高速凸輪變系數多項式凸輪曲線的研究

趙漫漫ZHAO Man-man 吳 佳 何雪明 - 錢志芳 -

(1. 無錫機電高等職業技術學校，江蘇 無錫 214122；2. 江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室，江蘇 無錫 214122)

凸輪機構幾乎能夠完成各種變速運動，可按需調節速度，精度高、成本低，在現代包裝機械中仍應用頗多，尤其在一些食品包裝機械中，如飲料灌裝機、旋蓋機等。為了使這些機械運作的振動和噪聲更小，凸輪機構的運行精度必須得到保證，而對凸輪曲線設計進行優化是提高其運行精度最有效、最關鍵的方法。牧野洋[1]較早提出了一組簡諧梯形組合凸輪曲線，由于該曲線較以往曲線通用性較好，使得簡諧梯形組合凸輪曲線在凸輪機構的設計中得到了極大的應用。肖正揚等[2-3]研究了凸輪曲線各個特性參數值對凸輪機構的影響以及各參數之間的影響關系，并進行了動力學響應分析。而現階段高速凸輪機構的設計大多采用多項式凸輪曲線，相較于簡諧梯形組合凸輪曲線，多項式曲線只要取足夠高的冪次數，它的高階導數便總是連續的，因此更適用于高速凸輪機構[4]。劉昌祺等[5]總結了數種多項式凸輪曲線的表達式。葛正浩等[6]給出了多項式凸輪曲線的通用表達式以及各種邊界條件對應的解決方法。巨剛等[7]得出七次以上的運動規律曲線在加速度這個范疇內具有永遠的連續性、無沖擊現象的結論，并且證實了高次多項式凸輪的受力或功率波動程度即高次多項式運動規律凸輪在運轉過程中的平穩程度與次數有關。

由于多項式曲線良好的高階導數連續性，因此設計時只要增加相應的次數，便可實現無限高次導數連續。但理論上可以實現的高階多項式凸輪曲線在工程中卻未必實用，當多項式次數升高后會增大加工難度，同時降低加工精度，從而無法實現相應的運動規律。由于現有的標準多項式凸輪曲線設計方法無法兼顧以上幾點，因此本研究著重研究低階多項式(階次十一以下)凸輪曲線，在此基礎上尋找盡量同時滿足運動學和動力學的多項式凸輪曲線。

1 標準多項式凸輪曲線

標準多項式凸輪曲線的設計方法是通過兩端的約束條件，求解出多項式方程未知數，從而得到標準多項式凸輪曲線。標準4-5-6-7多項式凸輪曲線設計方法：在升程起始位置位移零階導數S0、一階導數S0(1)(速度V)、二階導數S0(2)(加速度A)、三階導數S0(3)(躍度J)均為0，升程終止位置位移零階導數S1=1，一階導數S1(1)、二階導數S1(2)、三階導數S1(3)均為0，則標準4-5-6-7多項式凸輪曲線約束條件可寫為：

(1)

標準4-5-6-7多項式凸輪曲線方程見式(2)。

(2)

與其它凸輪曲線相比，標準的多項式凸輪曲線設計方法較為簡單，且動力學響應性能較好，故在高速凸輪設計中得到了一定的應用。但該凸輪曲線的各特性參數已為定值，即運動學特性和動力學特性固定不變。在高速凸輪工程設計中，往往需要兼顧二者，或者在滿足動力學性能情況下對系統的最大加速度Amax或者最大速度Vmax進行控制。要實現以上控制條件，必須要求多項式曲線具有可變性。

2 變系數多項式凸輪曲線

2.1 七次變系數多項式凸輪曲線

為了實現多項式曲線可變，將標準七次多項式曲線的兩端約束條件由三階導數連續降低為二階導數連續，并加入最大加速度Amax可變的約束條件，求解多項式函數，通過“犧牲”兩端導數連續性來實現多項式曲線的變化。

本研究的凸輪曲線為對稱雙停留曲線，可得該凸輪曲線在T=0.5處取得最大速度V0.5=Vmax，此時A0.5=0，再根據凸輪曲線兩端的約束條件，可得變系數七次多項式凸輪曲線約束條件為：

(3)

因為七次多項式凸輪曲線為二階導數連續，故其曲線方程見式(4)。

(4)

聯立約束條件，可解得3-4-5-6-7多項式凸輪曲線位移方程為：

S=(-32Vmax+70)t3+(160Vmax-315)t4+(-288Vmax+546)t5+(224Vmax-420)t6+(-64Vmax+120)t7。

(5)

通過給出不同的最大加速度值Vmax，可以得到相對應的兩端二階導數連續3-4-5-6-7多項式凸輪曲線，凸輪曲線的運動學和動力學性能也發生相應的變化，設計人員可以根據實際的設計要求選擇最大速度Vmax。

為了研究最大速度Vmax可行域，依次取Vmax=1.3，1.5，1.7，經計算可以得出相應的速度圖譜見圖1。研究發現隨著輸入的最大速度減小，速度波峰逐漸減小，當Vmax=1.3時，速度曲線由原來的單峰變為雙峰，即無法取得設計規定的最大加速度，說明七次變系數多項式最大速度Vmax存在下限值。通過計算分析，發現Vmax下限值為1.458～1.459，為了方便研究，取Vmax下限值為1.46，即該多項式凸輪曲線的最大速度值Vmax取值范圍為1.46～。

圖1 七次變系數多項式凸輪曲線速度圖譜Figure 1 Speed map of 7 power coefficient polynomial cam curve

考慮到曲率半徑以及慣性力的大小，設計中追求較小的最大速度Vmax，過大的最大速度Vmax并沒有意義，因此取Vmax研究區間為1.46～2.00，在此區間內初步研究凸輪曲線各特性參數的變化，為該曲線下一步的研究提供指導，在研究區間內取值Vmax=1.46，1.80，2.00，并繪制相應的凸輪曲線圖譜，見圖2。

為了更好地考查各特性參數的變化趨勢，計算出不同最大速度對應的各特性參數最大值(見表1)。

表1七次變系數多項式凸輪曲線特性參數

Table 1 Characteristic parameters of 7 power variable coefficient polynomial cam curve

VmaxAmaxJmaxQmaxAVmax 1.4606.499 2139.681 953.600 09.488 8 1.8005.623 874.40648.000 010.122 9 2.0006.328 739.00256.570 812.657 5

通過對凸輪曲線圖譜2以及表1的分析可以看出，隨著最大速度Vmax的變化，凸輪曲線各個特性參數都發生了較大的變化，且變化規律各不相同，從而呈現出不同的運動學和動力學特性，因此對于Vmax的選擇，必須做深入研究。

2.2 九次變系數多項式凸輪

七次變系數多項式凸輪曲線可以實現端點二階導數連續，無法滿足高速凸輪設計，為了增加端點處導數的連續性，同時考慮加工的精度、成本，研究九次變系數多項式凸輪曲線。仿照七次變系數多項式凸輪曲線設計方法，九次變系數多項式兩端要實現三階導數連續，故其位移方程最低次項應為4次，參照七次變系數多項式條件分別設置目標函數、約束條件可求得九次變系數多項式曲線位移方程通式見式(6)。

圖2 七次變系數多項式凸輪曲線各特性參數變化圖譜Figure 2 Variation of each characteristic parameter of 7 power coefficient polynomial cam curve

S=(-128Vmax+315)t4+(768Vmax-1 764)t5+(-1 792Vmax+3 990)t6+(2 048Vmax-4 500)t7+(-1 152Vmax+2 520)t8+(256Vmax-560)t9。

(6)

研究發現，類似七次變系數多項式凸輪曲線的特性，九次變系數多項式凸輪曲線同樣存在Vmax下限值，經計算得九次變系數多項式曲線的變化范圍Vmax下限值在1.640 6與1.640 7之間，為了方便研究，取九次變系數多項式曲線Vmax下限值為1.641，在Vmax變化范圍為1.641～2.200，對九次變系數凸輪曲線進行初步研究。

為了研究九次多項式曲線的變化趨勢，分別繪制Vmax=1.641,2.000,2.500時九次多項式曲線各特性參數圖譜，見圖3。同時計算出各特性參數對應的最大值，見表2。

通過圖3和表2可以看出，九次變系數多項式凸輪曲線實現了端點躍度J連續，各特性參數隨最大速度的變化而變化，但變化趨勢各不相同。

表2九次變系數多項式凸輪曲線特性參數

Table 2 Characteristic parameters of 9 power variable coefficient polynomial cam curve

VmaxAmaxJmaxQmaxAVmax 1.6416.829 357.325 72 015.040 012.326 9 2.0006.808 547.429 61 416.000 013.616 9 2.5009.672 182.500 0662.245 324.180 2

2.3 十一次變系數多項式凸輪曲線

為了進一步提高凸輪曲線的動力學特性，在九次變系數冪函數凸輪曲線基礎上，提出十一次變系數多項式凸輪曲線，位移方程最低階次提高到五次，這樣就可實現凸輪曲線方程兩端四階導數連續，參照七次變系數多項式設置約束條件可求得十一次變系數多項式曲線位移方程通式見式(7)。

圖3 九次變系數函數多項式凸輪曲線各特性參數變化圖譜Figure 3 Variation of each characteristic parameter of 9 power coefficient polynomial cam curve

S=(-512Vmax+1 386)t5+(3 584Vmax-9240)t6+(-10 240Vmax+25 740)t7+(15 360Vmax-38 115)t8+(-12 800Vmax+31 570)t9+(5 632Vmax-13 860)t10+(-1 024Vmax+2 520)t11。

(7)

仿照七次變系數多項凸輪曲線，經過計算得出十一次變系數多項式曲線的變化范圍下限值在1.804 6和1.804 7之間，為了便于研究，并與傳統多項式曲線對比，取十一次變系數多項式曲線Vmax下限值為1.805，變化范圍為1.805～2.707。為考察十一次變系數多項式曲線的變化趨勢，在Vmax=1.805，2.000，2.707時，計算并繪制十一次變系數多項式曲線各特性參數圖譜(見圖4)，為方便對比，計算各特性參數的最大值(見表3)。

通過對表3分析可以看出，與七次和九次變系數多項曲線一樣，十一次變系數多項凸輪曲線各特性參數并未隨著最大速度的變大而變大，變化趨勢各有不同，變化范圍差距較大。

分析圖4及表3可知，十一次變系數多項式實現了跳度Q的連續，且各特性參數在整個周期內變化平穩、無突變。

表3十一次變系數多項式凸輪曲線特性參數

Table 3 Characteristic parameters of 11 power variable coefficient polynomial cam curve

VmaxAmaxJmaxQmaxAVmax 1.8058.231 966.713 3969.108 814.858 5 2.0007.927 158.796 9800.123 315.854 1 2.70711.266 3108.277 5945.684 930.497 9

3 結論

通過對傳統標準多項式凸輪曲線的研究，本研究提出了七、九、十一次變系數多項式曲線，并對凸輪曲線方程及特性參數進行計算，繪制了特性參數圖譜，通過圖譜分析可看出，該曲線各特性參數隨著最大速度Vmax取值的變化而變化。綜合3種變系數多項式最大速度Vmax下限值可以看出，為了提高動力學性能，增加多項式次數可提高凸輪曲線方程兩端的可導性。但是最大速度Vmax下限值由七次變系數多項式的1.46提高到十一次變系數多項式的1.805時，雖然動力學性能提高，但運動學性能變差。可見在采用變系數多項式凸輪曲線時，對偏重于運動學特性的中低速凸輪機構，可以選取次數較低的凸輪曲線，對動力學性能要求較高的高速凸輪則可以選取次數較高的凸輪曲線。

圖4 十一次變系數函數多項式凸輪曲線各特性參數變化圖譜Figure 4 Variation of each characteristic parameter of 11 power coefficient polynomial cam curve

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