非線性電容電路的數(shù)值解法

摘 要：一切實(shí)際電路元件的參數(shù)總是一個(gè)變量，實(shí)際電路完全可以抽象為一個(gè)非線性電路模型。對(duì)非線性電路的研究具有重要的實(shí)際意義。運(yùn)用基爾霍夫定律對(duì)非線性電路模型列寫(xiě)方程會(huì)得到的是非線性微分方程，該微分方程的解析解一般很難求得，但是可以利用數(shù)值法求得數(shù)值解。本文主要以非線性電容電路為研究對(duì)象，重點(diǎn)闡述了將歐拉法應(yīng)用于非線性電容電路求其數(shù)值解的過(guò)程。通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)應(yīng)用歐拉法來(lái)求解非線性電容電路是完全可行的。

關(guān)鍵詞：非線性電容電路；歐拉法；數(shù)值解法

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2018.09.162

0 引言

非線性電容是非線性電路的重要組成部件。非線性電容兩端電壓與其電荷是遵循某種非線性函數(shù)關(guān)系。把含有這種非線性電容元件的電路稱(chēng)為非線性電容電路。運(yùn)用基爾霍夫電壓定律求解非線性電容電路時(shí)，會(huì)得到一個(gè)非線性微分方程或非線性微分方程組，其解析解一般很難求得，這對(duì)于分析非線性電容電路造成了很大的困擾。本文試圖探索以歐拉法為核心算法來(lái)求解非線性電容電路這一類(lèi)問(wèn)題，將求非線性電容電路的解析解轉(zhuǎn)化為求其數(shù)值解。

1 歐拉法

運(yùn)用基爾霍夫電壓定律求解非線性電容電路時(shí)，會(huì)得到一個(gè)非線性微分方程或非線性微分方程組，求解這樣的微分方程或微分方程組有各種各樣的解析方法，但解析方法只能用來(lái)求解一些特殊類(lèi)型的方程，如果借助計(jì)算機(jī)分析，計(jì)算機(jī)是不能得到解析解的。把求解非線性電容電路的解析解過(guò)程轉(zhuǎn)換成求解數(shù)值解的過(guò)程顯得尤為重要。歐拉法是將微分方程進(jìn)行離散化處理，建立求數(shù)值解的遞推公式，進(jìn)行迭代，最終得到一個(gè)逼近精確解的數(shù)值解。

對(duì)于形如的微分方程，如果不易求其解析解，可以運(yùn)用歐拉法將求解析解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求其數(shù)值解，也就是將該微分方程進(jìn)行離散化處理。將微分方程（1）的導(dǎo)數(shù)用均差近似，其中代表函數(shù)在點(diǎn)處的精確值，用表示函數(shù)在處的近似值，用代表步長(zhǎng)。微分方程（1）可以離散化為，若已知初值y0，進(jìn)行迭代可以得到y(tǒng)1，逐次進(jìn)行迭代最終可以得到一個(gè)逼近精確解的近似解。

歐拉法的核心是迭代，只要逼近的方法選擇適當(dāng)，則歐拉法就收斂于真實(shí)值。在實(shí)際計(jì)算中，只要精度滿足要求，相鄰兩次迭代絕對(duì)誤差限小于ε就可停止迭代。

2 應(yīng)用歐拉法求解非線性電容電路的步驟

由于運(yùn)用基爾霍夫定律在求解非線性電容電路時(shí)所得到的微分方程的解析解一般很難求出，所以可以應(yīng)用歐拉法求其數(shù)值解。求解的思路分為兩步。第一步：根據(jù)非線性電容電路的特點(diǎn)，列寫(xiě)非線性微分方程。第二步：應(yīng)用歐拉法來(lái)求解該非線性微分方程。

3 示例

下面運(yùn)用一個(gè)實(shí)例具體闡述如何運(yùn)用歐拉法求非線性電容電路的數(shù)值解的過(guò)程。電路如下圖1所示：已知電流源IS=1A，電阻R0=1Ω，其中非線性電容的庫(kù)伏特性為，u為電容兩端電壓，當(dāng)t=0時(shí)刻有，流過(guò)R0的電流為i0，流過(guò)非線性電容的電流為ic。以q為電路變量寫(xiě)出微分方程。

以電容電荷q為電路變量，流過(guò)電容的電流，流過(guò)電阻的電流，應(yīng)用KCL定律得到：，其微分方程為，此微分方程為一階非線性微分方程。應(yīng)用歐拉法得到微分方程離散化的迭代公式，其中h代表步長(zhǎng)，即相鄰時(shí)間間隔取0.1s，n代表迭代次數(shù)。設(shè)定當(dāng)時(shí)停止迭代。表1，反映了計(jì)算結(jié)果及迭代次數(shù)。通過(guò)表1發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過(guò)10次迭代q的值達(dá)到要求。

4 結(jié)論

本文重點(diǎn)研究了應(yīng)用數(shù)值方法來(lái)求解非線性電容電路，示例證明歐拉法把求非線性電路微分方程的解析解問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求其數(shù)值解問(wèn)題是完全可行的。該方法克服了求微分方程解析解的困難，為計(jì)算機(jī)求解非線性電容電路奠定了理論基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]李慶揚(yáng)，王能超等.數(shù)值分析[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008：12.

作者簡(jiǎn)介：付裕（1987-），陜西西安人，助教，研究方向：數(shù)據(jù)挖掘，電氣自動(dòng)化。