矩陣位移法中的定位向量

□文 /彭顯曉

矩陣位移法是以位移法作為基礎(chǔ)的結(jié)構(gòu)矩陣分析方法，或者說，它是以矩陣形式表達(dá)的位移法分析過程[1]。在矩陣位移法中可以只定義一類兩端固定的基本桿件，這樣就可以很容易地確定矩陣位移法基本未知量的數(shù)目，計算過程便于規(guī)格化，適于計算機組織運算。但是，電算和手算不同，電算怕亂，手算怕繁，手算怕重復(fù)性的大量運算，電算追求系統(tǒng)化的計算程序，手算追求計算的技巧。本文通過分析矩陣位移法中總剛度矩陣的典型計算方法，提出一種廣義定位向量，簡化了結(jié)構(gòu)中斜向桿件的計算量，為工程結(jié)構(gòu)受力計算找到了一種相對簡潔的手算方式，方便了工程師對結(jié)構(gòu)受力的核算，同時也揭示了定位向量與坐標(biāo)變換矩陣的物理和力學(xué)意義。

1 矩陣位移法中總剛度矩陣的典型計算方法

矩陣位移法的計算步驟：

1）對結(jié)構(gòu)進(jìn)行編號、標(biāo)示，這一過程就是結(jié)構(gòu)的離散化，為表示位移和力的方向需要為結(jié)構(gòu)設(shè)定一個整體坐標(biāo)系；

2）計算各單元的剛度矩陣；

3）形成總剛度矩陣K和總剛度方程K△=F；

4）引入位移邊界條件；

5）求解結(jié)構(gòu)剛度方程得未知的節(jié)點位移△；

6）計算各單元桿端力和支座反力[1～3]。

形成總剛度矩陣K時，對于斜桿在局部坐標(biāo)系下的剛度矩陣要進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，即由單元坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)系[4]。兩種坐標(biāo)系中單元剛度矩陣的變換式為

其中對于自由式平面剛架單元

經(jīng)過轉(zhuǎn)換得出整體坐標(biāo)系下的剛度矩陣后，再通過定位向量將其對應(yīng)項定位進(jìn)總剛度矩陣。

2 利用廣義定位向量得到總剛度矩陣

下面將介紹如何利用廣義定位向量得出斜向桿件在總體坐標(biāo)系下的剛度矩陣。取結(jié)構(gòu)中的一根斜向桿件來示例，見圖1。

圖1 斜桿編號

圖 1 中X、Y為結(jié)構(gòu)的整體坐標(biāo)系，0、0、0、1、2、3為桿件在結(jié)構(gòu)的整體坐標(biāo)系下的編號，帶上劃線的數(shù)字為桿件在局部坐標(biāo)系下的編號。根據(jù)結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)角θ和受力平衡可以得出

由此可以寫出廣義定位向量λ=（0cosα+0sinα，0sinα+0cosα，0,1cosα+2sinα，-1sinα+2cosα，3）

因為0在定位向量中代表沒有該項的意思，所以該斜桿的廣義定位向量λ可以簡化為λ=（0,0,0，1cosα+2sinα，-1sinα+2cosα，3）

假設(shè)單元在局部坐標(biāo)系下的剛度矩陣為

由定位向量λ可以得出

定義k12為該斜桿對結(jié)構(gòu)總剛度矩陣K中K12的貢獻(xiàn)，則k12由式（3）坐標(biāo)系下斜桿剛度矩陣左側(cè)行定位向量λ中帶1項與上側(cè)列定位向量λ中帶2項所對應(yīng)的k計算得出，式（3）中帶下劃線的項。具體算法為

計算時不考慮定位向量λ中1、2、3等數(shù)字，僅計入數(shù)字前面的正負(fù)號和sinα、cosα，其中符號處理方式為對應(yīng)的行、列碼中均有負(fù)號，其負(fù)號不變。依次可以得出

通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣T和定位向量λ的方法得出的該斜桿對結(jié)構(gòu)總剛度矩陣K的貢獻(xiàn)矩陣和使用上述方法得出的結(jié)果完全一致。說明利用廣義定位向量來得出總剛度矩陣的方法是可行的。

對于λ=（0cosα+0sinα，0sinα+0cosα，0，1cosα+2sinα，-1sinα+2cosα，3）：當(dāng) α=0 時，λ=（0,0,0,1,2,3），與水平桿的定位向量相符；當(dāng)α=90°時，λ=（0,0,0,2,-1,3），與文獻(xiàn)[5]中提出的豎向桿件的簡化方法一致。通過對比矩陣位移法中的定位向量，可以把該種定位向量稱作廣義定位向量。

3 結(jié)論

使用廣義定位向量可以將單元在局部坐標(biāo)系下的剛度矩陣直接定位進(jìn)總剛度矩陣，對于斜向桿件避免了同時使用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣T和定位向量，也就避免了兩次剛度矩陣相乘，簡化了計算，為工程師對結(jié)構(gòu)受力的核算提供了一種相對簡潔的手算方式；同時也揭示了定位向量和坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣T的物理意義和力學(xué)意義。□■

[1]朱慈勉.結(jié)構(gòu)力學(xué)（下冊）[M].北京：高等教育出版社,2004.

[2]田 輝.矩陣位移法分析桁架結(jié)構(gòu)[J].硅谷,2008，（10）：12-13.

[3]劉 建.矩陣位移法的教學(xué)探討[J].黃河水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報,1995，（3）：24-25.

[4]郭繼康.矩陣位移法在忽略軸向變形下解有斜桿剛架[J].四川建筑科學(xué)研究,2000，（3）：14-16.

[5]劉蓉華，蔡 婧.結(jié)構(gòu)力學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與能力訓(xùn)練[M].成都：西南交通大學(xué)出版社,2005.