從博弈論角度看“公地悲劇”

江海霞

摘 要 傳統的西方經濟學認為，當資源或財產有許多擁有者，他們每一個人都有權使用資源，但沒有人有權阻止他人使用，由此導致資源的過度使用，即為“公地悲劇”。這一分析忽視了參與人在制定相關策略時的相互制約機制，同時傳統的西方經濟學以“經濟人”為前提，然而在現實中并不是每個人都是理性“經濟人”，利他主義、社會意識、公正追求的品質和觀念也是廣泛存在的。構建一個由A、B兩個代表性家庭組成的博弈模型，引進重復博弈和以牙還牙策略，從而得出傳統的“公地悲劇”并不是必然結果的結論。

關鍵詞 “公地悲劇”；內生制約機制；行為經濟學

前言

“公地悲劇”是指一項資源或財產有許多擁有者，他們中的每一個都有使用權（非競爭性），但沒有權利阻止其他人使用（非排他性），從而造成資源過度使用和枯竭。這一案例最早出現在哈丁1968年發表的《公地的悲劇》一文中，它講述的是，在一個村莊中有n戶家庭以放羊為生，公共草場的最大承載力的放牧數量為q1，此時每戶的平均放牧量為q1∕n，但在“經濟人”假設下，每戶家庭總是以最求自身利潤最大化為目標，此時總的放牧量為q2（q2>q1），此時達到了個人最優，但不是社會最優，破壞了帕累托最優配置，產生了外部不經濟。在草場資源既定的條件下，必然會出現公共資源的枯竭，即所謂的“公地悲劇”。過度砍伐的森林、過度捕撈的漁業資源及污染嚴重的河流和空氣，都是“公地悲劇”的典型例子。傳統的經濟學提出通過集體決策或明確土地使用規定來解決上述問題，但是在考慮到農戶在決策時存在的連續重復博弈和內在制約機制時，“公地悲劇”并不是公共資源配置的必然結果。

一、“公地悲劇”的博弈模型解釋

1.博弈的設定

假定一個由n個家庭組成的村莊，每一戶都有牧羊的傳統，并且根據以往的經驗他們清楚地知道公共草場的最優飼養量，即q1，此時每戶的最優飼養量為q1/n。相應的，由于公共資源的非競爭性，在市場價格一定的條件下，增加飼養數量總是能給農戶帶來更多的收益，此時農戶的飼養數量至少為q1/n。每個家庭擁有兩種選擇：限額或者超額。

為了簡化分析，我們將分析兩個典型農戶A和B，他們共同擁有這片草場，同時兩者的決策數量都受到對方的制約。A和B都有兩個策略，即限額和超額。如果A超額而B限額，那么A的收益為a，B的收益為b且a>b，因為在價格保持不變的前提下，供給的數量越多則利潤越大；如果A限額B超額，那么B的收益為a，A的收益為b且a>b；當A、B同時限額生產時，這個小型經濟體的總收益為T，A、B的收益都為T/2且T>a+b，a>T/2，作為農戶超額放牧的激勵，此時社會的資源達到合理配置，每個人的收益也達到了最大；同時若是A、B都超額此時的總收益為C，兩者收益各為C/2且C

2.博弈的分析

假定A、B兩者都是在信息完全的情況下做出決策，即A和B都知道對方的兩種選擇和相應的支付分布狀況，那么雙方存在兩種博弈方式：同時博弈和連續博弈。

第一種，同時博弈。就A而言，如果B選擇限額，那么A將選擇超額，相反如果B選擇超額，A則選擇限額；同樣的就B而言，A選擇限額，B則選擇超額，A選擇超額，B則選擇限額。在上述的支付矩陣中出現兩組納什均衡解，即（限額，超額）、（超額、限額）。此時確實是出現了過度放牧的問題，產生了“公地悲劇”。

在產生兩組納什均衡解的情況下，A和B會以一定的概率選擇限額和超額。假設A選擇限額概率為r1，超額概率為1-r1，相應的B選擇限額的概率為r2，超額的概率為1-r2，此時A的期望收益為E（A）=r1*[r2*T/2+（1-r2）*b] +（1-r1）*[a*r2+（1-r2）*C/2]，最大化A的收益得MAX（A）=T/2*r2+b*（1-r2）- ar2-C/2*（1-r2）=0，則r2=（b-C/20）/ （a-b-T/2-C/2），同理可得r1=r2= （b-C/20）/（a-b-T/2-C/2），因此若A、B分別以以r1、r2的概率選擇限額，則雙方的決策將不會受到對方的影響。

從上述支付矩陣可以看出A、B的聯合分布概率，出現（限額，限額）的概率為r1*r2，出現（超額，超額）的概率為（1-r1）*（1-r2），兩者做出相反決策的概率即（限額，超額）或（超額，限額）的概率為r1+r2-2r1*r2，此時A、B中至少有一人偏離了社會最優規模，產生了負的外部性，形成了所謂的“公地悲劇”。從前面的計算過程中看出，“公地悲劇”出現的概率為1-r1*r2，而A、B總是以大于0的概率選擇限額，即r1、r2大于0，從而“公地悲劇”出現概率小于1，這與傳統的經濟學觀點得出的“公地悲劇”必然出現的結論有所不同。可以發現在公共資源的配置并不必然伴隨著“公地悲劇”的產生。

第二種，連續博弈。在現實生活中有的人掌握了更多的信息從而具有先動優勢，這時就存在這連續博弈。本文假定A是先動者，B是追隨者，信息完全，支付矩陣中的數值同上，連續博弈的拓展式如下：

從上面的拓展式中看出對于A而言，因其是先動者，故一定會選擇超額決策，此時的收益為a，與此同時，B是后動者，在A選擇超額放牧的前提下最好的選擇是限額，此時獲得收益為b。此時確實會出現“公地悲劇”。

二、“公地悲劇”的非必然性

從上述分析中看出，不論是同時博弈還是連續博弈，都會出現“公地悲劇”，然而上述的分析是建立在單次博弈而不是重復博弈的基礎之上，在重復博弈下，情況會有所不同。

首先看分析同時博弈。從上述分析中我們知道A、B會以r1*r2的概率選擇（限額，限額），以（1-r1）*（1-r2）的概率選擇（超額，超額），同時以r1+r2-2r1*r2選擇（限額，超額）或（超額，限額）。即以1-r1*r2的概率形成“公地悲劇”在最后一種情況中雙方受益的差額是|a-b|，在第二種情況中A、B的收益為最小值。

無論是A還是B選擇超額的動機都是獲得超額收益a-T/2，A、B雙方在選擇超額時總是假定對方選擇限額，此時便多獲得a-T/2收益。在單次博弈中會存在這種可能，假設在第一次博弈中A選擇超額而B 選擇限額，此時A獲得超額收益a-T/2，但在第二次博弈中B知道A沒有遵守信用，他可以與A進行談判，在A沒有遵守信用的前提下，自己在第一次博弈中遭受了損失T/2-b，如果A繼續超額放牧，那么自己也會超額放牧，即使自己的收益會下降到C/2，同時A的損失a-C/2>B的損失b-C，那么A必然在第二次博弈中選擇限額。可以看出在重復博弈下并不必然出現過度放牧，相反，參與人之間存在內在制約機制，可以使社會資源得到最優配置。

上述的假設建立在A、B兩個參與者相互合作的基礎之上，現在假設在村莊中合作的成本為V，收益為M，只要合作的收益大于不合作的收益即M-V>a-T/2，那么限額牧羊就是值得的。只要雙方達成協議，內生的機制就會使（限額，限額）成為均衡解，此時沒有任何一個人存在打破均衡的激勵機制，“公地悲劇”便不再發生。

在連續博弈中也是存在同樣的工作機理，只要后動者能夠對先動者形成威脅。面對A采取超額策略，B最好的選擇是選擇限額，A長期處于優勢地位而B則永遠被動采取策略，如果B能夠對A產生威脅，即不惜放棄現有收益而采取以牙還牙策略，那么A則很有可能采取限額策略。

以上所有的結論都是建立在理性經濟人假設之上，即A或B一定會采取超額策略來最大化自身收益，然而在現實生活中，特別是在農村牧場這樣的小型經濟體中，并不是以最大化自身收益的行動指南，比如社會風俗和誠信觀念也會影響參與人的決策，如鄉親鄰里會為了維持良好的關系而自覺遵守限額的規范，同時還會存在為了維持當地的生態環境而自覺減少放牧量的情況，所以在重復博弈下存在內生的相互制約機制使“公地悲劇”不再成為必然。

三、結論

通過上述分析，在重復博弈的內生約束機制和行為經濟人的假設下，傳統的“公地悲劇”模型不再成為必然，相反，無需第三方的介入和集體決策的情況下，參與人之間的內生約束機制可以使社會資源實現最優配置，實現帕累托最優。

參考文獻：

[1]高鴻業：《西方經濟學：微觀部分》第六版.342-346頁.北京.中國人民大學出版社.2014

[2]湛志偉.“公地悲劇”及其治理的博弈分析[J].經濟評論， 2004 （03）：49-52.

[3]張維迎.《博弈論與信息經濟學》.85頁.上海.上海人民出版社. 1996.