從直覺猜測到理性判斷
——培養(yǎng)兒童數(shù)學(xué)預(yù)見力的思考與實踐

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：培養(yǎng)兒童的創(chuàng)新意識是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教育的重要部分。縱觀社會發(fā)展過程，從牛頓被蘋果砸到頭以后發(fā)現(xiàn)萬有引力定律，到凱庫勒夢見蛇咬住自己的尾巴悟出苯分子的環(huán)狀結(jié)構(gòu)，似乎偉大的發(fā)明都伴隨著一個奇思妙想的猜測。這種猜測是一種預(yù)見，它依賴于人對知識的把握、深刻的思考和個人的悟性等。兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程與人類社會的發(fā)展歷程相似，知覺思維始終隱藏在觀察、實驗、猜想、驗證等活動的深處，孕育著理性判斷和預(yù)見力。

探尋兒童的數(shù)學(xué)預(yù)見力，是兒童根據(jù)已有的知識和經(jīng)驗，抓住思維跳躍性和突發(fā)性的靈感，運用新穎的組合分析，洞察或領(lǐng)悟數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，從而創(chuàng)造新假設(shè)或得出新結(jié)論的一種能力。數(shù)學(xué)預(yù)見力分為經(jīng)驗型預(yù)見力和創(chuàng)造性預(yù)見力兩種。小學(xué)階段以培養(yǎng)經(jīng)驗型預(yù)見為主，創(chuàng)造性預(yù)見占少數(shù)。數(shù)學(xué)預(yù)見力的培養(yǎng)對完善兒童思維結(jié)構(gòu)，提升兒童的數(shù)學(xué)能力，激發(fā)兒童的創(chuàng)新思維具有重要影響。因此，在小學(xué)階段培養(yǎng)兒童早期數(shù)學(xué)預(yù)見力是發(fā)展兒童數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵。

兒童數(shù)學(xué)預(yù)見力的獲得依賴于教師的培養(yǎng)，更依賴于兒童經(jīng)歷的能夠啟發(fā)積極思考的數(shù)學(xué)活動。因此教師應(yīng)幫助兒童構(gòu)造生長性的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)多元化的數(shù)學(xué)思維，并提供實踐數(shù)學(xué)預(yù)見的平臺，從而為兒童數(shù)學(xué)預(yù)見力的萌發(fā)奠定基礎(chǔ)。

一、構(gòu)造生長性的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，夯實數(shù)學(xué)預(yù)見力的基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)預(yù)見力根植于兒童完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。由于在接收、理解上的失誤和遺忘等原因，兒童的認(rèn)知結(jié)構(gòu)在內(nèi)容上常常是有缺口的，不完備的。因此，構(gòu)造有生長性的認(rèn)知結(jié)構(gòu)必須具有穩(wěn)定的知識基礎(chǔ)、多元化的表征方式以及豐富的數(shù)學(xué)經(jīng)驗。[1]

1.較穩(wěn)定的知識儲備為直覺猜測的萌發(fā)奠定基礎(chǔ)。

如果學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念不穩(wěn)定甚至模糊不清，就不能為新學(xué)習(xí)提供適當(dāng)?shù)年P(guān)系和強有力的固定作用。例如教學(xué)蘇教版六下《圓柱的體積》思考圓柱的體積怎樣計算時，有的嘗試從長方體體積入手來猜測，有的通過觀察發(fā)現(xiàn)圓柱的底面是個圓形，猜測能否從圓面積的推導(dǎo)方式來推導(dǎo)圓柱的體積。不管兒童采取哪一種方式來思考，都依賴于兒童頭腦中是否存在有關(guān)長方體的體積、圓的面積的知識。只有擁有穩(wěn)定的知識儲備，才能夯實認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，為數(shù)學(xué)預(yù)見力的勃發(fā)提供可能。

2.可辨別的表征方式為直覺預(yù)測提供清晰的圖式。

數(shù)學(xué)知識在兒童的頭腦中建立相對穩(wěn)定與清晰的圖式，從而形成穩(wěn)定的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。例如教學(xué)蘇教版五下《解決問題的策略—轉(zhuǎn)化》時，計算，通過把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成圖形面積表征的方式，將繁瑣的分?jǐn)?shù)加法轉(zhuǎn)化為直觀圖形表示。兒童認(rèn)知結(jié)構(gòu)中對圖形和符號有較強的識別，方可達到熟練提取的目的。相同知識采取不同存儲方式，可以加深對知識本質(zhì)的理解。不同的知識采用相同存儲方式，可以對知識進行系統(tǒng)的整理。教學(xué)中幫助兒童建立多種形式的表征方式，突出圖式本身的可辨別性，讓兒童在數(shù)學(xué)預(yù)見時可以快速提取，從而激發(fā)創(chuàng)造性預(yù)見。

3.可利用的數(shù)學(xué)經(jīng)驗為直覺預(yù)測提供有力支持。

在數(shù)學(xué)新知的學(xué)習(xí)中，兒童原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中是否有與新知識發(fā)生同化的適當(dāng)觀念，是決定數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動能不能順利進行的關(guān)鍵因素。例如教學(xué)蘇教版五上《三角形的面積》時，拼和分平行四邊形操作經(jīng)驗為“倍拼法”介入三角形面積的學(xué)習(xí)提供了支持。豐富的活動經(jīng)驗成為兒童知識結(jié)構(gòu)的強大基礎(chǔ)，有效的活動經(jīng)驗為兒童后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了潛能，同時也為兒童數(shù)學(xué)預(yù)見提供了強大的背景支持。[2]

二、培養(yǎng)多元化的數(shù)學(xué)思維，增加數(shù)學(xué)預(yù)見力的可能

數(shù)學(xué)預(yù)見力的培養(yǎng)通過多側(cè)面的數(shù)學(xué)觀察、多角度的問題思考、多層次的反思來突破兒童的思維定式，培養(yǎng)兒童多元化的思維品質(zhì)，達到對兒童預(yù)見力培養(yǎng)的目的。

1.多側(cè)面觀察，為數(shù)學(xué)預(yù)見力提供靈活的思維。

數(shù)學(xué)的觀察能力是對符號、字母、數(shù)字或文字等所表示的數(shù)學(xué)關(guān)系、命題、圖像或圖形結(jié)構(gòu)等迅速知覺的能力。例如教學(xué)蘇教版三上《解決問題的策略》練習(xí)題，如圖1所示：

（圖1）

題目用圖表述小力、小英、小軍身高之間的關(guān)系，可以先求小英的身高，再求小軍的身高。將題意用線段圖表達后，可以得出第二種思路，利用小軍的身高比小力高6厘米，直接求出小軍的身高。同樣的數(shù)量關(guān)系，變換觀察的角度，巧妙地減輕了思考和計算的負(fù)擔(dān)。教學(xué)時不僅要觀察數(shù)學(xué)對象本身，還要嘗試從多個側(cè)面觀察，實現(xiàn)對觀察對象的整體把握，從而為養(yǎng)成數(shù)學(xué)預(yù)見力培養(yǎng)敏銳的觀察力和靈活的思維習(xí)慣。

2.多角度思考，為數(shù)學(xué)預(yù)見力提供敏捷的思維。

從不同角度進行問題思考，會幫助我們獲得某些最佳的或最有效的問題解決策略和方法，甚至還有可能獲得某些創(chuàng)造性的問題解決方式。例如教學(xué)蘇教版六下《確定位置》時，教材提供由面到線再到點確定物體在平面圖上的位置；同時也可以引導(dǎo)以圓和射線相交確定物體的位置。（圖2）兩個不同角度的思考，體現(xiàn)了豐富性，加深了對知識的理解。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中倡導(dǎo)從不同的角度引導(dǎo)兒童思考，從問題的不同層次引導(dǎo)兒童思考，從而提高兒童對數(shù)學(xué)規(guī)律的把握和推演的能力，培養(yǎng)兒童思維的敏捷性。

（圖2）

3.多層次反思，為數(shù)學(xué)預(yù)見力提供批判性思維。

反思是對自己的思維過程、思維結(jié)果進行再認(rèn)識的檢驗過程。例如蘇教版五下《解決問題的策略》，設(shè)計兩個層次的反思環(huán)節(jié)。第一層次在新授部分，通過如何選擇合適的轉(zhuǎn)化方法培養(yǎng)反思性思維。第二層次在本課小結(jié)時，引導(dǎo)兒童對本課涉及的轉(zhuǎn)化和已學(xué)知識中的轉(zhuǎn)化梳理再次反思。由表及里的層次型反思訓(xùn)練幫助兒童正確地對待數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，矯正思考的方向，歸納學(xué)習(xí)的內(nèi)容，形成合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)兒童批判性思維。[3]

三、搭建全方位的實踐平臺，檢驗數(shù)學(xué)預(yù)見力的成果

兒童有了富有生長力的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，多元化的思維品質(zhì)，還要借助于自身積累的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，才能更好地實現(xiàn)數(shù)學(xué)預(yù)見。因此，數(shù)學(xué)閱讀、數(shù)學(xué)實驗以及數(shù)學(xué)日記為兒童提供鍛煉數(shù)學(xué)預(yù)見力的實踐平臺。

1.數(shù)學(xué)閱讀，拓寬兒童預(yù)見的背景。

數(shù)學(xué)閱讀不僅包括閱讀數(shù)學(xué)教材、數(shù)學(xué)繪本故事，更包括生活中與數(shù)學(xué)息息相關(guān)的材料等。兒童對熟悉素材的預(yù)見力顯優(yōu)于背景素材不熟悉的問題。例如，六年級畢業(yè)測試中有一道考查復(fù)式折線統(tǒng)計圖的題目，涉及干砂和水溫度變化的相關(guān)知識。干砂作為不熟悉的材料出現(xiàn)時，大部分兒童把握不夠準(zhǔn)確，導(dǎo)致在預(yù)測結(jié)果時產(chǎn)生偏差，從而說明廣泛的數(shù)學(xué)閱讀不僅為兒童提供了更開闊的數(shù)學(xué)視野，更為兒童數(shù)學(xué)預(yù)見提供了強大的背景支持。

2.數(shù)學(xué)實驗，試驗兒童預(yù)見的結(jié)果。

數(shù)學(xué)實驗可以讓學(xué)生經(jīng)歷探索的過程，驗證數(shù)學(xué)預(yù)見的結(jié)果，養(yǎng)成科學(xué)的觀念。例如教學(xué)蘇教版五上《三角形的面積》時，設(shè)計了兩次操作試驗。第一次試驗借鑒平行四邊形面積等積轉(zhuǎn)化的方式，將三角形沿著高剪開，發(fā)現(xiàn)除了等腰三角形和等邊三角形外，其他三角形無法拼成平行四邊形，產(chǎn)生認(rèn)知沖突。實驗的過程中發(fā)現(xiàn)實驗結(jié)果和方式超出預(yù)期或?qū)嶒炛行枰闹R無法提取時，必須進行第二次試驗。通過對三角形相關(guān)的數(shù)學(xué)知識進行梳理，調(diào)整實驗的步驟和方法，最終得出結(jié)論。在數(shù)學(xué)教學(xué)中讓兒童通過操作、實驗等形式驗證數(shù)學(xué)預(yù)見的結(jié)果，驗證預(yù)見與結(jié)果之間的偏差，反思出現(xiàn)偏差的原因，矯正數(shù)學(xué)預(yù)見的結(jié)果。

3.數(shù)學(xué)日記，記錄兒童預(yù)見的過程。

利用數(shù)學(xué)日記的形式記錄數(shù)學(xué)事實、反思過程，引導(dǎo)兒童通過歸納、整理分析，明晰對數(shù)學(xué)問題的預(yù)見的具體步驟，反思并形成相應(yīng)的策略，從而經(jīng)歷數(shù)學(xué)預(yù)見的整個過程。例如，教學(xué)蘇教版六下《正比例反比例》單元中的“動手做”時，兒童在數(shù)學(xué)日記中有的記錄詳細(xì)的操作過程，從自己對問題的思考到詳細(xì)的操作步驟；還有自己操作步驟和思路的調(diào)整、自己預(yù)見結(jié)果的矯正等。最終達到在操作前有思考，操作中有調(diào)整，操作后有反思。

在兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)預(yù)見力對于準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方向，掌握數(shù)學(xué)知識有著重要的作用。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，既追求直覺猜測，更強調(diào)理性判斷，以數(shù)學(xué)預(yù)見力培養(yǎng)為載體，幫助兒童構(gòu)造富有生長力的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)兒童多元化的數(shù)學(xué)思維，為兒童提供實踐數(shù)學(xué)預(yù)見力的平臺，保護兒童數(shù)學(xué)預(yù)見力的萌芽，鼓勵兒童創(chuàng)造性預(yù)見，進而培養(yǎng)兒童的創(chuàng)新意識，提升兒童數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

[1]馬云鵬.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論（第 4版）[M].北京：人民教育出版社，2013.

[2]喻平.數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2010.

[3]楊慶余.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究[M].北京：中央廣播電視大學(xué)出版社，2004.