基于Isight和ABAQUS軟件的柔輪筒體應力與結構優化

□ 余金寶 □ 范元勛

南京理工大學機械工程學院 南京210094

1 研究背景

諧波齒輪傳動技術始于1955年，由美國學者Musser提出，主要應用于航天和機器人等高精密機械傳動場合，現在也被應用于某些軍事裝備和農業器械中。隨著航天和機器人技術的飛速發展，對諧波傳動體積小、質量輕、承載能力大等性能的要求更高［1］。柔輪作為諧波傳動最重要的部件，其體積和強度直接決定著諧波傳動的工作情況［2］，因此進行柔輪應力和結構的優化設計，對提高諧波傳動的性能有著重要意義。

筆者通過ABAQUS軟件進行柔輪負載和空載狀態下的應力計算，然后運用Isight軟件對柔輪筒體應力和筒長進行優化，以獲得既滿足強度要求，又能減小體積的最佳結構參數。

2 柔輪筒體的應力計算

2.1 有限元模型的建立

一些對柔輪應力情況影響不大的結構參數可以相應簡化或者略去，如齒圈前后端處的倒角、前沿長度及凸臺處的螺栓孔等，齒圈部位轉換成相應尺寸的齒圈壁厚［3］，齒圈壁厚 δ1的計算式為：

式中：δ為筒體壁厚。

簡化后，柔輪的結構如圖1所示，圖1中的結構尺寸見表1。

▲圖1 柔輪結構圖

根據表1中的尺寸，建立柔輪的三維模型。柔輪的最大徑向變形量為變形因子與模數的乘積，本例中變形因子取1，最大徑向變形量為0.5 mm。柔輪和波發生器材料及性能參數見表2。

2.2 邊界條件和載荷

在空載條件下，約束柔輪底面所有自由度，將波發生器簡化成上下兩部分的剛性橢圓環，分別沿徑向移動0.5 mm，圓環寬度取13 mm，模擬撐開柔輪的過程。在負載條件下，同樣使用空載情況中的邊界條件，為了方便柔輪結構的參數化建模，將施加轉矩后的剛輪對柔輪的作用力轉化為集中力，施加在柔輪齒圈部位［4］，施加邊界條件和載荷后的柔輪模型如圖2所示。

表1 結構尺寸表mm

表2 材料性能參數

▲圖2 載荷和邊界條件示意圖

2.3 有限元應力結果

運用有限元軟件經計算后顯示的應力一般是經過處理后的Mises等效應力，它基于von Mises準則，實質就是第四強度理論，Mises應力σ的計算式為：

式中：σ1為第一主應力；σ2為第二主應力；σ3為第三主應力。

Mises應力達到材料的屈服極限，零件就會發生屈服破壞。

在ABAQUS軟件中，經過以上柔輪和波發生器模型的處理，得到柔輪筒體的空載和負載240 N·m的Mises應力云圖，如圖3所示。

▲圖3 Mises應力云圖

由圖3可知，柔輪所受應力主要集中在齒圈部位，并且最大應力也發生在此處，分別為399 MPa和437.2 MPa，兩者相差不大，但是負載狀態較空載狀態的柔輪齒圈部位受力復雜，在波發生器長軸方向的齒圈前端受力明顯增加。

3 柔輪筒體的優化設計

Isight是一種集成諸多算法的多參數優化設計軟件，它提供了有限元軟件接口，可以控制CAE（計算機輔助工程）軟件的分析計算，并提取相應的計算結果。筆者通過Isight軟件調用ABAQUS軟件的求解器對柔輪進行應力計算，并根據計算結果進行優化設計，以得到柔輪結構的最佳參數。

3.1 聯合優化設計流程

ABAQUS與Isight軟件的優化設計流程如圖4所示。由圖4可知，基于Isight軟件的優化設計主要包括Simcode和優化設計兩部分。Simcode是一種數據接口，它可以生成試驗矩陣并寫入和讀出相應的數據值，通過執行程序調用ABAQUS軟件的求解器分別對不同試驗點的有限元模型進行計算，并提取相應的最大應力值，實現柔輪的自動化參數求解，并擬合結構參數與最大應力的近似關系模型。而優化設計是選擇合適的數學算法，對之前求出的近似模型進行優化計算，通過設計變量、約束條件及目標函數的設定，得出最優參數［5］。

▲圖4 優化設計流程圖

3.2 讀文件與寫文件

Isight軟件的讀文件和寫文件就是在柔輪各結構參數取值范圍內選取定量的數據點，再調用ABAQUS軟件的求解器進行循環計算和提取結果。

Isight軟件利用Python語言進行柔輪的參數化建模并完成最大應力計算和提?。?］。根據短圓柱形柔輪的設計參數，選取的設計變量對應的試驗因子a～e及取值范圍［7］見表3。

表3 圓柱形柔輪的設計變量及取值范圍mm

3.3 試驗設計與近似模型

試驗設計是優化領域中的重要統計方法，主要包括計劃、執行、結果分析三個過程。試驗設計有著確定取值范圍內數值的最佳組合、分析輸入與輸出參數之間的關系和變化規律、構建近似模型及經驗公式等作用。

Isight軟件包含多種試驗設計方法，根據柔輪結構的復雜性，本次試驗選用最優拉丁超立方（Optimal Latin Hypercube）設計方法，根據設計變量可知試驗因子有5個、取樣點200個。

近似模型就是根據試樣點用近似關系擬合輸入輸出變量之間的關系，當精度足夠高時，可信度滿足，可以用函數關系代替ABAQUS軟件的求解過程，節省時間成本，提高優化設計效率［8］。近似模型的關系擬合函數f（x）式為：式中：（x）為描述響應近似值的多項式；ε 為（x）與f（x）的誤差，服從正態分布。

優化設計的近似模型選用響應面模型，它可以通過較少的樣點擬合出誤差較小的近似函數［9］，有很強的實用性和廣泛性，其一般表達式為：

式中：x為擬合變量；n為變量個數；y為用函數描述的響應值；ci為多項式常數；φi（x）為基函數；k為基函數的個數。

在Isight軟件的結構優化和分析中，采用二階多項式，即二階響應面模型，其表達式為：

常數矩陣為H=（c0，c1，...，ck）T，可以用最小二乘法確定其值，具體為：

式中：Y=（y1，y2，...，yn）T為實際響應值矩陣；X為基函數矩陣；z為試驗次數。

將200個試樣點經響應面模型擬合后的誤差見表4。由表4可知，響應面模型的最大響應誤差、平均相對誤差及均方根誤差都很小，與應力實際值相差七個量級，可忽略不計，而且決定因數較高，都大于0.95，所以用響應面模型代替ABAQUS軟件的求解過程是合理的。

表4 擬合誤差值

3.4 優化數學模型及算法

在保證柔輪內徑不變的條件下，通過改變柔輪的結構參數，使應力或者筒長達到最小值，屬于多目標優化設計。

Isight軟件含有多種優化設計算法，筆者選擇基于遺傳算法開發的NSGA-II多目標優化算法對柔輪進行優化設計，遺傳算法流程如圖5所示。

▲圖5 遺傳算法流程圖

NSGA-II優化算法具有較優的探索能力，它先通過“擁擠距離”的方法進行個體排序。然后根據父代群體的交叉和變異獲得子代群體，合并父子群體。最后按照Pareto優化關系，將個體與目標向量比較，并分為多個順序控制的前沿層，評價個體的優劣，選出最佳值［10-11］。

3.5 優化結果及對比分析

內徑一定，在保證柔輪筒體長度不變的條件下，通過Isight軟件優化設計得到的優化值與初值見表5。

表5 優化筒長優化值與初值參數對比表mm

根據優化值得到的柔輪優化后應力云圖如圖6所示，由圖6可知，優化后的柔輪在空載和負載狀態下的最大應力為351.3 MPa和365.5 MPa，與初值相比分別下降了12%和16%，受力情況明顯改善。

▲圖6 優化后應力云圖

在Isight軟件優化計算中，也可以將柔輪筒長最小作為設計目標，以減小其質量和體積。由于是多目標優化，負載應力較空載應力大，所以將負載應力和筒長最小作為優化目標，在Isight軟件中可以在迭代圖中選出不同柔輪長度下對應的應力值，在保證柔輪最大應力基本不變的情況下，得到筒體最小優化值及初值，見表6。

表6 優化筒長和應力優化值與初值參數對比表

由表6可知，在保證柔輪整體受力基本不變的情況下，優化后的最小筒長為40.6 mm，降低了約10%，節約了材料成本并減小了柔輪體積。

4 結論

運用ABAQUS軟件進行柔輪筒體的應力分析，得出了空載和負載條件下的最大應力值，兩者都發生在與波發生器相接觸的柔輪齒圈部位，為柔輪筒體應力的優化設計提供了方向。

運用Isight軟件進行柔輪筒體結構的優化設計，在保證筒長不變的條件下，改變其余結構參數，使空載、負載應力分別下降了12%和16%，增加了柔輪的工作壽命；同時在保證柔輪最大應力不增加的情況下，使筒體長度最高下降了10%，減小了柔輪的體積和質量，達到輕量化設計的目的。