基于NURBS曲線的螺桿轉(zhuǎn)子型線反向設(shè)計研究

黃海楠HUANG Hai-nan 何雪明 - 張 榮 姜振鋼 -

(1. 江南大學江蘇省食品先進制造裝備技術(shù)重點實驗室，江蘇 無錫 214122；2. 江南大學理學院，江蘇 無錫 214122)

雙螺桿壓縮機因為性能優(yōu)良、運行平穩(wěn)、噪聲低、體積小、維護方便等，被廣泛應(yīng)用于制冷[1-2]、食品[3-4]、石油、化工等行業(yè)，其核心零件為內(nèi)部的一對陰陽轉(zhuǎn)子。轉(zhuǎn)子型線作為螺桿轉(zhuǎn)子形狀的重要特征，很大程度上決定了壓縮機的工作性能及轉(zhuǎn)子的加工制造性能。

目前轉(zhuǎn)子型線的設(shè)計方法使用比較廣泛的是正向設(shè)計：首先設(shè)計出陰轉(zhuǎn)子(或者陽轉(zhuǎn)子)的型線，再通過解析包絡(luò)法推導(dǎo)出另一個轉(zhuǎn)子的型線。Stosic等[5]根據(jù)齒條的嚙合原理提出了由齒廓線到轉(zhuǎn)子型線的設(shè)計方法，并開發(fā)了N型線；Su等[6]設(shè)立轉(zhuǎn)子接觸線長度、泄露三角形面積等性能參數(shù)作為目標，實現(xiàn)對轉(zhuǎn)子型線的優(yōu)化；Wu等[7]提出了基于標準齒條生成系統(tǒng)的螺桿轉(zhuǎn)子輪廓設(shè)計方法，并通過對比論證闡釋了該方法的優(yōu)越性；何雪明等[8]提出了以自由曲線作為組成曲線的轉(zhuǎn)子設(shè)計方法，豐富了轉(zhuǎn)子型線線型的種類。

正向設(shè)計雖然比較成熟，但要判斷所設(shè)計的轉(zhuǎn)子型線及壓縮機性能的優(yōu)劣，必須在得到陰陽轉(zhuǎn)子型線后，繼續(xù)推導(dǎo)得到嚙合線再做出判斷，設(shè)計過程十分繁瑣。針對正向設(shè)計的多個弊端，Zaytsev等[9-10]提出了反向設(shè)計轉(zhuǎn)子型線的“嚙合線法”，該方法是從嚙合線出發(fā)推導(dǎo)出轉(zhuǎn)子輪廓線，并通過實例驗證了該方法的可行性；卜嘯華等[11]推導(dǎo)了當嚙合線曲線類型為圓弧、內(nèi)擺線和外擺線時的螺桿轉(zhuǎn)子型線計算公式；何雪明等[12]分別采用直線、圓弧、三次B樣條曲線為嚙合線段進行陰陽轉(zhuǎn)子的反向設(shè)計。由此，嚙合線推導(dǎo)轉(zhuǎn)子型線的反向設(shè)計方法逐漸發(fā)展起來。

在反向設(shè)計的線型選擇方面，現(xiàn)在已經(jīng)發(fā)展到比較高級的B樣條曲線，但B樣條曲線的根基是多項式參數(shù)曲線，并不能表達基本的二次曲線，如圓弧、橢圓弧等。而NURBS曲線擁有更高的自由度和局部修改性，可以精確地表達圓弧、橢圓弧等二次曲線。本研究擬將NURBS曲線運用到反向設(shè)計中，旨在實現(xiàn)設(shè)計曲線線型的統(tǒng)一，并利用靈活的曲線修改手段進行轉(zhuǎn)子型線優(yōu)化設(shè)計。

1 嚙合線法設(shè)計原理

已知雙螺桿轉(zhuǎn)子的嚙合線的方程式是x0、y0關(guān)于參數(shù)t的方程，通過嚙合線法求解轉(zhuǎn)子輪廓線，需要建立如圖1所示的坐標系，包括陽轉(zhuǎn)子靜坐標系O1X1Y1和陰轉(zhuǎn)子靜坐標系O2X2Y2、隨轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動的陽轉(zhuǎn)子動坐標系O1x1y1和陰轉(zhuǎn)子動坐標系O2x2y2，以及一個固結(jié)于機殼上的嚙合線坐標系O0x0y0。其中陽轉(zhuǎn)子逆時針轉(zhuǎn)動，陰轉(zhuǎn)子順時針轉(zhuǎn)動。圖1中Ra1是陽轉(zhuǎn)子齒頂圓半徑，Rf2是陰轉(zhuǎn)子齒根圓半徑，滿足Ra1+Rf2=H。以下下標為1都是指代陽轉(zhuǎn)子坐標系中的參數(shù)，下標為2的指代陰轉(zhuǎn)子坐標系中的參數(shù)。

圖1 轉(zhuǎn)子法中的坐標關(guān)系Figure 1 Relationships of coordinates in the rotor method

根據(jù)轉(zhuǎn)子間的嚙合傳動原理可得：

(1)

φ1+φ2=(1+i)φ1=kφ1，

(2)

R1+R2=H，

(3)

式中：

φ2、φ1——陰、陽轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)角度，(°)；

n2、n1——陰、陽轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速，r/min；

ω2、ω1——陰、陽轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動角速度，rad/s；

R2、R1——陰、陽轉(zhuǎn)子節(jié)圓半徑，mm；

z2、z1——陰、陽轉(zhuǎn)子齒數(shù)；

i——陰轉(zhuǎn)子和陽轉(zhuǎn)子的傳動比；

H——陰、陽轉(zhuǎn)子中心距，mm。

根據(jù)上述的等式以及坐標轉(zhuǎn)動中的幾何關(guān)系，可以推導(dǎo)出下列幾項坐標系之間的變換關(guān)系：

(1) 陽轉(zhuǎn)子動坐標系O1x1y1與嚙合線坐標系O0x0y0關(guān)系：

(4)

(2) 陰轉(zhuǎn)子動坐標系O2x2y2與陽轉(zhuǎn)子動坐標系O1x1y1之間的變換關(guān)系：

(5)

根據(jù)包絡(luò)條件可以得到φ1關(guān)于參數(shù)t的等式[13]：

(6)

2 嚙合線法的NURBS曲線包絡(luò)條件

2.1 包絡(luò)條件的求解

一段k次NURBS曲線的函數(shù)定義為[14]：

(7)

式中：

k——曲線次數(shù)；

Pi——控制點；

wi——控制點Pi的權(quán)因子，決定了控制點偏離曲線的程度，所有wi>0；

Ni,k(u)——定義在非周期且非均勻節(jié)點矢量U={a,…,a,uk+1,…,um-p-1,b,…,b}上的k次B樣條基函數(shù)。

一段嚙合線的NURBS曲線段的參數(shù)方程為：

0≤u≤1。

(8)

將式(8)代入式(6)中可以得到：

(9)

(10)

φ0是嚙合的起始角度，對于嚙合線的第一段曲線，取φ0=0。

f(u)=

(11)

由于被積函數(shù)f(u)的原函數(shù)無法用初等函數(shù)表達，因此需要采用數(shù)值積分法，本設(shè)計方法采用的是龍貝格(Romberg)求積公式[15-16]，也稱為逐次分半加速法。龍貝格求積公式用的是一種外推算法，相比于其他計算方式，其計算量相對較小、精度較高，且易于編程計算。龍貝格求積公式為：

(12)

其中兩個初始值的計算公式為：

(13)

(14)

由此得到φ1值后，再將值代入式(4)、(5)就得到了陰轉(zhuǎn)子和陽轉(zhuǎn)子對應(yīng)的齒曲線段。

2.2 NURBS曲線的求導(dǎo)

(15)

(16)

而A(u)與K(u)的導(dǎo)數(shù)都可以轉(zhuǎn)換成關(guān)于基函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由式(17)～(20)求得：

(17)

(18)

(19)

(20)

式(17)～(20)中的基函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)可以由式(21)求得。

(21)

(22)

可以看到式(21)～(22)是類似于求解基函數(shù)的一個遞推公式，可以從低到高一階一階地計算出基函數(shù)導(dǎo)數(shù)的值。由此便可計算出NURBS曲線的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)。

3 NURBS曲線嚙合線的設(shè)計與優(yōu)化

本研究針對用NURBS曲線對復(fù)盛型線[17]的嚙合線進行反向設(shè)計，并通過誤差分析，驗證基于NURBS曲線的反向設(shè)計方法的可行性，并在此基礎(chǔ)上，利用NUBRS的局部可調(diào)性對嚙合線進行了優(yōu)化設(shè)計。

3.1 NURBS曲線嚙合線設(shè)計流程

NURBS曲線設(shè)計嚙合線設(shè)計流程如圖2所示，首先必須確定陰陽轉(zhuǎn)子的中心距，然后利用NURBS直接設(shè)計出嚙合線，根據(jù)NURBS曲線的數(shù)據(jù)推導(dǎo)出陰、陽轉(zhuǎn)子型線數(shù)據(jù)，如果符合設(shè)計要求，則輸出型線數(shù)據(jù)，不符合則需要修改設(shè)計參數(shù)，重新計算。

圖2 NURBS曲線反向設(shè)計流程Figure 2 Reverse design process with NURBS curve

3.2 復(fù)盛型線的反向設(shè)計

復(fù)盛型線轉(zhuǎn)子型線由圓弧、橢圓弧及其對應(yīng)的包絡(luò)線設(shè)計而成，見圖3。圓弧以參數(shù)方程的形式表達為：

(23)

式中：

r——圓弧的半徑，mm；

c1、c2——圓心橫坐標和縱坐標，mm。

橢圓弧以參數(shù)方程的形式表達為：

(24)

式中：

a、b——橢圓的長短軸長，mm；

c1、c2——橢圓中心橫坐標和縱坐標，mm。

復(fù)盛型線的各段齒曲線的詳細設(shè)計參數(shù)見表1。其嚙合線由陰陽轉(zhuǎn)子齒曲線通過嚙合條件式計算所得，表2給出了嚙合線曲線段和轉(zhuǎn)子齒曲線段的對應(yīng)關(guān)系，生成的嚙合線見圖4。

根據(jù)復(fù)盛的嚙合線數(shù)據(jù)，利用高精度的NURBS曲線來代替原有的嚙合線[見圖5(a)～(d)]進而得到了該嚙合線每一段的控制點與權(quán)因子；然后將每一段嚙合線的端點作為NURBS曲線的節(jié)點，利用累積弦長法計算出整段型線的節(jié)點矢量，使其成為一段式的嚙合線[見圖5(e)]，最終設(shè)計的這段嚙合線只由控制點、權(quán)因子和節(jié)點矢量決定。進一步利用上文推出的NURBS曲線包絡(luò)條件，得到了對應(yīng)的陰陽轉(zhuǎn)子型線，生成的型線誤差數(shù)據(jù)見表3。

圖3 復(fù)盛型線轉(zhuǎn)子型線Figure 3 Rotor lines of Fusheng Profile

分析表3中數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)：嚙合線的最大精度誤差出現(xiàn)在A0B0段，為0.092 μm；陽轉(zhuǎn)子的最大精度誤差在D1E1段，為0.442 μm；陰轉(zhuǎn)子的最大精度誤差出現(xiàn)在D2E2段，為0.443 μm?？梢钥闯鲭m然各部分都存在精度誤差，但都控制在0.5 μm以下，是能接受的范圍。所以該實例驗證了結(jié)合NURBS曲線和嚙合線法設(shè)計轉(zhuǎn)子型線方法的可行性。

圖4 復(fù)盛型線嚙合線Figure 4 Meshing lines of Fusheng Profile

表1 復(fù)盛型線各段參數(shù)取值Table 1 Value of the parameters of the Fusheng Profile

表2 復(fù)盛型線設(shè)計相關(guān)數(shù)據(jù)Table 2 Design relevant data of Fusheng Profile

圖5 獲取復(fù)盛嚙合線的NURBS曲線參數(shù)過程

Figure 5 Process of obtaining the NURBS curve parameters of the complex meshing line is obtained

表3 NURBS曲線嚙合線誤差數(shù)據(jù)Table 3 Error data of NURBS curve meshing line

3.3 嚙合線的優(yōu)化

根據(jù)NURBS曲線的局部修改性，通過移動控制點可以調(diào)整嚙合線形狀，對嚙合線進行優(yōu)化。對嚙合線中b、c、d 3點進行了微調(diào)，陰陽轉(zhuǎn)子的齒曲線發(fā)生相應(yīng)的變化，見圖6；轉(zhuǎn)子型線性能參數(shù)發(fā)生相應(yīng)的變化，其規(guī)律總結(jié)見表4[13]。所以可以根據(jù)這些變化規(guī)律對嚙合線的線段進行修改，以達到優(yōu)化型線性能的目的。

在不改變原有轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的情況下，如陰陽轉(zhuǎn)子的齒頂圓弧大小、齒數(shù)比等參數(shù)，主要以減小泄漏三角形的面積和增大面積利用系數(shù)為目標對型線進行優(yōu)化。即不移動圖6中的c點位置，變化b和d 2點的位置。根據(jù)表4的規(guī)律，將嚙合線的控制點a5、a6和b1～b4向外移動，使得嚙合線交點下移，但不能超過陰陽轉(zhuǎn)子齒頂圓的范圍；然后移動控制點c2～c5，使得嚙合線最高點下移，控制點移動對比見圖7。優(yōu)化嚙合線后，陰陽轉(zhuǎn)子齒曲線也發(fā)生了相應(yīng)的變化，優(yōu)化前后的對比見圖8。陣列優(yōu)化后的陰陽轉(zhuǎn)子齒曲線得到完整的轉(zhuǎn)子型線，見圖9。

圖6 嚙合線頂點與陰陽轉(zhuǎn)子型線變化關(guān)系

Figure 6 Relationship between the vertices of the meshing line and the yin-yang rotor line

表4型線性能參數(shù)與各頂點移動方向關(guān)系?

Table 4 Relationship between the linear performance parameters and the direction of each vertex movement

性能參數(shù)移動方向bcd齒心角增加 陰/陽+x/+y-x+x/-y齒厚增加 陰陽-x/-y+x/+y+x-x-x/+y+x/-y面積利用系數(shù)增加/+x/+y-x+x/-y

? “陰”表示陰轉(zhuǎn)子，“陽”表示陽轉(zhuǎn)子，“+x”表示向x軸正方向移動，“-x”表示向x軸負方向移動，“+y”、“-y”擁有類似的含義。

將優(yōu)化前后的轉(zhuǎn)子性能參數(shù)進行整理得到表5。由表5可知，優(yōu)化后的型線增加了陰轉(zhuǎn)子的厚度，陰轉(zhuǎn)子的齒間面積減少了16.212 mm2，但陽轉(zhuǎn)子齒間面積增加了32.678 mm2，所以面積利用系數(shù)提高了1%，而泄漏三角形的面積減少了5%。綜上，優(yōu)化后的轉(zhuǎn)子性能得到了提升。

4 結(jié)論

(1) 利用龍貝格求積公式來解決嚙合線法中原函數(shù)不能用初等函數(shù)表達的問題，實現(xiàn)了NURBS曲線的反向型線設(shè)計。

圖7 型線改進優(yōu)化前后控制點對比

Figure 7 Comparison of control points before and after optimization of meshing lines

圖8 型線優(yōu)化前后對比Figure 8 Comparison of line optimization before and after optimization

圖9 優(yōu)化后的陰陽轉(zhuǎn)子型線Figure 9 Yin-yang rotor profile after optimization

表5 優(yōu)化前后性能參數(shù)對比Table 5 Comparison of performance parameters before and after optimization

(2) 針對典型型線復(fù)盛型線的嚙合線進行反向設(shè)計，嚙合線用一整段NURBS曲線表達，只由控制點、權(quán)因子和節(jié)點矢量決定，得到了誤差在0.5 μm以內(nèi)的型線，驗證了用NURBS進行型線設(shè)計的可行性。增添了雙螺桿壓縮機轉(zhuǎn)子型線設(shè)計的曲線類型。

(3) 根據(jù)嚙合線頂點與型線性能的變化關(guān)系，利用NURBS曲線的局部修改性對型線進行優(yōu)化。最終得到優(yōu)化后的型線，增加了陰轉(zhuǎn)子齒厚，增大了面積利用系數(shù)，減小了泄漏三角形的面積，整體性能得到了提升。

(4) 結(jié)合NURBS曲線和“嚙合線法”反向設(shè)計轉(zhuǎn)子型線，優(yōu)勢在于NURBS曲線的便捷的局部調(diào)整性，目前該方法只通過調(diào)整控制點的方式調(diào)控曲線，為了最大化利用NURBS曲線的形狀調(diào)整工具，今后應(yīng)將調(diào)整權(quán)因子的手段添加進來。

(5) 螺桿壓縮機轉(zhuǎn)子對加工精度要求非常高，所以在制造過程中應(yīng)選擇高精度的銑削或磨削加工方式，在加工過程中應(yīng)特別關(guān)注可避免的加工誤差的產(chǎn)生，如刀具的安裝、磨損等產(chǎn)生的加工誤差。

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