回眸創新題型，洞察解題密碼

陳國林

與創新題型相關的考點幾乎覆蓋了中學知識點的每個模塊. 其中最為突出的是將中學數學問題結合數學文化進行命題，相關新定義問題也較為常見，不等式與函數方面一般從數學應用方面著手命制進而創新.考生對一些知識交匯類題型應引起注意，這是高考命題的一個趨勢，特別是概率統計創新題型的命制花樣較多，主要是結合實際生活應用、散點圖、邏輯推理以及圖論知識進行考查.

、 一、把握命題規律，洞悉考點走向

創新思想在每一套數學試題中都是不可或缺的，高考一般在試題解決方案、試題素材、試題情境等方面進行創新.2016年新課標卷Ⅲ中結合地理考查了識圖能力；2015年全國卷Ⅰ理科第16題引導考生將解三角形問題的方法推廣運用到四邊形試題中，要求考生打破常規思路，獨立思考，積極探究；浙江卷文科第7題將立體幾何與平面幾何知識有機結合，考查考生的空間想象能力和推理論證能力，對考生邏輯思維的靈活性有較高要求；2017年全國卷Ⅰ理科第12題將數列結合實際生活進行創新，全國卷Ⅱ理科第4題結合數學文化進行命題，新穎獨特，體現數學文化在中學教學中的滲透.

二、論說創新題型的命題方式

筆者通過對近年高考試題的歸納探索發現，近年來數學創新題型的命題較為普遍，其中主要命題形式如下.

序號 命題形式

1 將大學內容以信息題的形式呈現，考查中學數學問題

2 根據新定義命制與中學有關的數學問題

3 通過數學與其他學科的關聯，命制學科交叉問題

4 根據?？键c大膽創新，例如2015年陜西卷某道題將復數與概率進行了結合

5 命題突出實踐，增強創新應用性

6 設計新穎，注重邏輯推理的數學試題

7 結合傳統文化命制數學問題

8 設計多個知識相互綜合的探究類試題

三、相關創新題型分析

下面根據每個命題形式給出題例，并做出分析.

【例1】（2016·新課標卷Ⅲ）定義“規范01數列”{an}如下：{an}共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個數不少于1的個數.若m=4，則不同的“規范01數列”共有（ ）.

A. 18個 B. 16個 C. 14個 D. 12個

【解析】當k=1時，由題意得a1=0，當k=8時，得a8=1，則具體的排法列表如下.

0 0 0 0 1 1 1 1

1 0 1 1

1 0 1

1 0

1 0 0 1 1

1 0 1

1 0

1 0 0 1

1 0

1 0 0 0 1 1

1 0 1

1 0

1 0 0 1

1 0

【評注】本題新定義了一個“規范01數列”，考查計數原理的相關應用，根據題目含義進行列舉即可得出答案. 本題以信息題的形式呈現，考查了學生接受和處理信息的能力，解決此題需要充分理解題目的含義，進行深入分析，方能準確地得出結果.

【例2】（2016·新課標卷Ⅲ）某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖（如圖1）.圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15℃，B點表示四月的平均最低氣溫約為5℃.下面敘述不正確的是（ ）.

A.各月的平均最低氣溫都在0℃以上

B.七月的平均溫差比一月的平均溫差大

C.三月和十一月的平均最高氣溫基本相同

D.平均最高氣溫高于20℃的月份有5個

【解析】結合圖形可知平均最高氣溫高于20℃的月份有2個，所以D不正確.

【評注】這是一道將地理與數學結合的試題，這種學科交叉的試題有很多，如在數學理科卷中，命題人會將數學與物理結合考查燃油效率問題，與化學結合考查SO2排放量問題，另外此類問題還常?？疾槔孟蛄拷馊切螁栴}.本題易錯點有兩個：一是對圖形中的線條認識不明確，不知所措，只覺得是兩把“雨傘”重疊在一起，找不到解決問題的方法；二是估計平均溫差時易錯選B.

【例3】（2015·陜西卷）設復數z=（x-1）+yi（x， y∈R），若|z|≤1，則y≥x的概率為（ ）.

A. + B. + C. - D. -

【解析】由|z|=≤1，得（x-1）2+y2≤1，即點（x， y）所在的區域是以（1， 0）為圓心，1為半徑的圓盤，則滿足y≥x的區域為如圖2所示陰影部分（弓形OA），故y≥x的概率

P==-.

【評注】復數考題常?？疾槟ｉL、共軛復數、實部與虛部等知識，而本題則巧妙地將復數與幾何概型相結合考查了數形結合的思想. 解決此題的關鍵在于準確畫圖，畫出圖形后即可看出相應的面積關系.

【例4】（2017·新課標卷Ⅱ）我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈（ ）.

A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞

【解析】一座7層塔共掛了381盞燈，即S7=381；相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，即q=2，塔的頂層為a1；由等比數列前n項和Sn=（q≠1）可知，S7=

=381，解得a1=3.

【評注】古算詩題是反映數學數量關系的內在聯系及其規律的一種文學形式.古算詩題表達了數學精華的思想方法，傳遞著數學問題的信息.本題主要選擇了《算法統宗》的古算詩題，求解的關鍵在于將詩題與中學數學建立聯系，進而求解.

【例5】（2015·四川卷）某食品的保鮮時間y（單位：小時）與儲藏溫度x（單位：℃）滿足函數關系y=ekx+b（e=2.718…為自然對數的底數，k，b為常數）. 若該食品在0℃的保鮮時間是192小時，在22℃的保鮮時間是48小時，則該食品在33℃的保鮮時間是 小時.

【解析】由得e11k=，則當x=33時，y=

e33k+b=（e11k）3·eb=（）3×192=24.

【評注】培養學生的創新應用能力一直是一項不可小視的任務，因此在高考試卷中有關數學應用的試題是必不可少的.本題將食品保鮮問題結合指數的運算進行考查，突出了數學與生活息息相關的特點.

【例6】（2016·新課標卷Ⅱ）有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數字不是2.”乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數字不是1.”丙說：“我的卡片上的數字之和不是5.”則甲的卡片上的數字是 .

【解析】由題意可知甲的卡片上的數字為1和3，乙的卡片上的數字為2和3，丙的卡片上的數字為1和2.

【評注】邏輯推理即演繹推理，就是從一般性的前提出發，通過推導，得出具體陳述或個別結論的過程.邏輯推理題的考查主要包括演繹、歸納和溯因三種方式.解決此類試題的關鍵在于弄清邏輯關系.

【例7】（2017·新課標卷Ⅰ）幾位大學生響應國家的創業號召，開發了一款應用軟件.為激發大家學習數學的興趣，他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為以下數學問題的答案：已知數列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數N：N>100且該數列的前N項和為2的整數冪.那么該款軟件的激活碼是（ ）.

A. 440 B. 330 C. 220 D. 110

【解析】（方法一）因為20+21+22+…+2n-1=2n-1，所以原數列的前（1+2+3+…+n）項和，即前項和為21-

1+22-1+23-1+…+2n-1=2n+1-2-n.

取n=29，則=435，所以原數列前440項和為

230-31+20+21+22+23+24=230，所以當整數N=440時，滿足題設條件“N>100且該數列的前N項和為2的整數冪”.

類似分析，分別取n=25，20，14可知，當整數N= 330，220，110時，均不滿足題設條件“N>100且該數列的前N項和為2的整數冪”.

綜上，適合題意的最小整數N為440.故選A.

（方法二）因為20+21+22+…+2n-1=2n-1，所以原數列的前（1+2+3+…+n）項和，即前項和為21-1+22-1+

23-1+…+2n-1=2n+1-2-n（*）.

注意到20=1，20+21=3，20+21+22=7，20+21+22+23=15，20+21+22+23+24=31，所以易判斷知，分別?。?）中的n=1，5，13，29，即得原數列的前N=3，18，95，440項和均為2的整數冪（說明：這里N的可能取值只羅列了前4個，且按由小到大的順序依次給出）. 故適合題意的最小整數N為440.故選A.

【評注】新情景類數學問題有利于考查考生分析解決問題的實際能力、發散性思維能力和探索創新精神，所以需要引起重視.本題的難點在于需要對數列進行多次求和，從而導致考生解答時不知從何下手，思維難以打開.

四、創新題型破解策略

1.涉及大學內容、學科關聯和新定義的數學問題一般會以信息題的形式出現，解決此類試題的關鍵在于弄清題目所給定義的含義.

2.學科關聯試題的命制較為新穎，一般情況下數學文科卷會與地理結合進行命制，理科卷則會與物理化學結合進行命制，一般此類試題難度不大，掌握基本的數學知識與技能即可解決.

3.對于應用試題的解決，則需要將實際問題抽象為數學問題，建立數學模型進而求解，一般方法是刪除題目中的多余信息，抽取出關鍵內容，建立等量關系，進而對問題進行破解.

4.邏輯推理問題則需要弄清題目內在的邏輯關系.

5.傳統文化試題是將古代數學與現代數學相結合，此類試題需要先理清古代數學文化中的用語所表示的含義，然后再利用中學數學知識進行求解.

6.綜合類試題的難度較大，必須要有扎實的基礎，將大的考點進行分解，逐步擊破，方可勝券在握.

五、展望考題趨勢，關注命題熱點

筆者預測2018年創新題型的命制依舊會延續2017年的命題特點，考生需要關注以下幾點：

1.新定義問題意在考查考生的數學抽象思維，如本文例1.

2.數學應用與邏輯推理試題意在考查考生的數學建模思想和數學思維的嚴謹性，如本文例3、例6.

3.我國數學文化歷史悠久，存在許多不同于西方數學文化的鮮明特點：注重歸納，強調實用，講究算法.在高考試題中滲透中國古代數學文化，強調中國古代數學文化的傳統特色，使考生在解題過程中接受我國古代數學文化的熏陶，從而形成嚴謹、務實的治學態度，如本文例4.

4.利用綜合知識對學生進行全面考查，此類試題一般會設計成壓軸題，意在考查考生的數學運算與邏輯推理能力.