三角函數線解題之妙用

朱克紅

摘 要：我們在解決三角函數的一些有關題目（如解不等式（組）、三角函數值的大小比較、求定義域以及不等式的證明等等）時，經常要用到數形結合的思想方法，即利用三角函數線（正弦線、余弦線、正切線）與單位圓的完美結合，構造巧妙的數學模型，成為解決某些三角函數問題的有力工具。三角函數線與單位圓的充分結合，不僅能夠從圖形中刻畫三角函數的性質，而且還能直觀的展示出三角函數的值以及符號的正負，發現三角函數值的變化特點，所以二者的有效結合已經成為研究三角函數的一個重要工具，巧妙用之，能使某些復雜且難度較大的三角函數問題得以簡化，輕松解決，達到事半功倍的效果。下面我就用幾個典型的例子來說明三角函數線的巧妙之用，供讀者參考。

關鍵詞：三角函數；不等式；數學

一、用三角函數線解不等式

例1：解不等式[sinx≥32]。

解：如圖，在（0，2π）內，利用正弦線作出正弦值為[32]的角的終邊，可以發現，在（0，2π）內，正弦值為[32]的角為[π3]和[2π3]，所以不等式[sinx≥32]的解集為：[[π3]+2[kπ]，[2π3]+2[kπ]]（[k]∈[Z]）。

【點評】

在解決三角函數不等式時，可以先求出[0，2π）內的取值范圍，在根據周期性寫出R上所求的范圍，同時還要注意端點值是否可以取得。

二、用三角函數線比較三角函數值的大小

例2：比較[sinx，cosx，tanx]的大小，其中[x]∈（[π4]，[π4]）。

解：如圖，在[x]∈（[π4]，[π2]）時，角[x]的終邊落在第一象限，所以[sinx，cosx，tanx]三者的符號均為正，在單位圓中分別作出角[x]的正弦線MP，余弦線OM，正切線AT，由圖可知，OM

【點評】

利用三角函數線與單位圓的完美結合，使得抽象復雜的問題變得直觀，簡單明了。

三、用三角函數線求函數的定義域

例3：求函數[f（x）=2sinx-1+lg （1-2cosx）]的定義域。

分析易知，[f][（x）]的定義域由兩個限制條件共同決定，可轉化為不等式組的問題來求

即求不等式組[2sinx-1≥01-2cosx>0]的解集。如圖，在（0，2π）內，[2sinx-1≥01-2cosx>0]的解集為圖中陰影部分所示，即[x∈（π3，5π6]]，再由周期性便可以得出[f][（x）]的定義域。

解：由[2sinx-1≥01-2cosx>0]得：

[sinx≥12cosx<12π6+2kπ≤x≤5π6+2kππ3+2kπ

即[f（x）]的定義域為[[2kπ+π3，2kπ+5π6]]（[k]∈[Z]）。

【點評】

在求解三角函數不等式組的交集時，直接求解可能會陷入僵局，所以借助三角函數線的作用會化難為易，達到事半功倍的效果。

四、用三角函數線證明三角函數不等式

三角函數線不僅在解不等式（組）、比較大小、求定義域上體現出極大的優越性，而且在證明中也表現出它強大的功能和作用。

例4：求證：[sinα<α

證明：如圖，⊙O為單位圓，[α]的終邊交⊙O于P，過P作PM⊥[x]軸于M，過[x]軸與單位圓的交點A作單位圓的切線AT，交[α]的終邊于T，連接AP，有三角函數線的定義知，MP=[sinα]，AT=[tanα]，由圖可知，因為α[?]（0，[π2]），所以[S?OAP

而[S?OAT=12OA·AT=12tanα]，

[S扇形OAP=12α·R2=12α]，

[S?OAP=12OA·MP=12sinα]，

故[12sinα<12α<12tanα]，

所以[sinα<α

【點評】

此題若不借助三角函數線的功能來解決，是很困難的，所以在單位圓中作出正弦線、正切線及[α]弧段，借助三角函數線的幾何直觀性，建立各圖形面積不等式，便能容易地獲得結論。