以偏差絕對值期望為風險度量的最優投資組合問題研究與數值實現

姜麗華

【摘要】在現代金融領域內，如何度量風險以及如何采取相應的對策使風險最小化，已經逐漸地成為人們關注的熱點問題。馬科維茨作為現代投資組合理論的創始人，他建立了經典的均值方差模型，用方差來度量證券的投資風險。本文首先將在經典的均值一方差模型基礎上，建立用偏差絕對值期望來代替方差度量風險的模型，并且新建立的模型中目標函數將含有絕對值，本文稱新的模型為偏差絕對值期望模型。然后，對模型進行簡化。由于偏差絕對值期望模型的目標函數含有絕對值，不方便計算，所以對模型做適當的轉化。將問題轉化為線性規劃問題再進行計算，這樣將簡化計算的復雜性，避免了通常所需的方差、協方差等數據，擁有計算量更少以及操作更為簡便的優點，具有實際意義。其次，查找不同證券在不同時期的收益數據，并擴大數據維數。

【關鍵詞】投資組合 風險度量 偏差絕對值期望 線性規劃

一、模型的假設

根據題目要求，我們對均值絕對偏差模型做了如下幾點假設：

（1）證券市場是信息流通的，每個投資者都可以獲得所有流通的信息，并能夠得知各種可能的收益率的概率分布情況；

（2）投資者在進行投資決策時往往只關注兩個參數：即投資期望收益率和偏差絕對值期望。期望收益率反映了投資者對未來收益水平的衡量，而偏差絕對值期望反映的是投資者對風險的估計。

（3）投資者所追求的目標是：風險一定的情況下，收益率達到最高；當收益率一定的情況下，風險達到最小。投資者都是風險規避的。

二、模型的建立

偏差絕對值期望模型的風險定義為：

所以在均值方差模型的基礎上，改變風險度量后建立的新模型為：

式中：R1，R2，…，Rn表示n中資產的收益率，x1，x2，…，xn表示對n種資產的投資比例，rp表示n種資產投資組合的預期收益率，μi表示投資者想在資產i中投資的最高比率（j=0，1，…，n），假設不允許賣空，xj≥O。

三、模型的轉化

由于偏差絕對值期望模型的目標函數含有絕對值，在計算過程中很麻煩。所以對模型進行簡化，將其轉化為線性規劃問題，進而對模型求解以及數值實現。

四、模型的求解

單純形法是求解線性規劃的基本方法，并且不管是大法、還是兩階段法，最終都是轉換為基本單純形法。單純形法是由美國數學家丹茲格于1947年首先提出的，是公認的20世紀最偉大的算法之一。單純形法的計算步驟：①首先確定一個初始基可行解。②計算非基變量的檢驗數。③基變換。當初始基可行解不是最優解并且不能判斷它是無界的時候，就再找一個新的基可行解。④迭代（旋轉運算）。