一個具Logistic-型源和非線性信號產出的趨化系統解的漸近行為

宋芳芳， 陶有山

(東華大學 理學院，上海 201620)

趨化性是指細胞朝信號濃度變化大的地方遷移。除隨機擴散運動外，趨化性是生物世界中細胞遷移的最普遍機制之一，其在斑圖形成、細菌聚集和人口遷移等生物過程中起著極其重要的作用。經典的趨化數學模型在1970年由Keller和Segel[1]首次提出。數學上，該模型的一個顯著特征是：在多維空間情形下，解有可能在有限時間爆破。在過去的40多年里，趨化模型已被廣泛研究[2-3]，其中,一些學者定性研究了交叉擴散、Logistic阻尼和非線性信號產出對解的性質的影響。本文考慮以下初邊值問題

(1)

0≤g(s)≤sβ對所有的s≥0

(2)

式中：β為正常數。

α>β

(3)

或者

(4)

那么對任何給定的非負的u0∈W1,∞(Ω),初邊值問題(1)在Ω×(0,∞)上存在唯一且有界的整體古典解。

此外，文獻[5]通過構造上、下解的方法研究了解的長時間漸近行為。與文獻[5]不同，本文通過構造Lyapunov泛函方法，獲得了一個新解的漸近性結果。更精確地說，有如下結果：

式中：M≥1為給定的常數。

時，該古典解u(x,t)具有下列漸近性質，即對所有的t>0, 式(5)和(6)成立。

‖u(·,t)-1‖L∞(Ω )≤Ce-λt

(5)

‖v(·,t)-1‖L∞(Ω )≤Ce-λt

(6)

式中：C>0,λ>0,且兩者為常數。

1 整體存在性和有界性

利用標準的不動點定理可證明系統(1)的局部解存在性，詳細證明參見文獻[3]。

進一步，如果Tmax<∞,則有

下面的質量性質容易驗證。

引理2系統(1)的古典解(u,v)滿足

(7)

證明對系統(1)的第一個方程關于x在Ω上積分，并利用分部積分及系統(1)中的零流邊界條件可得

由H?lder不等式可得

再應用常微分方程比較原理推得式(7)，引理2得證。

現在來推導一個基本的能量型不等式。

引理3對任何p>1,系統(1)的古典解(u,v)滿足：對所有的t∈(0,Tmax),式(8)成立。

(8)

證明根據系統(1)直接計算并利用分部積分，由條件式(2)和v的非負性得：

以式(8)為出發點，當α>β時可以建立u的Lp先驗估計。

引理4假設α>β,則對任何p>1,存在常數C(p)>0使得系統(1)的古典解滿足

(9)

證明由式(8)得到

(10)

(11)

因此，如果取C(p):=c2(p),則式(9)得證。

當α=β時，對適當范圍的p可以建立u的Lp先驗估計。

(12)

證明由于假設α=β,由式(8)得

(13)

從而，利用Young不等式可知：

結合此不等式與式(13)得到

假設式(4)成立，以式(8)為基礎，利用引理5并結合Gagliardo-Nirenberg不等式也能建立u的Lp先驗估計。

(14)

(15)

(16)

接下來，利用假設α=β,由式(8)和Young不等式得到：

(17)

(18)

式中：

從而，由于p0的取法保證：2p0>Nα,因此有

據此并利用Young不等式可以進一步處理式(18)右端的第一項：

(19)

由式(17)～(19)得到

從而引理6得證。

由引理4和6并結合標準的Moser迭代技術，可證明u的有界性。

引理7假設定理1的條件成立,則存在常數C>0 使得系統(1)的古典解滿足

‖u(·,t)‖L∞(Ω )≤C, 對所有的t∈(0,Tmax)

(20)

證明在定理1的假設之下，由引理4和6得到：對任何p>1,存在常數c1(p)>0使得系統(1)的解滿足

(21)

據此并注意到式(2)這個假設，由系統(1)中的第二個橢圓方程及橢圓方程的正則性理論[8]可知：如果在式(21)中當p>N,則有

‖v(·,t)‖L∞(Ω )≤c2(p),t∈(0,Tmax)

(22)

獲得了估計式(21)和(22)之后，可以運用Moser迭代技巧推得式(20)，詳細證明參見文獻[9]。

定理1的證明：定理1是引理1和7的直接推論。

2 解的漸近行為

本節重點討論解的長時間行為，將用到下列簡單的代數引理。

引理8設M≥1為常數，則對任何α>0,式(23)成立。

(s-1)(sα-1)≥K(s-1)2,

對所有的s∈[0,M]

(23)

證明共分4種情形。

情形1α≥1,s≥1。在此情形下，顯然有

(s-1)(sα-1)≥(s-1)(s-1)=(s-1)2

情形2α≥1,0≤s<1。在此情形下，有

(s-1)(sα-1)=(1-s)(1-sα)≥
(1-s)(1-s)=(1-s)2

情形30<α<1,s≥1。在此情形下，由拉格朗日中值定理可知，存在ξ∈(1,s)?(1,M),使得

情形40<α<1,0≤s<1。在此情形下，再由拉格朗日中值定理可知，存在η∈(0,s)?(0,1),使得

即式(23)成立。

下列引理是研究有界古典解的漸近行為的關鍵，本質是構造了系統(1)的一個Lyapunov泛函。由于考慮有界解的長時間漸近性質，所以下文均可假設

引理9假設g(s)=s,u0?0,則系統(1)的解滿足微分不等式：

(24)

證明由于u0≡/ 0,所以由拋物方程的強最大值原理可知，當t>0時，u>0。利用系統(1)中的第一個方程進行直接計算，基于分部積分和基本不等式(23)得

(25)

再利用Young不等式進一步處理式(25)右端的第二項得

(26)

利用假設g(s)=s,將系統(1)中的第二個方程改寫成如下形式：

-Δv=-(v-1)+(u-1),x∈Ω,t>0

在上述方程兩邊同時乘以v-1之后，對x∈Ω積分，并再次利用Young不等式得

(27)

結合式(25)～(27)得：

即式(24)成立。

由不等式(24)可以推出：當t→∞時，u(·,t)在L∞(Ω)中的收斂性。

(28)

則系統(1)的解滿足

‖u(·,t)-1‖L∞(Ω )→0 當t→∞時

(29)

證明若式(28)中的假設成立，有

在上述不等式兩邊關于時間t在(1,t)上積分得

(30)

注意到：對任何s≥0,成立s-lns-1≥0,在式(30)中令t→∞,并結合式(28)有

(31)

得到了估計式(31)之后，接下來的證明與文獻[10]中的Lemma 3.10的證明類似。為便于理解，在此給出簡短證明。由于u是古典解，由拋物方程的Schauder理論[11]得到某個常數c1>0使得

(32)

φ(xj,tj)≥c2, 對所有的j∈N

而式(32)意味著函數φ在Ω×[1,∞)上是一致連續的，因此可以找到小的常數r>0和τ>0使得對任何j∈N成立

既然Ω的光滑性保證：存在某個常數c3>0,使得

|Br(x)∩Ω|≥c3, 對所有的x∈Ω.

據此推得

(33)

但另一方面，根據式(31)及廣義積分的收斂準則得到

而這與式(33)矛盾，從而式(29)成立。

下面進一步研究解的收斂速率，先研究解在L2(Ω)中的收斂速率。

引理11假設g(s)=s,u0?0,并假設式(28)成立，則系統(1)的解滿足

‖u(·,t)-1‖L2(Ω )≤Ce-δt,t>0

(34)

式中：C>0,δ>0,且兩者均為常數。

證明首先注意到如下簡單事實

據此及式(29)可知，存在T>0充分大，使得

(35)

記

則利用不等式(24)和(35)得到

從而

據此并利用式(35)中左邊第一個不等式得到

如果取

則式(34)成立。

然后討論解在L∞(Ω)中的收斂速率。

引理12假設g(s)=s,u0≡/ 0,并假設式(28)成立，則系統(1)的解滿足

‖u(·,t)-1‖L∞(Ω )≤Ce-λt,t>0

(36)

式中：C>0,λ>0,且兩者均為常數。

證明根據定理1及拋物方程的正則性理論可以找到某個常數c1>0滿足

‖u(·,t)-1‖W1,∞(Ω )≤c1,t>0

從而由引理11及Gagliardo-Nirenberg插值不等式可知：存在某個常數c2>0和c3>0使得

定理2的證明定理2中的式(5)是引理12的直接推論，而式(6)由式(5)及最大值原理推得。

參 考 文 獻

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