是孤立的，而是動態(tài)的、立體的、有層次的，這樣獲取的知識才有更好的再生性。

三、討論

人教版數(shù)學教材體系中，以公式形式呈現(xiàn)結論的知識點不多。在這為數(shù)不多的結論性知識的學習過程中，如何把結論還原成它最初發(fā)現(xiàn)時的本來面貌，讓學生親歷數(shù)學知識發(fā)現(xiàn)的過程，體驗數(shù)學思考、積極探究所獲得的學習樂趣，并為以后的學習積累活動經(jīng)驗，都是值得我們好好花功夫去研究的。而這些研究本身很考驗一線老師對這個問題最本質的認識。對于教材編寫者，有沒有可能在編制教材的時候，呈現(xiàn)一個過程相對完整的研究性學習范例呢？【此文系湖南省教育科學規(guī)劃“十三五”課題“小學數(shù)學教師核心素養(yǎng)和能力建設研究”（課題批準號：XJK17BZXX023）階段性研究成果】

（執(zhí)筆：鄧求平、楊枚、劉碩鵬、謝加文、王麗燕、徐旺、李闖）