基于精細算法的焊接結構疲勞壽命預測方法研究

李曉峰，劉艷龍，劉彩運，丁浩然

0 引言

隨著軌道運載工具速度的提高，焊接結構的失效越來越趨向于外在復雜載荷引起的振動疲勞開裂，所以在軌道車輛產品的設計過程中不能僅以滿足靜強度的安全要求為主.軌道車輛在實際的高速運行中，車體承受著來自軌道隨機不平順的激勵，動載荷加劇，而傳統車輛動力學分析主要以多剛體動力學為基礎，模型簡化嚴重，不能很好的反應車體部件局部詳細信息.再者，對現有的隨機振動理論公式求解規模較大，計算效率極低.要想對大型工程問題進行計算必須進行大量簡化，這樣就不能保證計算環境的完整性以及計算結果的精確性[1].

目前基于有限元法的焊接結構疲勞評估方法多采用以材料力學范疇中定義的名義應力表征典型焊接結構件及接頭的疲勞強度，并給出描述與定義焊接接頭疲勞能力相關的S-N曲線.然而在實際工程有限元計算時名義應力值會根據網格大小尺寸和單元類型不同而異，在大型工程計算中很難精確的描述應力值，同時相關標準給出的S-N曲線沒能全面的考慮實際工程中接頭幾何，載荷形式、厚度等情況，在疲勞評估過程中也只能依靠經驗和主觀判斷，在S-N曲線的選擇上就會因人而異，那么基于有限元方法的疲勞評估很難保證其置信度.同時在有限元求解過程中也會遇到網格大小敏感問題，計算結果將因人而異[2].

總之，傳統的隨機振動疲勞分析計算效率低，評估過程沒有足夠的一致性，已經成為軌道車輛等復雜工程結構隨機振動疲勞分析的難題.本文從求解隨機振動疲勞的方法研究入手，利用隨機過程的虛擬激勵法與求解結構振動的振型分解法相結合的仿真分析系統，并與結構應力法相結合，進行軌道車輛焊接結構振動疲勞壽命的預測，并通過對某平車的隨機振動疲勞分析的工程實例，驗證該方法的可行性.

1 相關理論與流程

1.1 動力學方程的求解

軌道車輛為輪軌接觸，其主要結構由車體、走行部等部件組成，在精細隨機振動算法中認為車輛運行是各部件完全平穩隨機相互激勵的線性過程，且相互連接的懸掛裝置里的彈簧與阻尼部件為線彈性變化，其結構動力學方程為：

(1)

式中,x(t)為時間歷程位移的變化；M、C、K系數為質量、阻尼與剛度矩陣常數；F(t)為時間歷程的變化載荷矩陣.

由傳統隨機振動理論，受平穩隨機激勵的線性系統結構動力學方程(1)的響應x(t)的自譜密度Sxx(ω)為：

SFF(ω)=|H(ω)|2Suu(ω)

(2)

式中,H(ω)為頻率響應函數；SFF(ω) 為隨機載荷F(t)的自譜密度函數.

當質量、剛度、阻尼不隨時間變化，則系統屬于線性振動系統，可以對式(1)做傅氏變換計算單位簡諧載荷作用下焊接結構的焊趾處節點位移響應，得位移線性頻響函數[3].

(3)

對于軌道交通裝備的計算模型少則幾十萬自由度，多則百萬，對于頻率響函數H(w)這樣一個n×n的矩陣(n為自由度數)求解計算，可想而知計算量是多么的大.

隨機振動精細算法通過分別建立軌道車輛的輪對、構架、車體的結構動力學方程進行耦合，利用振型分解法取前q階振型進行組合(對于局部點的撞擊或高速旋轉的機械不平衡力所激起得的多振型中起主要作用的為前q階振型)，經過質量歸一化，以及由剛度、質量、阻尼之間的矩陣正交性可將整車系統物理坐標下的響應變換為模態坐標下的響應，基于虛擬激勵法[4]，可得到結構內力的功率譜：

SFF(ω)=|H(ω)|2Suu(ω)

(4)

式中,Suu(ω)為軌道不平順自譜密度函數.

如此將隨機振動的求解問題轉換為簡諧振動分析問題，避免了傳統公式中大量矩陣連乘的運算計算效率大幅提高，詳細求解計算可參考文獻[5].

1.2 主S-N曲線疲勞預測法理論基礎

主S-N曲線法是由美籍華人董平沙教授發明的最新疲勞壽命預測方法[6]，2007年正式寫進美國ASME標準，它是以不受有限元網格大小影響的結構應力法和主S-N曲線法為基礎的.

所謂結構應力是指膜應力σm與彎曲應力σb二者之和，它是由外力引起的焊縫、焊趾或焊根處的應力，它具有明確的物理意義[7].結構應力σs在焊趾處截面上高度方向呈非線性的分布，一是與外載荷互相平衡的那部分，非線性那部分為缺口應力自平衡，而結構應力就是與前者對應的那部分(見圖1).

圖1 焊趾處的應力分布

結構應力法有效的避免了網格大小對應力計算結果的影響，同時基于斷裂力學的理論，將結構應力值Δσs、彎曲應力狀態I(r)、板厚t三個影響疲勞強度的主要因素通過積分手段一起定義了一個新的物理量：等效結構應力ΔSs，見式(5).根據等效結構應力求解焊接結構疲勞壽命的計算見式(6)，式中Cd及h為主S-N曲線方程試驗常數，可在ASME(2007)標準中查閱.

(5)

疲勞壽命：N=(ΔSS/Cd)1/h

(6)

雖然結構應力法在疲勞壽命評估中提高了精確性，但并沒有達到非常理想的效果.由于焊接結構中的焊接缺陷是必然的，因此，運用斷裂力學的方法來描述疲勞損傷過程作為裂紋擴展過程，將影響焊接結構疲勞壽命的主要因素進行統一歸納，推導出來的等效結構應力ΔSs作為S-N曲線方程，將分散的數據壓縮分布于更為狹小的窄帶里(見圖2)，以一條主S-N曲線評估各種不同焊接接頭疲勞壽命，從而使疲勞壽命評估達到更為理想的預測效果.

目前結構應力法主要運用在靜力學計算中，利用單位靜態載荷結構應力與時變載荷的線性對應關系獲得有限元網格節點的結構應力變化范圍，再根據主S-N曲線評估焊接結構的壽命.如果結構應力是來自動力學計算結果，那么利用主S-N相關理論就可以評估焊縫處振動疲勞.

(a) 結構應力S-N曲線試驗數據

(b) 等效結構應力S-N曲線試驗據

1.3 動態結構應力的計算

基于有限元理論的基本理論，網格不敏感結構應力的計算是基于截面上節點力的合力一定與外力平衡，假設一個焊接接頭的遠場外力在截面上既有拉伸貢獻的膜應力也有彎曲貢獻的拉應力，參考圖1，與外力平衡的是膜應力與彎曲應力之和，板厚確定以后結構應力公式如下：

(7)

式中,fy、mx分別為焊線上的線力與線力矩;t為板厚；在主S-N曲線法中線力與線矩是指將焊趾定義為焊線以后單位長度上的力與力矩，如圖3所示.

圖3 兩個節點時節點力及線力分布

不失一般性，將一段焊縫劃分成n個單元時，節點編號由1～n，焊線上的各節點距離為1～n-1，根據力的平衡方程，可求得各節點力Fyn與線力fyn的對應關系：

{Fy1,Fy2,…,Fyn}T=L{fy1,fy2,…,fyn}T

(8)

上式中矩陣L只與節點距離相關，這里定義為單元長度等效矩陣[8-9]：

由此可得線力與節點力的對應關系：

{fy1,fy2,…,fyn}T=L-1{Fy1,Fy2,…,Fyn}T

(9)

同理，線矩mx與節點力矩Mx與上述表達式形式相同，這樣當有n個節點在相同的單元厚度t的情況下，各節點的結構應力σn，以及各節點力Fyn及力矩Mxn可用矩陣方式表為：

(10)

頻域下焊趾處的節點力可由有限元模型中的剛度矩陣與節點位移頻響函數相乘獲得

(11)

系統坐標系下的節點力可按照如下公式轉換：

(12)

B為從單元局部坐標到系統坐標的轉換矩陣.

系統坐標系(x,y,z)下焊趾處節點力向量{F(ω)}和力矩向量{M(ω)}需要向焊縫局部坐標系(x′,y′,z′)變換，變換后得到焊線局部坐標系節點力向量{F′(ω)}和力矩向量{M′(ω)}，坐標的y向始終與焊線的切線方向垂直，x方向與焊線相切(見圖4).

圖4 基于焊線的局部坐標示意

式中,T是通過有限元網格模型獲得的節點坐標獲得變換矩陣;N為相鄰兩單元節點力和力矩合成矩陣.利用式(13)可以得到頻域下的等效線力和線力矩.

(14)

(15)

在獲得了焊線各節點線載荷及線力矩，使用結構應力計算公式可以獲得焊線各節點結構應力的頻響函數.

(16)

(17)

根據ASME標準中提供的等效結構應力計算公式，可獲得頻域下的焊線上各節點等效結構應力的頻響函數：

(18)

式中，I(r(ω))是頻域下的彎曲比;t為板厚;m為標準中給定常數，因此頻域下彎曲比與頻域載荷之間也存在線性傳遞關系.這樣一來，頻域等效結構應力與頻域載荷之間也存在線性傳遞關系.可以利用隨機振動相關的理論計算隨機載荷作用下焊縫處的等效結構應力響應.

1.4 焊縫處疲勞損傷計算

根據隨機振動理論，基于載荷的自功率譜、載荷之間的互功率譜，以及前面已經獲得的等效結構應力頻率響應函數，這樣就可以獲得焊線上每個節點的等效結構應力響應功率譜：

(19)

等效結構應力變化范圍是主S-N曲線公式中的一個參量，而Dirlik法可以對某個隨機物理量的功率譜進行統計而獲得該物理量的概率密度函數，因此基于Dirlik法對等效結構應力功率譜進行統計[10]，就可以獲得以單位時間度量的不同等級的應力變化范圍的發生次數.

根據Miner疲勞損傷積累原理可以計算出單位時間內焊線上某一點的疲勞損傷值[11]：

(20)

至此焊接結構振動疲勞壽命概率預測方法流程如圖5所示.

圖5 焊接結構隨機振動精細算法疲勞壽命預測流程圖

2 工程實例分析

某廠平車在鐵路線路上運行不久發現底架大橫梁與中梁腹板連接處焊縫開裂，如圖6所示，為了分析這個問題，利用本文提出的焊縫疲勞壽命預測方法對該處焊縫進行了壽命預測.首先建立該車體有限元模型(如圖7所示)，焊縫位置定義

圖6 實際焊縫開裂位置與焊線節點的定義

圖7 平車車體有限元模型

圖8 車體開裂點處加速及其功率譜密度

圖9 焊縫疲勞壽命

如圖6所示.計算結果表明焊縫最低點壽命與該車運行焊縫開裂位置一致，且壽命預測結果也與該車焊縫開裂時間基本吻合,如圖8，圖9所示.

3 結論

將當前最新的疲勞預測方法一主S-N曲線法與隨機振動精細算法理論相結合，探究了在隨機載荷作用下焊縫疲勞壽命預測的新方法.該方法的主要特點是利用分體耦合式振型分解法結合虛擬激勵算法求解動力學方程，大幅度提高了模型計算效率，從而可以建立起包括焊縫在內的精細有限元模型，保證了計算結果準確性.算例表明，該方法可以直接利用加速度功率譜快速得到焊線

等效結構應力變化范圍的概率分布，從而預測焊接構件疲勞壽命，并且計算結果與實際結構焊縫失效時間基本一致，這對在設計階段改善焊接結構抗疲勞性能具有工程應用價值.

參考文獻:

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[10]DIRLIK T.Application of computers in fatigue analysis[D].England:The University of Warwick,1985.

[11]李曉峰.基于虛擬疲勞試驗的鐵路車輛焊接結構疲勞壽命預測[D].大連：大連交通大學，2008.