高考解答題精選

■本刊編輯部

1.在銳角△A B C中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知s i n

(1)求t a n2的值;

(2)若a=2,求b的值。

2.已知公差不為零的等差數列{an},滿足a1+a3+a5=9,且a1,a4,a16成等比數列。

(1)求數列{an}的通項公式;

(2)設求數列的前

nn項和Sn。

3.甲、乙兩人參加某種選拔測試。在備選的1 0道題中,甲答對其中每道題的概率都是,乙能答對其中的5道題。規定每次考試都從備選的1 0道題中隨機抽出3道題進行測試,答對一題加1 0分,答錯一題(不答視為答錯)減5分,得分最低為0分,至少得1 5分才能入選。求：

(1)乙得分的分布列和數學期望;

(2)甲、乙兩人中至少有一人入選的概率。

4.已知正三棱柱A B C-A'B'C',如圖1所示,其中G是B C的中點,D,E分別在線段常數λ,記點M的軌跡為曲線C。

(1)求曲線C的方程,并討論C的形狀與λ值的關系;

(2)若,m=1時,得到的曲線為C1,將曲線C1向左平移一個單位得到曲線E,過點P(-2,0)的直線l1與曲線E交于不同的兩點A(x1,y1),B(x2,y2),過F(1,0)的直線A F,B F分別交曲線E于D,Q兩點,設α,β∈R,求α+β的取值范圍。

6.已知函數f (x)=l nx-x2+a x,x1,x2是函數f (x)的兩個零點,且x1＜x2。

(1)討論函數f (x)的單調性;

(2)求a的取值范圍;

(3)設f'(x)是函數f (x)的導函數,求證

1.(1)在銳角△A B C中,A+B+C=π,

故

(2)因為

將c2-2b cc o sA(余弦定理)中,得b4-6b2+9=0,解得

圖1

2.(1)因為a1+a3+a5=9,所以3a3=9,A G,A'C上運動,使得D E∥平面B C C'B',F是B B'上的一點,且C C'=2B C=8B'F=4。

(1)求證：C'F⊥B'D;

(2)求二面角A'-B'C-C'的余弦值;

(3)求線段D E的最小值。

5.設動點M到坐標原點O的距離和它到直線l：x=-m(m＞0)的距離之比是一個所以a3=3。

因為a1,a4,a16成等比數列,所以a24=a1a16,(3+d)2=(3-2d)(3+1 3d),因為d≠0,則d=1。所以an=a3+(n-3)d=3+(n-3)=n。

(2)由(1)得：

3.(1)設乙得分為ξ,則ξ=0,1 5,3 0。

所以ξ的分布列如表1所示。

表1

(2)設“甲入選”為事件A,“乙入選”為事件B,則故所求概率P=1-

4.(1)如圖2,連接B'G。因為G是B C的中點,所以A G⊥B C,所以A G⊥平面B B'C'C。因為C'F?平面B B'C'C,所以A G⊥C'F。

圖2

又∠C'B'B=所以△C'B'F∽△B'B G,所以B'G⊥C'F。因為A G∩B'G=G,所以C'F⊥平面A B'G。因為B'D?平面A B'G,所以C'F⊥B'D。

(2)如圖2,以G為坐標原點,G B、G A所在直線分別為x軸,z軸,建立空間直角坐標系,則G(0,0,0),B(1,0,0),B'(1,4,0),A'(0,4,),C(-1,0,0),A(0,0,)。所以

設平面A'B'C的法向量為m=(x,y,z),則即

令,得則平面 的A'B'C一個法向量為m=(2 3,-3,2)。

又平面B'C C'的一個法向量為n=(0,0,1),故所求二面角的余弦值為c o s＜m,n＞=

(3)由題意,可設D(0,0,k)(0≤k≤

由故E(λ-1,4λ所以=(λ-1,4λ,3λ-k)。易知為平面B C C'B'的一個法向量。

因為D E∥平面B C C'B',所以

又故當時,線段D E有最小值

5.(1)設M(x,y),由題設有故曲線C的方程為(1-λ2)x2+y2-2m λ2x-m2λ2=0。

①λ=1時,曲線C的方程為：y2=2m·(x+m)是拋物線。

②λ≠1時,曲線C 的方程為

λ＞1時,曲線C的方程為焦點在x軸上的雙曲線;0＜λ＜1時,曲線C的方程為焦點在x軸上的橢圓。

當x∈(0 ,x0)時,f'(x)＞0,f (x)單調遞增;當x∈(x0,+∞)時,f'(x)＜0,f (x)單調遞減。

(2)由于函數f (x)存在兩個零點,所以f (x)max＞0。

由(1)可知f (x)max=f (x0)=l nx0-+a x0,且

所以f (x)max=l nx0-+-1=l nx0+-1＞0。

由于g (x0)=l nx0+-1在(0,+∞)上為增函數,且g(1)=0,所以

所以a的取值范圍是(1,+∞)。

(3)由于x1,x2是函數f (x)的兩個零點,且x1＜x2,所以l nx1-+a x1=0,l nx2-+a x2=0。