江蘇高考數學熱點難點淺析

【摘要】分析高考數學難點，把握高考數學熱點，了解試題來源，理解命題背景，對高三數學復習大有裨益！通過揭秘近十年來江蘇高考數學壓軸題的命制，啟發教師在高三數學復習中，應注重培養學生代數式變形與轉化能力；引導學生關注教材中的基本模型；注重學生運算能力的培養，引導學生思考簡捷的算法；要求學生在掌握通性通法的同時，了解試題的高等數學背景；讓學生學會如何抓住基本概念，破解新定義題。

【關鍵詞】江蘇高考數學 試題來源 命題背景 壓軸題的命制 高三數學復習

【中圖分類號】G633 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）18-0-01

一、培養代數式變形與轉化能力

《2018年普通高等學校招生全國統一考試（江蘇卷）說明》（以下簡稱：江蘇高考考試說明）樣卷中第14題選取的2012年江蘇卷第14題。該題考查不等式、函數的導數等基本知識，考查代數式的變形和轉化能力，考查靈活運用有關知識解決問題的能力。問題如下：已知正數滿足：，則的取值范圍是___。命制思路簡析：初稿為：已知正數滿足：，，求的范圍。二稿命制思路：令，整理得2012年江蘇卷第14題。類似的，考查代數式的變形和轉化能力的試題還有2016年江蘇卷第14題。在文[1]中已詳述其命題思路，這里從略。

二、引導學生關注教材中的基本模型

江蘇高考考試說明樣卷中第18題選用的2014年江蘇高考的應用題。本題考查直線、圓、解三角形等基礎知識，考查抽象概括能力和運算求解能力，以及學生的數學應用意識。該題源于教材，以“蘇教版教材必修2第92頁例5”與“蘇教版教材必修2第113頁例2”為背景，采用“多問題重組[2]”的方法命制而成。 此外，2016年江蘇卷第17題、第19題也均為教材例習題改編，其命制思路在文[3]中已詳述，這里從略。

三、培養運算能力，思考簡捷算法

高三復習中，圓錐曲線常出現的問題是：學生通性通法的思路都懂，就是算不出來。如何運算、選擇怎樣的算法打開運算死結呢？請看以下江蘇高考題命制思路：

（2011江蘇卷第18題命制思路）有心圓錐曲線中點弦的統一性質：設橢圓（雙曲線）（m、n均不為0，且不同時為負數）過中心的弦為AP，曲線上異于A，P的任意一點為B，則，因為，所以，又因為；則；令橢圓方程為，則，據此命制2011江蘇第18題第（3）問。此外，2012年江蘇卷第19題、2015年江蘇卷第18題除通性通法外，還可使用參數方程、極坐標等方法求解。

四、掌握通性通法，了解高等數學背景

江蘇高考考試說明樣卷中第19題選用的2013年江蘇高考第20題。該題考查函數的單調性、最值、零點等基礎知識，考查靈活運用數形結合、分類討論等數學思想方法。其命制思路如下：

函數的圖像在單調遞增，在單調遞減，最大值為，（此處極限值用洛必達法則求得）

若，則當時，方程的根個數為1，當時，方程的根個數為2，據此命制2013年江蘇高考第20題第（2）問。2016年江蘇卷第20題、2012江蘇卷第20題、2010年江蘇卷第18題、2008年江蘇卷第14題也涉及高等數學背景。在文[1]中已詳述2008年江蘇卷第14題、2016年江蘇卷第20題、2012江蘇卷第20題的命制思路，這里從略。2010年江蘇卷第18題的命制思路如下：由高等幾何知識知：點T（t ， m）關于橢圓的極線方程為：，此直線恒過x軸上一定點，從而直線MN必過定點。令橢圓方程為：，則直線MN必過定點（1，0），據此命制2010年江蘇卷第18題第（3）問。同時，該題第（3）問還可以用向量法、合分比性質打開運算死結。作為仿射變換的典型示例，該題結論也適用于雙曲線。

五、抓住基本概念，破解新定義題

2017年江蘇卷第19題與2011年江蘇卷數學第20題第（2）問方法一致。學生抓住基本概念，均可破解。2014年江蘇卷第20題考查數列的分拆。以上為新定義的數列壓軸題，新定義的導數壓軸題有2010年江蘇卷第20題，現給出其第（2）問的簡便解法：

，所以在上為增函數.注意到，所以

（顯然，否則，矛盾！）

對于

，滿足題意.

對于，同理有與題設矛盾，舍去。從而

六、復習建議

（1）教師要引導學生做透教材中的例題和習題，并善于尋找高考試題在教材中的原型，探索出高考題與教材題目的結合點，利用這些指導我們的高考復習。（2）強化運算能力（包括速度和技巧）的訓練。要強化到每一天， 每一練，每一題。（3）在審題方面， 要提升解讀層次， 加大穿透題意的力度。（4）要在乎來自各個方面的信息。除關注考查內容的變動，考綱要求的微調等高考信息外，還應該關注——教材、往年高考題、競賽題。

參考文獻：

[1：劉蔣巍.例談試題打磨的九種方法[J].文理導航（下旬），2016，No.252（12）：98.

[2] 劉蔣巍.一道高中數學聯賽模擬題的命制與解析[J].中學數學教學參考，2018，（03）.

[3] 劉蔣巍.例談高中數學教材試題的衍生——以江蘇高考數學試題命制為例[J]. 文理導航（中旬），2017，No.257（02）：18.

作者簡介：劉蔣巍，江蘇如東人，CNKI大成編客推薦主編，學思堂教育研究院教研員。在《高等數學研究》、《中學數學教學參考》等雜志發表論文20余篇，著作有《命題轉換的9種方法在教學中的運用》等，《悠悠古文之路，漫漫古典情懷——走進唐宋八大家》編委。