一種模糊自適應粒子群優化算法的分數階PIλDμ控制器設計

那景童，張旭秀

0 引言

分數階微積分表示微分和積分階次是分數的微積分運算.單從這個意義上講，分數階微積分是整數階微積分在階次上的一種推廣，或者說前者是后者的一般形式[1].因此比起整數階微積分，分數階微積分可以更加準確的描述系統屬性特征，較整數階控制系統能夠獲得更好的控制品質，從而研究分數階控制理論具有非凡意義[2].在分數階控制理論的研究范疇內，針對各類分數階控制器設計及其參數整定一直是分數階控制理論研究熱點問題.

Podlubny教授在1999年提出了分數階PIλDμ控制器，為分數階控制器奠定了基礎，并證明了較傳統PID控制器，應用分數階PIλDμ控制器能夠取得更優的系統控制品質[3](上升時間短、超調小、穩定誤差小、魯棒性強等).但是由于PIλDμ控制器多了兩個可調參數使得控制器設計及參數整定的難度大大提高.文獻[4]提出了采用相角裕度和幅值裕度方法整定分數階控制器，實現了分數階高精度控制，然而該方法只能整定

具有三個參數的分數階控制器如PIλ控制器或PDμ控制器；文獻[5]采用主導極點法開展了分數階PIλDμ控制器參數整定方法的研究，結果表明，該方法存在計算量大且整定過程相對復雜等不足.因此，越來越多的研究人員著眼于采用優化算法設計分數階PIλDμ控制器，如文獻[6]將粒子群優化算法用于整定分數階PIλDμ控制器的參數，但收斂精度底，容易陷入局部最優解，導致尋優效果不理想，甚至出現搜索失敗；文獻[7]將遺傳算法用于整定分數階PIλDμ控制器的參數，該算法在尋優過程中，由于部分迭代值尋優不當使得整個控制系統不穩定，尋優不能繼續.基于此，本文采用FAPSO方法整定分數階PIλDμ控制器參數，數字仿真證明，該方法能夠獲得更好的控制效果.

1 模糊自適應粒子群優化算法

1.1 粒子群優化算法介紹

Kennedy和Eberhart于1995年基于對鳥群運行模式的簡化研究及行為模擬開發了一種優化算法即粒子群優化算法[8].假設在一個D維的搜索空間里存在n個微粒，這時每個微粒代表以一定速度飛行的一只鳥.對于要求解的優化問題，此時的每個微粒就是一個潛在的解.對于每個微粒都具備以下信息：到目前為止自己發現的最優位置(pbest)，并以pbest作為自身飛行的經驗；到目前為止整個群體所找到的最優位置(gbest)，該值為pbest中的最優值.在整個尋優過程中，每個粒子的適應度取決于所采用的優化函數的值.粒子群優化算法是一種迭代優化算法即每個粒子通過若干次迭代搜索，最終找到最優解.在每次的迭代過程中，微粒通過追蹤pbest與gbest的位置來更新自己.PSO在尋優過程中，運用下式來更新自身的速度與位置：

vk+1=ωvk+c1r1(pbestk-xk)+

c2r2(gbestk-xk)

(1)

xk+1=xk+vk+1

(2)

式(1)、(2)中，vk表示微粒的當前速度、xk表示微粒的當前位置、ω為慣性權重、c1、c2為非負常數，r1、r2稱為加速常數，分別用來表示pbestkgbestk對每個粒子的影響強度，一般取c1、c2∈(0,2)，r1、r2∈[0,1].

(3)

式(3)對微粒的速度進行了限制，如果微粒速度太大，可能會飛過最優解；如果微粒速度太小，微粒容易陷入局部搜索空間而得不到最優解.

1.2 模糊自適應粒子群優化算法

在傳統PSO算法中，慣性權重是用來平衡局部和全局搜索能力的變量.以往研究者運用線性減小的方法來對慣性權重進行尋優操作[9]，即在尋優開始時，取一個相對較大的值，這樣在算法進行初始階段有較強的全局搜索能力，隨后以線性速度減小到一個較小值，這樣在將要出現最優解時(算法的局部搜索能力也增強.由于PSO優化過程是非線性的，所以運用線性減小慣性權重的方法并不能得到算法的最佳搜索狀態.因此，可以通過對慣性權重進行非線性、自適應動態的取值，使PSO算法的局部和全局搜索能力達到更好的平衡.此外，常規的 PSO 算法，在粒子追逐最優的過程中，限制了粒子速度的取值范圍，但沒有限制粒子位置的取值范圍,如式(2)，當vk+1變化較大時xk+1的變化也增大，這樣，在粒子追逐最優的過程中，越接近最優粒子，算法越易陷入局部最優，收斂速度加快，優化提前終止.因此本文提出一種采用模糊規則的方法來動態調整慣性權重的值及位置更新.

對慣性權重采用如下隸屬度函數進行模糊處理：

(4)

其中，μ1為廣義正態分布的隸屬函數，a、b為常數，分別取7和2，z是以搜索代數為自變量的正態分布函數值.通過μ1對ω進行控制，搜索空間由小到大變化，搜索一定代數，搜索空間轉為由大到小變化，從而可更靈活地調節全局搜索和局部搜索能力，將式(4)代入式(1)得：

c1r1(pbestk-xk)+c2r2(gbestk-xk)

(5)

對位置更新采用如下隸屬度函數進行模糊處理：

(6)

式(6)中，μ2為S形隸屬函數，α、c為常數，對不同的函數優化取值不同，T為給定閾值，與算法的最大迭代次數有關.當迭代次數較低時，隸屬度取1，粒子位置改變較大；當迭代次數大于某給定的閾值時，粒子的改變放慢，到達一定迭代次數又可加快些，這樣進行自適應控制可以有效地避免陷入局部最優解，將式(6)帶入式(2)得：

(7)

2 分數階 PIλDμ控制器設計

2.1 分數階PIλDμ控制器描述

本文所設計的分數階PIλDμ控制器采用如下形式的數學模型[10]:

(8)

這里考慮到離散化效果與適用性，在分數階微積分算子離散化過程中生成函數采用Al-aloui算子，即

(9)

對式(9)采用連分式展開得：

(10)

式(10)中T為采樣周期、γ為分數階微積分階次、P、Q是變量Z-1的多項式，可通過查表得到.采用Al-aloui算子+連分式展開方法，則可得到分數階微積分算子s±γ的整數階傳遞函數，將所得整數階傳遞函數代入到式(8)，即可實現分數階PIλDμ控制器的離散化.

2.2 分數階PIλDμ控制器參數設計

在本文尋優過程中，采用式(11)作為每個微粒的適應度函數：

(11)

式(11)中J屬于積分絕對誤差(ITAE).|e(t)|為輸入輸出誤差的絕對值；t為控制系統輸出信號跟蹤上輸入信號時間，ITAE作為評判標準，其涉及快速性、準確性、穩定性，能夠較好的評價控制系統的性能.最終可以看出基于模糊自適應PSO算法的分數階PIλDμ控制器參數整定問題轉變為有約束的優化問題，具體優化步驟可簡述為：

步驟1 根據文獻[10]設置進化代數、參數優化維數、粒子種群數等，初始化所有粒子的速度和位置；

步驟2 把每個微粒的位置向量依次作為 控制器參數，計算其適應度函數值；

步驟3 對慣性權重及粒子的位置更新分別用式(4)、式(6)進行模糊處理，采用式(5)、式(7)更新粒子的速度和位置；

步驟4 判斷全局最優值是否滿足精度要求，或算法迭代已達到設置的進化代數，若滿足，則迭代結束，并輸出最終的全局最優值作為問題的解，否則繼續迭代，重復步驟2～4.

3 仿真實驗與結果討論

為了驗證本文所提基于模糊自適應粒子群優化算法所整定的分數階PIλDμ控制器效果，這里分別選取整數階被控對象與分數階被控對象進行討論.

例1考慮受控對象為整數階模型[11]：

(12)

本文所提FAPSO算法種群維數為5，種群大小取60，粒子總數為1000，最大迭代次數為200.以式(12)為被控對象運行FAPSO優化算法，分數階PIλDμ控制器的五個參數整定結果如下：

因此，可得分數階PIλDμ控制器為：

(13)

同時采用傳統PSO算法整定的分數階PIλDμ控制器為：

(14)

采用式(13)、(14)控制器分別對整數階模型(12)進行單位階躍響應，得到系統仿真對比圖如圖1所示.

圖1 整數階被控對象系統單位階躍響應對比

從圖1的階躍響應對比可得，本文設計的分數階PIλDμ控制器無論是在上升時間、調節時間、超調量均優于傳統PSO設計的PIλDμ控制器.

為了驗證所整定控制器的魯棒性，改變整數階模型系數，即

(15)

圖2 模型失配時系統的單位階躍響應對比

從圖2的階躍響應對比可得，本文設計的分數階PIλDμ控制器具有更強的魯棒性.

例2考慮一個分數階受控對象模型[12]：

(16)

以式(16)為被控對象運行FAPSO優化算法，分數階PIλDμ控制器的五個參數整定結果如下：

因此，可得分數階PIλDμ控制器為：

(17)

同時采用常規PSO算法整定的分數階控制器為：

(18)

采用式(17)、(18)控制器分別對分數階模型(16)進行閉環單位階躍測試，得到系統仿真對比圖如圖3所示.

圖3 分數階被控對象系統單位階躍響應對比

從圖3的階躍響應對比可得，本文設計的分數階PIλDμ控制器無論是在上升時間、調節時間、超調量均優于傳統PSO設計的PIλDμ控制器.

為了驗證所整定控制器的魯棒性，改變分數階模型系數，即

(19)

由圖4可得，本文所提FAPSO方法相比傳統PSO算法，在魯棒性方面具有優勢.

為了更有效說明運用本文方法所整定的分數階PIλDμ控制器具有更好的時域控制品質和魯棒性，這里選取閉環系統的超調量δ%、絕對時間誤

圖4 模型失配時系統的單位階躍響應對比

差積分ITAE、調節時間ts作為驗證系統控制品質的指標，如表1所示.

表1控制系統性能指標對比

模型方法原被控對象模型參數攝動后模型δ/% ITAEtsδ/% ITAEts整數階模型FAPSO12.791.652512.7193.5223PSO13.7132.8622014.28171.8217分數階模型FAPSO2.3111.612.33.48513.432.5PSO7.0940.76315.5187. 336.5

由表1可得，無論整數階被控對象，還是分數階被控對象，本文給出的FAPSO分數階PIλDμ控制器設計方案，在超調量、ITAE、調節時間均優于傳統PSO設計的分數階PIλDμ控制器.在整數階受控對象模型失配情況下，整個閉環系統在采用本文方法所設計的分數階PIλDμ控制器作用下，超調只增加了0.01、ITAE增加了1.87，調節時間下降2 s,而系統在傳統PSO設計的控制器作用下，超調提高了0.58，調節時間下降3s，但ITAE增加了38.94.在分數階受控對象模型失配情況下，傳統PSO設計的分數階PIλDμ控制器性能更為不足.因此相比傳統PSO整定的控制器，文章所提方法具有更好的動靜態特性和更強的魯棒性.

4 結論

本文針對以往分數階PIλDμ控制器參數整定復雜問題，提出基于FAPSO算法的分數階PIλDμ控制器整定方法.通過對整數階被控對象和分數階被控對象進行單位階躍測試，以及對兩被控對象參數攝動后的單位階躍測試，通過結果可以可得，相比傳統PSO整定的控制器，文章所提方法具有更好的動靜態特性和更強的魯棒性.

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