基于多體系統(tǒng)理論的數(shù)控機(jī)床加工精度幾何誤差預(yù)測模型*

王洪樂 周青華 熊青春③

(①西安增材制造國家研究院有限公司，陜西 西安 710300；② 四川大學(xué)空天科學(xué)與工程學(xué)院，四川 成都 610065；③成都飛機(jī)工業(yè)(集團(tuán))有限公司，四川 成都 610092)

精密超精密數(shù)控加工機(jī)床精度預(yù)測和誤差補(bǔ)償問題一直是學(xué)術(shù)界研究的熱點(diǎn)[1]。伴隨著國家自然科學(xué)基金委員會(huì)《機(jī)械工程學(xué)科發(fā)展戰(zhàn)略報(bào)告(2011-2020)》的出版[2]和“高檔數(shù)控機(jī)床與基礎(chǔ)制造裝備”重大專項(xiàng)的開展，國內(nèi)外研究學(xué)者對多軸數(shù)控機(jī)床加工精度預(yù)測和誤差補(bǔ)償?shù)葐栴}進(jìn)行了大量深入的科學(xué)研究。

為了減小數(shù)控機(jī)床的機(jī)械加工誤差，提高被加工工件精度，必須對整個(gè)機(jī)械加工工藝系統(tǒng)誤差影響因素進(jìn)行測量、評定、建模和補(bǔ)償，因此建立準(zhǔn)確可靠的數(shù)控機(jī)床精度誤差預(yù)測模型，為后期數(shù)控機(jī)床誤差實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)補(bǔ)償提供有效補(bǔ)償參量極其重要。國內(nèi)外研究學(xué)者針對三軸、五軸機(jī)床以及加工中心，采用了幾何誤差建模法、誤差參數(shù)建模法、二次關(guān)系誤差建模法、動(dòng)靜態(tài)誤差時(shí)變特性建模法、機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)建模法等方法進(jìn)行了數(shù)控機(jī)床精度誤差的建模與誤差補(bǔ)償。Han[3]在1986年采用傅里葉變換方法建立了數(shù)控機(jī)床的空間幾何誤差模型。Reshetov和Portman[4]在1988年根據(jù)小角度誤差假設(shè)，采用變分法計(jì)算出任意結(jié)構(gòu)的數(shù)控機(jī)床誤差精度模型，將數(shù)控機(jī)床的誤差參數(shù)值采用函數(shù)形式表達(dá)，該精度誤差模型包含了數(shù)控機(jī)床成形系統(tǒng)誤差模型、物體小位移誤差模型和空間幾何誤差模型。粟時(shí)平[5]在2002年運(yùn)用多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)理論，分析了多軸數(shù)控機(jī)床的運(yùn)動(dòng)副間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，將三軸、五軸數(shù)控機(jī)床各部件的關(guān)聯(lián)關(guān)系用低序體陣列來表示，并將各部件的幾何變換通過四階齊次特征矩陣表示，系統(tǒng)完整地推導(dǎo)出了數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)誤差精度模型。Hsu[6]在2007年通過將數(shù)控機(jī)床各個(gè)部件作為剛體，根據(jù)多體系運(yùn)動(dòng)學(xué)理論和四階齊次坐標(biāo)變換矩陣構(gòu)建了RRTTT型的五軸數(shù)控機(jī)床幾何誤差模型。2012年范晉偉[7]研究了帶擺角頭的數(shù)控機(jī)床幾何誤差的建模與補(bǔ)償方法，主要建立了理想條件與實(shí)際條件下刀具路線數(shù)控指令及刀具軌跡三者間的相互映射關(guān)系。2016年李杰[8]根據(jù)多軸數(shù)控機(jī)床誤差元素的時(shí)變特性，提出了一種數(shù)控機(jī)床靜、動(dòng)態(tài)綜合誤差的數(shù)控機(jī)床誤差建模方法，并基于此構(gòu)建了靜、動(dòng)態(tài)誤差與刀具軌跡誤差的映射關(guān)系模型。

綜合大量學(xué)術(shù)資料發(fā)現(xiàn)，針對數(shù)控機(jī)床誤差檢測、精度誤差建模、誤差補(bǔ)償方法等方面仍然存在著理論通用性差、誤差元素表述方式困難、計(jì)算參數(shù)易受人為因素影響而出現(xiàn)誤差等方面的問題。本文主要從工程實(shí)踐角度出發(fā)，基于天津大學(xué)劉又午[9-10]教授提出的多體系統(tǒng)理論，研究了B-A擺頭五軸龍門數(shù)控機(jī)床的誤差產(chǎn)生機(jī)理和誤差精度建模方法步驟，并建立了B-A擺頭五軸龍門數(shù)控機(jī)床精度誤差預(yù)測模型。通過采用雙頻激光干涉儀測量B-A擺頭五軸數(shù)控機(jī)床的X/Y/Z軸的各項(xiàng)誤差，并運(yùn)用國防科技大學(xué)李圣怡團(tuán)隊(duì)[11]提出的平動(dòng)軸“十二線法辨識(shí)算法”進(jìn)行計(jì)算，得出數(shù)控機(jī)床的21項(xiàng)空間幾何誤差。將上述各項(xiàng)誤差值代入到B-A擺頭五軸龍門數(shù)控機(jī)床的誤差精度預(yù)測模型中，預(yù)測數(shù)控機(jī)床的加工精度，并與三坐標(biāo)測量儀檢測結(jié)果對比，為后續(xù)開發(fā)數(shù)控機(jī)床誤差補(bǔ)償分析計(jì)算系統(tǒng)和切削工藝優(yōu)化提供理論指導(dǎo)。

1 B-A擺頭五軸龍門數(shù)控機(jī)床精度誤差建模

本文主要研究對象為B-A擺頭的五軸龍門數(shù)控機(jī)床，如圖1所示。在結(jié)構(gòu)方面，相對于普通三軸機(jī)床，增加了2個(gè)擺動(dòng)軸，使其主軸刀具具有姿態(tài)調(diào)整功能，為復(fù)雜曲面結(jié)構(gòu)件的切削加工提供了便利。然而，在多數(shù)機(jī)械加工工廠都普遍存在由于在機(jī)床服役期過長、環(huán)境熱影響、運(yùn)動(dòng)副磨損、維修保養(yǎng)不到位等因素，使同批大量切削加工工件存在尺寸超差和表面質(zhì)量不達(dá)標(biāo)的誤差現(xiàn)象。從該機(jī)床主軸端刀具角度看，其刀具位置和姿態(tài)的誤差包括了機(jī)床幾何運(yùn)動(dòng)誤差、切削熱影響誤差、切削力誤差、伺服控制誤差等等，并把主軸端刀具誤差，稱之為B-A擺頭五軸龍門數(shù)控機(jī)床綜合誤差。因此，從B-A擺頭五軸龍門數(shù)控機(jī)床主軸端刀具出發(fā)，建立該機(jī)床精度誤差預(yù)測模型，測量并辨識(shí)各項(xiàng)空間幾何誤差參數(shù)，可以為后期數(shù)控機(jī)床誤差實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)補(bǔ)償技術(shù)提供理論依據(jù)。

1.1 多體系統(tǒng)理論

多體系統(tǒng)理論[10]是天津大學(xué)劉又午教授在70年代后期提出的，用于分析機(jī)械臂、三坐標(biāo)測量機(jī)、數(shù)控機(jī)床等開環(huán)或閉環(huán)多體系統(tǒng)裝備的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)關(guān)系的理論。其主要采用低序體陣列矩陣方法描述運(yùn)動(dòng)部件間的關(guān)系，簡潔方便且適用于計(jì)算機(jī)自動(dòng)編程描述。多體系統(tǒng)是對一般復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)的完整抽象和有效描述方法，可以用若干柔性或剛性體通過某種方式連接而成，在實(shí)際應(yīng)用中的機(jī)械系統(tǒng)都可以抽象成多體系統(tǒng)，目前已經(jīng)在數(shù)控機(jī)床、機(jī)器人坐標(biāo)測量機(jī)等復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)中廣泛應(yīng)用。如圖1所示，首先在各典型“體”上建立參考坐標(biāo)系；以大地為慣性參考系體B0，以此為基礎(chǔ)，在與大地相連的B-A擺頭五軸龍門數(shù)控機(jī)床工作臺(tái)體1上選定B1體；然后可以按照遠(yuǎn)離體1距離的方向，依次劃定工件2上選定B2體、X向?qū)к夁\(yùn)動(dòng)軸3上選定體B3、在Y向橫梁運(yùn)動(dòng)軸4上選定體B4、在主軸方向的Z向運(yùn)動(dòng)軸5上選定體B5、在A偏擺軸6選定體B6、在B偏擺軸7選定體B7；依據(jù)以上分析，建立B-A擺頭五軸龍門數(shù)控機(jī)床多體系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)關(guān)系圖，如圖2所示。

表1 低序體陣列表

分析該B-A擺頭五軸龍門數(shù)控機(jī)床的低序體陣列關(guān)系。從圖2可以清晰發(fā)現(xiàn)，各個(gè)典型體之間都是通過單約束關(guān)系聯(lián)系起來的，如工作臺(tái)1和X向運(yùn)動(dòng)軸3之間是移動(dòng)副，Z向主軸運(yùn)動(dòng)體5與刀具A向偏擺軸之間是轉(zhuǎn)動(dòng)副。體B2的1階低序體是B1，體B5的2階低序體是B3；將各個(gè)體之間的低序體陣列關(guān)系匯總?cè)绫?所示。

在典型體Bj和相鄰低序體Bi上分別在其上建立廣義坐標(biāo)系Oj-XjYjZj和Oi-XiYiZi，且坐標(biāo)系Bj和Bi是動(dòng)態(tài)坐標(biāo)系，在慣性參考系B0上建立靜坐標(biāo)系O0-X0Y0Z0。點(diǎn)Oj相對于點(diǎn)Oi的位置變化表征了典型體Bj和相鄰低序體Bi的平移位置變化；坐標(biāo)系Oj-XjYjZj相對于坐標(biāo)系Oi-XiYiZi的旋轉(zhuǎn)變化表征了典型體Bj和相鄰低序體Bi的旋轉(zhuǎn)姿態(tài)變化。因此，坐標(biāo)系Oj-XjYjZj和Oi-XiYiZi的相對變化，就轉(zhuǎn)換為了平移位置變化(Wijp)和旋轉(zhuǎn)姿態(tài)變化(Wijs)的結(jié)合，此變化關(guān)系可以用式(1)表示。

Bj←Wijs·Wijp·Bi

(1)

對于B-A擺頭五軸龍門數(shù)控機(jī)床的各個(gè)運(yùn)動(dòng)部件來說，各個(gè)體之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系由運(yùn)動(dòng)約束和結(jié)構(gòu)約束進(jìn)行限定，從每個(gè)運(yùn)動(dòng)部件都有6個(gè)自由度角度考慮，結(jié)合圖1給出的B-A擺頭五軸龍門數(shù)控機(jī)床各部件關(guān)系，可以分析得到各個(gè)運(yùn)動(dòng)體之間的約束自由度，匯總?cè)绫?所示。

表2 B-A擺頭五軸龍門數(shù)控機(jī)床各運(yùn)動(dòng)部件的自由度

在研究了B-A擺頭五軸龍門數(shù)控機(jī)床的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、各個(gè)典型體之間的低序體陣列、各個(gè)典型體之間的自由度約束基礎(chǔ)之上，就可以對各個(gè)典型體之間的變換進(jìn)行詳細(xì)分析。各體間的變換矩陣采用4階齊次矩陣。B-A擺頭五軸龍門數(shù)控機(jī)床的工作臺(tái)1到工件2的轉(zhuǎn)換矩陣為：

(2)

由于B-A擺頭五軸龍門數(shù)控機(jī)床在切削加工中工件2固定在工作臺(tái)1上，式(2)中不包含元素誤差量。

工作臺(tái)1到X移動(dòng)導(dǎo)軌3的轉(zhuǎn)換矩陣為：

(3)

當(dāng)X軸運(yùn)動(dòng)x時(shí)，在其6個(gè)自由度方向產(chǎn)生誤差，在式(3)中用Δx13、Δy13、Δz13、Δα13、Δβ13和Δγ13表示。以下相同。

由X向運(yùn)動(dòng)的立柱到Y(jié)向運(yùn)動(dòng)橫梁4的轉(zhuǎn)換矩陣為：

(4)

由Y向運(yùn)動(dòng)橫梁到Z向運(yùn)動(dòng)軸5的轉(zhuǎn)換矩陣為：

(5)

由Z向運(yùn)動(dòng)軸到A偏擺軸6的轉(zhuǎn)換矩陣為：

(6)

由A偏擺軸到B偏擺軸7的轉(zhuǎn)換矩陣為：

(7)

B偏擺軸到刀具8的轉(zhuǎn)換矩陣為：

(8)

在切削加工中，刀具8安裝在主軸端精度極高，在精度誤差模型中暫不考慮其誤差。

1.2 數(shù)控機(jī)床幾何誤差精度預(yù)測模型

以B-A擺頭五軸龍門數(shù)控機(jī)床為研究對象，根據(jù)前文敘述的方法，結(jié)合主軸端刀具在無誤差理想和有誤差實(shí)際條件下的成形運(yùn)動(dòng)函數(shù)、成形運(yùn)動(dòng)約束方程及實(shí)際成形運(yùn)動(dòng)關(guān)系，可以建立得出B-A擺頭五軸龍門數(shù)控機(jī)床的幾何精度誤差預(yù)測模型。設(shè)定主軸端刀具上任一點(diǎn)P(px,py,pz)，其在刀具坐標(biāo)系內(nèi)的齊次坐標(biāo)為P(px,py,pz,1)，則在工作臺(tái)坐標(biāo)系中的表示為：

(9)

工件上被加工點(diǎn)T(tx,ty,tz) ，其在工件自身坐標(biāo)系內(nèi)的齊次坐標(biāo)為T(tx,ty,tz,1)，則在工作臺(tái)坐標(biāo)系中的表示為：

(10)

則B-A擺頭五軸龍門數(shù)控機(jī)床的精度誤差預(yù)測模型為：

(11)

2 數(shù)控機(jī)床誤差測量

影響數(shù)控機(jī)床出現(xiàn)切削加工誤差的因素眾多，包括傳動(dòng)部件磨損誤差、熱環(huán)境影響誤差、切削速度、切削加速度沖擊誤差等等，結(jié)合第2章節(jié)中的精度誤差模型中的誤差參數(shù)，從主軸端刀具誤差可以稱之為B-A擺頭五軸龍門數(shù)控機(jī)床的綜合誤差這個(gè)角度考慮，采用雙頻激光干涉儀測量B-A擺頭五軸龍門數(shù)控機(jī)床空間幾何誤差，并將測量結(jié)果運(yùn)用粟時(shí)平[5，11]提出的“十二線法辨識(shí)算法”計(jì)算，得出B-A擺頭五軸龍門數(shù)控機(jī)床空間21項(xiàng)幾何誤差。

雙頻激光干涉儀測量五軸龍門數(shù)控機(jī)床的平動(dòng)軸誤差。首先在機(jī)床工作臺(tái)上建立空間虛擬立方體，如圖3所。

在B-A擺頭五軸龍門數(shù)控機(jī)床工作臺(tái)上設(shè)定沿?cái)?shù)控機(jī)床工作空間中的虛擬立方體12條直線運(yùn)動(dòng)測量，其包括X、Y、Z軸單獨(dú)運(yùn)動(dòng)和聯(lián)動(dòng)，誤差測量結(jié)果如圖4所示。

本文將“十二線誤差辨識(shí)算法”[11]應(yīng)用于測量到的B-A擺頭五軸龍門數(shù)控機(jī)床的誤差測量數(shù)據(jù)，辨識(shí)得到B-A擺頭五軸龍門數(shù)控機(jī)床的X/Y/Z運(yùn)動(dòng)軸的21項(xiàng)空間幾何誤差，如圖5所示，并將該結(jié)果應(yīng)用于前文的B-A擺頭五軸龍門數(shù)控機(jī)床的精度誤差預(yù)測模型式(11)中。

3 數(shù)控機(jī)床精度誤差預(yù)測

為了驗(yàn)證該B-A擺角五軸龍門數(shù)控機(jī)床的精度誤差預(yù)測模型的可行性，以及采用平動(dòng)軸的“十二線辨識(shí)算法”[11]的有效性，進(jìn)行了B-A擺頭五軸數(shù)控機(jī)床切削工件精度測量實(shí)驗(yàn)。被切削工件尺寸為：400 mm×400 mm×200 mm，銑削其上表面。經(jīng)計(jì)算得到尺寸精度最大誤差為23 μm至-10 μm，如圖6所示。采用三坐標(biāo)測量機(jī)，檢測工件表面上相應(yīng)點(diǎn)的誤差值并繪制在圖6中。可以看出，精度誤差預(yù)測與測量結(jié)果吻合度很好。表3中給出了在該工件表面上選定的6個(gè)測量點(diǎn)的對比結(jié)果，充分表明了該B-A擺角五軸龍門數(shù)控機(jī)床精度誤差預(yù)測模型準(zhǔn)確度高達(dá)34%以上，對于誤差較大點(diǎn)位的準(zhǔn)確度更高，為后期該B-A擺頭五軸龍門數(shù)控機(jī)床的誤差實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)補(bǔ)償提供了非常有效的參考價(jià)值和理論指導(dǎo)依據(jù)。

4 結(jié)語

本文采用多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)理論，建立了B-A擺頭五軸龍門數(shù)控機(jī)床誤差精度預(yù)測模型，并通過對該機(jī)床平動(dòng)軸進(jìn)行的誤差參數(shù)測量實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了本文所建立的預(yù)測模型的準(zhǔn)確性，對于后期該B-A擺頭五軸龍門數(shù)控機(jī)床精度誤差實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)補(bǔ)償提供了極其有效的參考數(shù)據(jù)。采用雙頻激光干涉儀測量該B-A擺頭五軸龍門數(shù)控機(jī)床在工作臺(tái)空間上標(biāo)定立方體的12條運(yùn)動(dòng)直線產(chǎn)生的誤差，并采用“十二線法誤差辨識(shí)算法”計(jì)算得到了該B-A擺頭五軸龍門數(shù)控機(jī)床的21項(xiàng)空間幾何誤差，將誤差參數(shù)辨識(shí)結(jié)果應(yīng)用于該B-A擺頭五軸龍門數(shù)控機(jī)床精度誤差預(yù)測模型，預(yù)測結(jié)果和三坐標(biāo)測量儀測量結(jié)果十分接近。該方法通用性較好，適用于各種類型結(jié)構(gòu)的多軸數(shù)控機(jī)床，為開發(fā)B-A擺頭五軸龍門數(shù)控機(jī)床誤差實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)補(bǔ)償軟件提供了極好的理論基礎(chǔ)，并為后期工程實(shí)踐中的B-A五軸龍門數(shù)控機(jī)床誤差補(bǔ)償提供了可靠依據(jù)。

表3 誤差精度預(yù)測和測量

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