線性代數(shù)中蘊含的計算思維分析

馮宇杰

2006年，周以真教授對西蒙·派珀特博士在1996年提出的計算思維進行了系統(tǒng)的闡述，她認為：計算思維是當代每個人必須具備的思維能力和基本技能。這一理念提出后，受到了國內外的廣泛關注，并在計算機教育和工程應用中進行了很多有益的探索和嘗試，以期將計算思維的培養(yǎng)擴展到各個研究領域。計算思維是隨著計算機的發(fā)展而體現(xiàn)出來的，以人腦為活動主體，以算法為靈魂的構造思維，是推動人類文明進步和科技發(fā)展的三大支柱之一。線性代數(shù)是一門兼具理論抽象和實際應用緊密結合的課程，充分挖掘出蘊含在這門課程各知識點背后的計算思維思想和方法，和我們的日常思維有機地結合，并體現(xiàn)在其他課程的學習和實踐環(huán)節(jié)中，對提升我們的學習效率和效果，培養(yǎng)我們的學習能力、計算思維能力和創(chuàng)新協(xié)作能力具有重要意義。

一、線性代數(shù)中蘊含的計算思維

線性代數(shù)是理工科學生的基礎課程之一，廣泛地應用于物理學、力學、信號與信號處理、通信等學科。和其他基礎課程相比，內容相對復雜，對象抽象。線性代數(shù)著眼于事物的總體，它從考察事物的總體出發(fā)抽出問題和討論問題，再從事物的變化和關聯(lián)中尋求分析問題的途徑、解決問題的方法，而這正是計算思維的一種表現(xiàn)方式。

1.線性代數(shù)中蘊含的系統(tǒng)分解、轉化和約簡思想

計算思維是人們通過約簡、轉化和仿真等方法將要解決一個復雜問題重新闡釋成一個知道問題怎樣解決的方法，是采用抽象和分解來控制龐雜的任務或進行巨大復雜系統(tǒng)設計的方法，或對一個問題的相關方面建模使其易于處理的思維方法。線性代數(shù)中多個內容都采用了在異中求同、化繁為簡、各個擊破的思想，正是這種思維的體現(xiàn)。如行列式的展開、矩陣的分塊求解、初等變換、求解線性方程組的過程、化二次型為標準型、基變換與坐標變換等內容中均體現(xiàn)出了約簡的思想。通過這種變換，將復雜的計算化簡成已知解決方法的問題，簡化了計算過程，提高了計算效率。

2.線性代數(shù)中蘊含的啟發(fā)式推理思想

在線性代數(shù)多個知識點的講解中，均利用了啟發(fā)式推理的計算思維方法來尋求問題的解答。如由低階行列式的計算過程推理出n階行列式的計算方法、由二維表格引出階矩陣的概念、由低維線性方程組的消元法求解過程引出矩陣的初等變換和初等矩陣的概念，進而有了標準矩陣和矩陣的秩的概念、由向量組的秩和線性相關性推出線性方程組解的結構等，都自然地體現(xiàn)了啟發(fā)式推理的這種在不確定情況下的規(guī)劃、學習和調度的思想方法。

3.線性代數(shù)中蘊含的遞歸思想

遞歸是計算思維的重要組成部分，同時也是一種常用的解決問題的思維方式，在現(xiàn)代很多領域中都有直接的應用。遞歸思想在線性代數(shù)的多方面都有體現(xiàn)，如范德蒙行列式的證明；向量組的秩和向量組線性相關性的判斷；方陣的特征值間的關系和對應的特征向量是否線性相關的判斷；通過初等變換求矩陣的逆；求向量空間的規(guī)范正交基；等等，這些均直接或間接地體現(xiàn)出了遞歸思想。

4.線性代數(shù)中蘊含的可靠性保障思想

初等變換是研究矩陣、行列式、線性方程組及線性空間的最主要的思想方法。對特定對象進行初等變換時，不但可以化大為小，化繁為簡，而且能夠在變換的過程中保持這些對象的某些重要性質不變，因此初等變換成為線性代數(shù)中廣泛應用的一種思想。如求解線性方程組和矩陣方程、計算行列式、計算特征多項式、求特征值和特征向量、求二次型的標準型等都蘊含了計算思維中可靠性保障思想。

計算思維還有其他多種釋義，如選擇合適的方式去陳述一個問題、利用海量數(shù)據(jù)來加快計算、在時間和空間之間進行折中的思維方法等，它們均在線性代數(shù)中有直接或間接的體現(xiàn)。所以，在線性代數(shù)的學習中，要善于充分挖掘隱藏在各知識點后面的計算思維思想，使抽象的問題具體化，復雜的問題簡單化，促使矛盾向更容易解決的方向轉化。

計算思維既是數(shù)理思維的一個子集，也是工程思維的一個子集，這種思維符合認識論的一般規(guī)律，因此學起來更簡單，用起來方便，也可以進一步推廣到其他學科的學習中。

二、案例

1.基于計算思維梳理教材內容

基于計算思維的思想，將線性代數(shù)課本中的主要知識點，按照從具體到抽象，從實際到理論的認知規(guī)律重新梳理和組織，應用到后續(xù)的學習中，不但能較好地提高學習效率，同時也在學習的過程中自然地培養(yǎng)了我們的計算思維，提升我們的學習能力和對重點內容的把握能力。

對知識點的梳理應在對主要知識點把握恰當?shù)幕A上，從應用角度進行合理組織和整合，將相關的理論知識和某類應用進行對應，在此基礎上再根據(jù)需求提出問題——分析討論解決問題的方法——歸納出必要的概念和結論。

2.實例

以下以線性方程組的解為線索，應用蘊含在線性代數(shù)各知識點后的計算思維設計的學習方案進行討論。

（1）從應用角度梳理和組織已有知識，設計學習方案并提出問題。在學習完行列式知識后，引入了克萊默法則以求解一類特殊的n元線性方程組，但對該法則的理解和具體應用的掌握還不夠深刻，應采用循序漸進的原則討論一般的n元m個方程的線性方程組的解的情況。以下根據(jù)求解此類方程組的應用，設計了案例和問題。

案例：求解一個n元m個方程的線性方程組。

問題：解的存在性、唯一性及解的結構。

（2）由特殊到一般組織思路，分析和討論問題的解決方法。在分析上述問題時，會先想到使用消元法求解，但消元法僅適用于m=n且n較小時情形。當n較大時，可使用克萊默法則。再以克萊默法則的合理性和局限性為出發(fā)點，進一步組織知識結構，引出矩陣和向量的有關內容，以證明克萊默法則和求解m≠n的線性方程組問題。

（3）歸納概念，得出結論。在解決上述問題后，自然會想到m≠n時的線性方程組的解的情況，在分析問題的過程中，進一步將矩陣的初等變換、矩陣的秩、向量組的相關理論等知識點列入了復習線索，在探索解決問題的過程中自然而然地復習了相關的知識。

綜上所述，通過分析線性代數(shù)中蘊含的計算思維并將計算思維引入線性代數(shù)的復習和學習中，圍繞“計算”這一核心，以應用為出發(fā)點，選取恰當?shù)陌咐憧蓪⒄n程內容按照一種新的思維重新組織，化抽象為具體，化特殊為一般，形成一種高效的符合認識論規(guī)律的學習方案。這可以促進我們學習的主動性和利用有關知識解決專業(yè)問題的自覺性，更好地培養(yǎng)我們的計算思維和創(chuàng)新意識，對增強將來服務社會的能力有極大的幫助。

參考文獻：

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