滿足多終端約束的二次曲線迭代制導方法研究

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北京航天自動控制研究所，北京 100854

迭代制導技術早在美國“阿波羅計劃”中的“土星-V”火箭的制導方案中已經使用。之后，美國的航天飛機，法國的“阿里安”火箭和俄羅斯的“能源號”火箭也都采用了迭代制導技術，并取得了良好的效果[1-3]。在中國載人火箭上使用的迭代制導方法已經經過多次載人任務的考核，成熟可靠，適應能力強，并且將該方法嘗試在月面上升段使用，效果良好[4]。但上述使用的迭代制導方法是通過改變發動機推力矢量方向來修正軌道偏差，從而達到精確入軌的目的，由此帶來的問題就是入軌時刻的姿態角必須由制導算法決定，而不能預先確定，否則最后時刻推力矢量的偏差將可能使迭代制導的精度優勢蕩然無存[5]。

國內外對迭代制導方法研究已開展多年[6-8]，理論已經相當成熟。綜合而言，迭代制導方法只能滿足速度和位置約束，無法滿足終端姿態約束，尤其對某些常推力火箭而言，傳統的迭代方法無法同時滿足3個速度和位置分量的終端約束[6]。

針對傳統迭代制導法無法同時滿足多終端約束的問題，尤其是終端姿態約束的難題，最為直接有效的方法就是在火箭入軌末端具備調姿系統，在不影響質心運動狀態的情況下將姿態調整至要求值，可以同時確保軌道和姿態滿足要求。而在不具備調姿系統的情況下，可以考慮在小推力發動機工作段結束前進行姿態調整的方法，提前估計需要調整的角度并進行補償，降低調姿造成的速度偏差，通過初步的仿真表明，該方法能夠起到一定的作用，但由于難以準確估計調整角度，效果并不十分理想[5]。

本文在傳統迭代制導方程的基礎上引入終端姿態約束方程，通過二次曲線形式的制導程序角進行計算與規劃，推導出跨越主機段和游機段的全真空飛行段的迭代制導程序角計算方法，解決了同時滿足高精度入軌和姿態約束問題，實現運載火箭的包括軌道根數和姿態等多個終端約束下的直接入軌，同時利用數學仿真對該方法進行深入細致仿真分析。

1 二次曲線迭代制導方法

1.1 基本原理

為了精確使用姿態、速度、位置等終端條件，將二次曲線迭代制導計算所用坐標系設為軌道坐標系O′-ξηζ，其定義原點在地心,O′η軸與預報入軌點的矢徑方向重合；O′ξ軸在軌道平面內指向飛行方向；O′ζ軸與其他兩軸構成右手坐標系，如圖1所示。

圖1 軌道坐標系Fig.1 Orbital coordinate system

迭代制導是一種滿足多終端指標約束條件的最優制導方法，具有抗干擾能力強、制導精度高、終端姿態有約束等優點。迭代制導的理論基礎是最優控制。根據最優控制理論，以火箭當前狀態(主要包括速度矢量和位置矢量)作為初值，以入軌點狀態作為終端條件，以燃料消耗最少作為性能指標，將發動機推力矢量方向作為控制變量，根據Pontliyagin極小值原理可以實時計算出一條最優彈道[9]。

在軌道坐標系下展開的運動方程為：

(1)

制導系統通過改變箭體縱軸方向實現對火箭質心運動的控制。傳統迭代方法使用的制導控制程序角方程是線性形式[10]，導致其用于調節的控制參數有4個，在滿足位置與速度約束條件的前提下，無法再滿足姿態約束。為同時滿足多個終端約束，則將用于制導的程序角方程設為二次曲線形式，使其不但可滿足速度與位置約束條件，還能滿足姿態約束條件，具體程序角方程為：

(2)

1.2 約束條件

制導程序角要滿足多個約束條件，利用平均程序角保證平均速度約束，而(-k1+k3t+k5t2)和(-k2+k4t+k6t2)可以保證瞬時速度、位置和姿態約束，約束方程的建立可通過對運動方程的展開形式進行積分即可得到。由于運載火箭的整個真空飛行段會包括多個飛行段，比如大推力段和小推力段，則程序角需要在整個真空段滿足上述約束條件。

1)假設只有終端速度約束，終端位置ζk,ηk,ξk可以任意，則由極小值原理的哈密頓方程得到制導方程的最優解：

(3)

式中：Vζ k,Vη k為入軌時刻軌道坐標系下的速度分量；Vζ0,Vη0為當前時刻軌道坐標系下的速度分量；Tk為剩余飛行時間。

2)假設在條件1)的基礎上，還需滿足位置約束、姿態約束，則需要調節(-k1+k3t+k5t2)和(-k2+k4t+k6t2)中的系數k1～k6，滿足上述約束條件。

針對上述公式，可得到如下幾個約束方程求解程序角系數。

對偏航控制通道上進行約束方程的建立，如下所示。

偏航程序角：

(4)

偏航通道上的速度約束方程可通過對式(1)分別在真空飛行段進行積分得到：

ψ*+gζ)dt+

式中：T1為迭代接入時刻到主機關機這段時間，Tk-T1為游機段飛行時間。

偏航通道上的位置約束方程可通過對速度方程繼續積分得到：

ζk-ζ0-Vζ0·tk=

(6)

式中：ζk，ζ0分別為入軌時刻和當前時刻的在軌道坐標系的位置分量。

在俯仰控制通道上進行約束方程的建立，如下所示。

俯仰程序角：

(7)

俯仰通道上的速度約束方程可通過對式(1)分別在整個飛行段進行積分得到：

(8)

俯仰通道上的位置約束方程可通過對速度方程繼續積分得到：

ηk-η0-Vη0tk=

1.3 程序角的推導

對于運載火箭而言，要求程序角變化平滑，以利于姿態的平穩控制，故滿足位置和姿態約束的調節量相對于總調節量而言應占很小的部分[4]，因此可作小角度近似假設，即：

cos (-k1+k3t+k5t2)≈1

sin(-k1+k3t+k5t2)≈-k1+k3t+k5t2

因此，代入上述約束方程可得：

則偏航方向速度對應的方程可得到：

同理，可簡化其他偏航通道的位置約束方程：

也可簡化俯仰通道的速度和位置約束方程：令

由上述公式可得到相應的程序角系數：

其中:

綜上所述，通過式(10)、式(11)中6個約束方程的求解，可實時得到程序角系數k1～k6，從而就可實時得到制導程序角進行控制。因此，火箭在滿足高精度入軌時，姿態也能滿足終端約束。

1.4 剩余飛行時間的確定

主機段常用速度等關機量的相關方式進行關機，因此可以利用傳統的計算速度增量的方法來確定主機段和游機段剩余飛行時間T1、T2，即可以根據速度增量進行剩余飛行時間的估計：

Tk=T1+T2

2 應用仿真分析

以某運載火箭為例進行六自由度數學仿真，對二次曲線迭代制導性能及姿態約束能力加以驗證。仿真目標軌道為近地圓軌道。標準狀態下迭代制導階段軸向過載曲線見參考文獻[7]。仿真設置在350 s開始接入迭代制導，直至飛行器所帶載荷進入目標軌道。

2.1 無干擾狀態下入軌性能及姿態約束能力

不加入任何干擾的狀態下，數學仿真結果顯示，傳統迭代制導及二次曲線迭代制導方法使得火箭具有如表1所示的入軌精度。

表1 無干擾狀態迭代制導入軌精度

表1中，ΔT為軌道周期偏差，ΔHp為軌道近地點高度偏差，Δi為軌道傾角偏差，ΔΩ為軌道升交點經度偏差。

由表1可知，二次曲線迭代制導與傳統的迭代制導的入軌精度基本相當，但二次曲線迭代制導對姿態角進行了約束，如圖2所示。

圖2 無干擾狀態迭代制導程序角Fig.2 Programangle of IGM in non-disturbance state

圖2中Fcx表示標準飛行程序角，Fai表示二次曲線迭代制導計算的飛行程序角。圖2反映了二次曲線迭代制導與標準彈道的程序角差別。其中迭代制導接入處(350 s)的角度變化約為2°，而傳統迭代制導變化約為0.8°[5]，其原因是二次曲線迭代制導方法為了滿足終端姿態約束，通過二次曲線形式來規劃要滿足多個約束條件的制導程序飛行姿態角。

2.2 偏差狀態下入軌性能及姿態約束能力分析

為了驗證偏差狀態下二次曲線迭代制導方法的入軌性能及姿態約束能力，對大的結構偏差(負偏差)情況進行了仿真計算，結果如表2所示。

表2 不同偏差狀態的入軌性能統計對比

表3 不同偏差狀態的姿態約束能力

表3中Δφ為入軌時刻與約束入軌角的偏航角偏差，Δψ為入軌時刻與約束入軌角的俯仰角偏差。

將二次曲線迭代制導與傳統迭代制導、攝動制導方法在所有發動機處于負秒流量偏差狀態下，對入軌性能進行對比分析，分析結果如表4所示。

表4 所有發動機的秒流量負偏差狀態下的入軌性能

結果表明,二次曲線迭代制導的入軌性能不亞于傳統迭代制導方法，且其入軌性能遠遠高于攝動制導方法。尤其直接考核入軌性能的指標，如近地點高度、軌道傾角和升交點經度，二次曲線迭代制導方法相對于攝動制導方法而言都具有不可比擬的優勢。

選取對飛行姿態角較為敏感的發動機推力線偏斜偏差狀態進行仿真計算，其迭代制導程序角曲線如圖3所示。

圖3 發動機負推力線偏斜狀態的迭代制導程序角Fig.3 Program angle of IGM in negativethrust line skew deviation

由圖3可知，在主機段與游機段的整個真空飛行段，迭代制導程序角呈現了二次曲線特征，終端姿態也實現了約束的姿態角入軌。在主機段切換到游機段的主機后效段，由于推力過載發生了變化，引起剩余飛行時間預估值產生變化，使得飛行程序角產生了比較大的跳變。

綜上所述，二次曲線迭代制導在入軌精度上不亞于傳統迭代制導的精度指標，且其入軌姿態也實現了終端姿態角約束要求。

2.3 約束姿態角變化的入軌性能和姿態約束能力分析

為了全面考核二次曲線迭代制導的制導性能及終端姿態角約束能力，在不改變目標軌道根數的情況下，設置不同約束的俯仰姿態角，來分析其入軌性能與姿態約束能力。

傳統火箭的俯仰姿態角相對于偏航姿態角要變化明顯，因此設置約束俯仰姿態角分別為10°、-10°、-30°、-50°、-70°。偏航姿態角為0°。其數學仿真結果顯示二次曲線迭代制導具有如表5～表7所示的入軌性能及姿態約束能力。

表5 無干擾情況下不同約束姿態角的入軌性能對比

表6 負推力線偏斜偏差情況下不同約束姿態角入軌性能

表7 不同姿態約束角的姿態約束能力對比

表7中φ為入軌時刻的偏航角，ψ為入軌時刻的俯仰角。

由表7可知，在無干擾及負推力線偏差狀態下，姿態約束的迭代制導方法能滿足不同姿態約束角變化的要求，圖4、圖5給出了各個約束姿態角下俯仰姿態角變化曲線。

圖4 無干擾狀態Fig.4 Non-disturbancestate

圖5 負推力線偏差狀態Fig.5 Negative thrust line skew deviation state

由圖4、圖5可知，本方法在不同的約束終端姿態角情況下，接入迭代時刻的程序角會跳變至不同的起始程序角，從而導致形成不同的拋物線姿態角曲線參與制導控制，最后均可按照約束姿態角實現火箭入軌。

2.4 軌道根數小幅變化下的入軌性能及姿態約束能力分析

滿足多終端姿態約束迭代制導的特點是在飛行過程中計算一條能滿足終端約束姿態角要求的飛行彈道。當軌道根數發生變化情況下，只要適時地調整迭代制導的目標軌道等數據，二次曲線迭代制導也能自己規劃出一條彈道飛向改變后的軌道，這與傳統迭代制導方法的思想是一致的。傳統的迭代制導方法能適應軌道的小幅調整[2]，因此，為了驗證本方法的能力,也在軌道根數小幅變化的情況下進行了仿真分析，仿真偏差范圍如表8所示。

表8 軌道參數變化

設定終端約束俯仰姿態角為-30°，約束的偏航姿態角為0°，姿態約束的迭代制導的入軌性能及姿態約束能力分析如表9、表10所示。

表9 軌道根數小幅變化狀態下的入軌性能表

表10 軌道根數變化小幅變化狀態下的姿態約束能力表

圖6 俯仰姿態角曲線Fig.6 Pitch attitude angle curve

圖7 偏航姿態角曲線Fig.7 Yaw attitude angle curve

圖6與圖7是半長軸與軌道傾角分別變化時的俯仰角、偏航角曲線，可以看到，為了適應對軌道傾角0.15°的變化，偏航通道具有了明顯的程序角調整措施。而對于軌道半長軸的變化，對應的俯仰和偏航姿態角變化均很小。

可見，在軌道根數發生小幅變化時，姿態約束的迭代算法與傳統迭代算法一樣能保持穩定，入軌精度影響不大。

3 結束語

本文針對傳統迭代制導無法約束入軌姿態的不足，提出了一種橫跨整個真空飛行段的滿足多個終端約束的迭代制導方法，該方法通過二次曲線規劃制導程序角來實現對速度、位置和姿態進行約束。結果表明，本方法不僅保持傳統迭代制導方法入軌精度的同時，而且還能滿足高精度的入軌約束姿態角要求，并能在一定范圍內適應約束姿態角與軌道根數的變化，可以滿足后續發射任務需求，具有重要的工程應用價值。

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